4. Übungsserie - Betrag, Summe, Mengen - EAH-Jena

Stephan Peter
Wirtschaftsingenieurwesen WS 15/16
Mathematik
Serie 4
Betrag, Summen, Mengen
1 Der Absolutbetrag
Aufgabe 1
Bestimmen Sie alle Lösungen folgender Gleichungen und versuchen Sie die Gleichungen
in Worten auszudrücken, indem Sie die Beträge als Abstände interpretieren:
a) |x + 3| = 5
5
3
b) | x − 2| =
2
2
c∗ ) |x − 1| + |x − 5| = 3
Zur Erinnerung: |x − y| kann man als Abstand von x und y interpretieren.
Aufgabe 2
Stellen Sie zu folgenden Fragen passende Betrags-Un/gleichungen auf und versuchen Sie
diese zu lösen:
a) Welche Zahl x hat von 5 den gleichen Abstand wie von −3 ?
b) Der Abstand einer Zahl zu 2 und der Abstand zu 13 ergeben zusammen 15. Wie groß
ist die Zahl?
c) Welche Zahl hat von 5 den doppelten Abstand wie von −4 ?
d) Welche Zahlen haben einen mehr als doppelten Abstand von 5 als von −4 ?
2 Das Summensymbol
Aufgabe 3
Schreiben Sie folgende Summen unter Verwendung des Summenzeichens
1 1
1
1
1
+ +
+
+
4 9 16 25 36
3
4
99
2
+ + + ··· +
c)
1! 2! 3!
98!
a) 1 +
b) 1 + 8 + 27 + 64 + 125
d) 1 + 2 + 4 + 8 + · · · + 1024
e) 2 + 5 + 8 + 11 + · · · + 122
f) 1 −
g) 2x1 y1 + 2x2 y2 + · · · + 2x20 y20
1
1 1
1
1
+ −
+ −··· +
3 9 27
6561
Aufgabe 4
Berechnen Sie folgende Summen:
a)
4
X
(2j − 1)2
b)
j=1
d)
g)
5
X
n
X
(n − k + 1)
c)
(k − (n − 5))
f)
k=n−2
(3k − 6)
k=2
n X
k=1
e)
1
1
−
k k+1
Aufgabe 5
Berechnen Sie mit
h)
n+5
X
k=n−5
3
X
2
i)
k=−2
5
X
(ai + bi )
e)
5
X
b)
d)
ai · bi
f)
ai bj
i=1 j=1
g)
5
Y
(3k − 6)
5
X
ai +
i=1
i=1
5
5 X
X
(n − k)
n=k
5
X
folgende Summen:
i=1
c)
2k
X
k=2
i 1 2
3
4
5
ai 2 3
1 −2 −3
bi 4 2 −3
3 −2
a)
124
X
1
1
−
k + 2 k=4 k − 2
k=1
121
X
h)
ai
5
X
5
X
bi
i=1
ai ·
5
X
bi
i=1
i=1
4
2 X
X
ai
b
i=1 j=1 j
5
5 Y
X
aij
i=1 j=1
i=1
Aufgabe 6
Schreiben Sie die Summe
15
P
xk−2 in der Form
k=3
?
P
xk (sog. Indexverschiebung).
k=?
Aufgabe 7
Schreiben Sie folgende Ausdrücke als Summe von Logarithmen. Benutzen Sie bei b) das
Summenzeichen:
a)
log (3!)
b)
2
log (100!)
3 Mengen
Aufgabe 8
Geben Sie die Menge aller Teilmengen der Menge {1, 2, 3} an. (Potenzmenge)
Aufgabe 9
Geben Sie die Lösungsmenge der Ungleichung 3 − 5x > 2 + x als Intervall an.
Aufgabe 10
Bestimmen Sie die Mächtigkeit/Beträge folgender Mengen und geben Sie an, welche der
Mengen Teilmengen voneinander sind.
• M1 = {1, 2, 3}
• M2 = [0, 5) (Intervall)
• M3 = P(M1 ) (Potenzmenge)
• M4 = {{3}}
3
Lösungen
1 a) 2 und − 8
2 a) 1
g) 2
b) 0 oder 15
6 1
P
3 a)
k=1
20
P
b) − 13 und 3
k2
b)
5
P
k3
c) keine Lösung
c) −13 und −1
c)
k=1
99 k + 1
P
k=1
k!
d)
10
P
2k
e)
40
P
(2+3k)
k=0
k=0
f)
8
P
(− 13 )k =
k=0
0
P
(−3)k
k=−8
xk yk
k=1
4 a) 84 b) 6
h) 12 i) 18
5 a) 5
6
13
P
b) 5
c)
1
123
c) 11
− 12
d) 18
e) 55
f)
k(k+1)
2
1
g) 1 − n+1
(Teleskopsumme)
d) 4
xk
k=1
8 {∅, {1} , {2} , {3} , {1, 2} , {2, 3} , {1, 3} , {1, 2, 3}}
9 −∞, 61 )
10 Die Mächtigkeiten/Beträge sind: 3, ∞, 8, 1
2. November 2015, 18:35 Uhr
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