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15 Erzwungene Schwingungen
Unwuchten in elastischen Rotoren oder Fahrbahnunebenheiten bei Fahrzeugen führen auf
erzwungene Schwingungen. Betrachtet werden soll im Folgenden der Fall der Schwingungserregung durch eingeprägte Kräfte.
Bei linearen Schwingungssystemen ergibt sich eine Partikulärlösung mit dem Funktionscharakter der Anregung. Sind zusätzlich entsprechende Anfangsbedingungen vorhanden,
überlagern sich dieser Partikulärlösung nach dem Superpositionsprinzip homogene Lösungen, die bereits als freie Schwingungen bekannt sind. Bei gedämpften Systemen klingt
die homogene Lösung jedoch schnell ab, weshalb man sich meist nur für die stationäre
Schwingung in Form der Partikulärlösung interessiert.
Wichtige technische Anregungsfunktionen sind die Sprungerregung, die zum Beispiel in
der Regelungstechnik als Testfunktion eingesetzt wird oder beim Überfahren eines Bordsteins entsteht, und die harmonische Erregung, wie sie durch umlaufende Unwuchten entsteht. Bei Sprungerregung stellt sich ein Einschwingen auf eine neue Gleichgewichtslage
ein, das die freien Schwingungen widerspiegelt.
Bei harmonischer Erregung folgt das System der Erregung phasenverschoben und amplitudenskaliert mit gleicher Frequenz. Sowohl die sich einstellende Amplitude als auch die
Phasenverschiebung hängen von der Erregerfrequenz ab. Für langsame Erregerfrequenzen folgt das System der Erregung ohne Phasenverschiebung. Stimmt die Erregerfrequenz
mit der Eigenfrequenz des Systems überein, werden sehr schwach gedämpfte Systeme zu
Schwingungen mit großer Amplitude angeregt (Resonanz). Für hohe Erregerfrequenzen
kann das träge System der Erregung nicht mehr folgen und geht in Gegentakt mit kleinen
Amplituden. In der Nähe der Eigenfrequenz entstehen Schwebungsphänomene, d.h.
Schwingungen mit oszillierender Amplitude.
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15 Erzwungene Schwingungen
15.1 Allgemeine Lösung
Schwingungsgleichung:
..
.
x ) 2dx ) w 2ox + f (t)
x
F(t)
c
d
m
homogene Lösung:
..
.
x h ) 2dx h ) w 2ox h + 0
ungedämpft:
x h + C cosǒw 0t * ö Ǔ
schwach gedämpft: x h + Ce *dt cos(wt * ö)
x h + e *dt(At ) B)
Grenzfall:
stark gedämpft:
..
l 1, l 2 t 0
.
partikuläre Lösung:
x p ) 2dx p ) w 2ox p + f (t)
³ allgemeine Lösung
durch Superposition:
x(t) + x h(t) ) x p(t)
Beweis durch
Einsetzen:
x h + Ae l1t ) Be l 2t ,
ǒx.. h ) x..pǓ ) 2dǒx. h ) x. pǓ ) w20ǒx h ) x pǓ
..
.
..
.
+ ǒx h ) 2dx h ) w 20x hǓ ) ǒx p ) 2dx p ) w 20x pǓ + f (t) n
0
f (t)
15 Erzwungene Schwingungen
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15.2 Sprungerregung
Anwendung: Wichtige Testfunktion der Regelungstechnik, Überfahren eines Randsteins
Ǌ
für t t 0
für t w 0
Erregerfunktion:
0
f (t) + f
0
Ansatz für Partikulärlösung:
x p(t) + x G + const.
für t w 0
.
allgemeine Lösung für x(0) + x(0) + 0:
ungedämpft:
x(t) + x Gƪ1 * cos w 0tƫ
schwach gedämpft:
x(t) + x G 1 *
Grenzfall:
x(t) + x G 1 * (1 ) dt)e *dt
stark gedämpft:
x(t) + x G 1 )
x
ƪ Ǹ
ƪ
ƪ
ƫ
2
d
1 ) d 2 e *dt cos(wt * ö) , tan ö + w
w
ƫ
l2
l1
e l 1t )
el 2t
l1 * l2
l2 * l1
ƫ
D+0
D + 0.3
xG
D+1
D+5
t
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15 Erzwungene Schwingungen
15.3 Harmonische Erregung
Anwendung: Maschinen mit umlaufenden Unwuchten, periodische Erregung
Erregerfunktion:
f (t) + f 0 cos Wt
Partikulärlösung
Ansatz:
x p(t) + r 0 cos(Wt * y)
Trigonometrie
cos(Wt * y) + cos Wt cos y ) sin Wt sin y
x p(t) + r 0 cos y cos Wt ) r 0 sin y sin Wt
.
x p(t) + * r 0W cos y sin Wt ) r 0W sin y cos Wt
..
x p(t) + * r 0W 2 cos y cos Wt * r 0W 2 sin y sin Wt
eingesetzt in
..
.
x ) 2dx ) w2ox + f 0 cos Wt
normierte Darstellung:
W
dimensionslose Erregerfrequenz: h + w
0
Lehr’sches Dämpfungsmaß:
D + wd
Resonanzfunktion:
f
r 0 + 02 V(h, D)
wo
Phasenverschiebung:
y(h, D) + arctan
0
mit
V(h, D) +
2Dh
1 * h2
1
Ǹ(1 * h 2)2 ) 4D 2h 2
15 Erzwungene Schwingungen
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Vergrößerungsfunktionen V(h, D)
5
4.5
D+0
4
3.5
D + 0.15
3
2.5
2
D + 0.25
1.5
D + 0.5
1
D + 1ń Ǹ2
D+1
0.5
0
D+2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
h
3
Phasenkurven y(h, D)
p
D + 0.15
D+0
p
2
D + 0.25
D + 0.5
D + 1ń Ǹ2
D+1
D+2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Erregerfrequenz W + w 0
niedere Erregerfrequenzen
h
3
hohe Erregerfrequenzen
x p(t)
x p(t)
f (t)
t
D + 0.15, h + 0.25
f (t)
f (t)
t
D + 0.15, h + 1
x p(t)
t
D + 0.15, h + 3
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15 Erzwungene Schwingungen
Resonanz
Amplitudenüberhöhung in einem bestimmten Frequenzbereich der Erregung
Z
Erzeugen von Resonanz
(z.B. Rüttelsieb)
geringe Dämpfung
D³0
Anregung mit Eigenfrequenz W ³ w 0
Z
Vermeiden von Resonanz
(Anstreifen von Rotoren, Aufbauschwingung von Fahrzeugen)
1) Frequenzverstimmung
W Ơ w 0 unterkritischer Betrieb
W ơ w 0 überkritischer Betrieb
2) Dämpfung
D u 1 keine Amplitudenüberhöhung
Ǹ2
Allgemeine Lösung des ungedämpften Schwingers (d + 0)
Superposition:
x(t) + x h(t) ) x p(t)+ C cosǒw 0t * ö Ǔ )
Anfangsbedingungen:
x(0) + 0,
x(t)+
Z
f0
cos Wt
w 20 * W 2
.
x(0) + 0
f0
ǒcos Wt * cos w 0tǓ
w 20 * W 2
Schwebungen: Amplitudenschwankungen bei Erregung mit Frequenzen nahe der
Eigenfrequenz, W [ w 0
Trigonometrie
cos a * cos b + 2 sin
2f 0
w0 * W
w0 ) W
sin
t
sin
t
2
2
w 20 * W 2
2f
w *W
[ 2 0 2 sin 0
t sin w 0t
2
w0 * W
x(t) +
b*a
b)a
sin
2
2
15 Erzwungene Schwingungen
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x
t
Z
Amplitudenentwicklung in der Resonanz, W + w 0
W [ w0 :
x(t) [
2f 0
w0 * W
sin
t sin w 0t
2
w 20 * W 2
Grenzübergang
x(t) [
f0
t sin w 0t
2w 0
x
t
W ³ w0
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15 Erzwungene Schwingungen

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