Q11-Mathematik-Wissen kompakt Jahrgang 2014/16 S. 1 Q11-Mathematik-Wissen kompakt (mit CAS-Befehlen) Gebrochen rationale Funktionen ๐(๐) Funktionen der Form ๐(๐) = ๐(๐) , p(x) und q(x) ganzrationale Funktionen n-ten Grades (๐ โ โ) ๏ท Definitionslücke(n): q(x) = 0 CAS: solve(q(x)=0,x) ๏ท Nullstelle(n): f(x) = 0 bzw. p(x) = 0 CAS: solve(f(x)=0,x) ๏ท Asymptoten: o Polstelle x0 ๏ง senkrechte Asymptote ๏ง Bestimmung: q(x) = 0 ๏ง Polstelle ohne Vorzeichenwechsel, wenn lim ๐(๐ฅ) = +โ bzw. lim ๐(๐ฅ) = โโ ๐ฅโ๐ฅ0 ± ๐ฅโ๐ฅ0 ± ๏ง Polstelle mit Vorzeichenwechsel, wenn lim ๐(๐ฅ) = ±โ bzw. lim ๐(๐ฅ) = โโ ๐ฅโ๐ฅ0 ± ๐ฅโ๐ฅ0 ± ๏ง Gleichung der Asymptote: ๐ฅ = ๐ฅ0 ๏ท Waagrechte und schräge Asymptoten o z = Grad des Zählers (p); n = Grad des Nenners (q) o Bestimmung: |๐ฅ| โ โ o Unterscheidung: ๏ง z < n: x-Achse als waagrechte Asymptote 2๐ฅ Beispiel: ๐(๐ฅ) = ๐ฅ 2 โ1 โ lim ๐(๐ฅ) = 0 โ Gleichung: y = 0 ๐ฅโ±โ ๏ง z = n: eine waagrechte Asymptote, die nicht die x-Achse ist 2๐ฅ 2 2 1 1 Beispiel: ๐(๐ฅ) = 4๐ฅ 2 โ4 โ lim ๐(๐ฅ) = 4โ0 = 2 โ Gleichung: y = 2 ๐ฅโ±โ ๏ง z = n + 1: eine schräge Asymptote Beispiel: ๐(๐ฅ) = ๐ฅ 2 +1,5๐ฅ 2๐ฅโ1 โ Polynomdivision: CAS: propFrac(f(x)) = 1 ๏ schräge Asymptote y = 2 ๐ฅ + 1 ๏ง z > n + 1: keine Asymptote ๏ท Faktorisieren: Definitionslücken/Polstellen und Nullstellen damit sofort erkennbar CAS: Aktion๏ Umformungen ๏ faktoris 1 ๐ฅ 2 1 + 2๐ฅโ1 + 1 Q11-Mathematik-Wissen kompakt Jahrgang 2014/16 S. 2 Lokales und globales Differenzieren ๏ท Differenzenquotient und mittlere Änderungsrate Gegeben ist f(x) = x² x 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 y 0 0,16 0,64 1,44 2,56 4 Wie schnell steigt der Graph zwischen x = 0,4 und x = 0,8? โ๐ฆ Steigungsdreieck: ๐ = โ๐ฅ = tan(๐ผ) In unserem Beispiel: ๐ = 0,64โ0,16 0,8โ0,4 = 0,48 0,4 = 1,2 Werden nun noch die Zahlen durch Buchstaben ersetzt, ergibt dies: ๐ = ๐ฆ2 โ๐ฆ1 ๐ฅ2 โ๐ฅ1 = ๐(๐ฅ1 )โ ๐(๐ฅ1 โโ) ๐ฅ1 โ(๐ฅ1 โโ) Das m heißt jetzt Differenzenquotient. Mit der mittleren Änderungsrate berechnet man die Steigung eines Graphen zwischen zwei Punkten. Steigung m der Geraden durch zwei Punkte P(a/f(a)) und Q(b/f(b)), die auf dem Graphen der Funktion f liegen: ๐ = ๐(๐)โ๐(๐) ๐โ๐ Anschaulich entspricht ๐ = ๐(๐)โ๐(๐) ๐โ๐ der Steigung der Sekanten durch die Graphenpunkte P(a/f(a)) und Q(b/f(b)). ๏ท Differentialquotient und lokale Änderungsrate Der Differentialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten. Man berechnet hier die Steigung in einem einzelnen Punkt P0(x0/f(x0)). Die Gerade durch den Punkt P(x0/f(x0)) mit der Steigung m heißt Tangente an den Graphen in P0. Die Tangentensteigung m wird als Steigung des Graphen im Punkt P0(x0/f(x0)) bezeichnet. ๐(๐ฅ) โ ๐(๐ฅ0 ) ๐ฅโ๐ฅ0 ๐ฅ โ ๐ฅ0 ๐ = lim ๏ท Differenzierbarkeit: Wenn eine Funktion f an der Stelle x0 (von negativer und positiver Seite aus) die gleiche lokale Ände๐(๐ฅ)โ๐(๐ฅ0 ) ๐ฅโ๐ฅ0 ๐ฅโ๐ฅ0 ± rungsrate ๐ = lim ๏ท Ableitungsfunktion/ Ableitungsregeln: ๏ท ๐(๐ฅ) = ๐ฅ ๐ ๏ ๐ โฒ (๐ฅ) = ๐ โ ๐ฅ ๐โ1 ๏ท Summenregel: ๐(๐ฅ) = ๐(๐ฅ) + โ(๐ฅ) ๏ ๐ โฒ (๐ฅ) = ๐โฒ (๐ฅ) + โโฒ(๐ฅ) ๏ท Faktorregel: ๐(๐ฅ) = ๐ โ ๐(๐ฅ) ๏ ๐ โฒ (๐ฅ) = ๐ โ ๐โฒ(๐ฅ) ๏ท Produktregel: ๐(๐ฅ) = ๐(๐ฅ) โ โ(๐ฅ) ๏ ๐ โฒ (๐ฅ) = ๐โฒ (๐ฅ) โ โ(๐ฅ) + ๐(๐ฅ) โ โโฒ(๐ฅ) ๏ท ๏ท besitzt, so heißt f an der Stelle x0 differenzierbar. Quotientenregel: ๐(๐ฅ) = ๐(๐ฅ) ๏ ๐ โฒ (๐ฅ) = โ(๐ฅ) ๐โฒ (๐ฅ)โโ(๐ฅ)โ๐(๐ฅ)โโโฒ(๐ฅ) [๐(๐ฅ)]² Stammfunktion: Eine Funktion F heißt eine Stammfunktion der Funktion f, wenn F und f denselben Definitionsbereich besitzen und gilt: Fโ(x)=f(x) Q11-Mathematik-Wissen kompakt Jahrgang 2014/16 S. 3 Anwendung der Ableitung ๏ท Anwendung der 1. Ableitung: o Extremstellen xe: f´(x)=0: ๏ง Maximum: ๐´(๐ฅ๐ ) > 0 & ๐´(๐ฅ๐ ) < 0, mit ๐ฅ๐ < ๐ฅ๐ < ๐ฅ๐ ๏ง Minimum: ๐´(๐ฅ๐ ) < 0 & ๐´(๐ฅ๐ ) > 0, mit ๐ฅ๐ < ๐ฅ๐ < ๐ฅ๐ ๏ง Terrassenpunkt: ๐´(๐ฅ๐ ) > 0 & ๐´(๐ฅ๐ ) > 0 oder ๐´(๐ฅ๐ ) < 0 & ๐´(๐ฅ๐ ) < 0, mit ๐ฅ๐ < ๐ฅ๐ < ๐ฅ๐ o Monotonie: Mit Hilfe des Vorzeichens der ersten Ableitung ๐โฒ(๐ฅ) können Auskünfte über das Steigungsverhalten des Graphen der Funktion f gegeben werden: ๐ โฒ (๐ฅ0 ) < 0 Der Graph von f fällt streng monoton an der Stelle x0. ๐ โฒ (๐ฅ0 ) = 0 Der Graph von f hat an der Stelle x0 eine waagrechte Tangente. ๐ โฒ (๐ฅ0 ) Der Graph von f steigt streng monoton an der Stelle x0. >0 o Tangentengleichung t(x) = m·x + t an der Funktion f(x): Tangentensteigung m an der Stelle x0: ๐๐ก = ๐´(๐ฅ0 ) y-Achsenabschnitt t durch Einsetzen der Steigung und des Punktes (x0|f(x0)) in t(x) o Normalengleichung n(x) = mn·x + n an der Funktion f(x): 1 1 Normalensteigung an der Stelle x0: ๐๐ = โ ๐ = โ ๐โฒ (๐ฅ) ๐ก y-Achsenabschnitt n durch Einsetzen der Steigung und des Punktes (x0|f(x0)) in n(x) o Newtonverfahren (die Nullstelle der Tangente der Funktion f an dem Punkt (x0,f(x0)) liefert einen besseren Näherungswert für die Nullstelle der Funktion): Berechnen der Tangente: ๏ง Steigungsfaktor ๐ = ๐โฒ(๐ฅ0 ) ๏ง y-Achsenabschnitt: ๐(๐ฅ0 ) = ๐ โฒ (๐ฅ0 ) โ ๐ฅ0 + ๐ก, wobei ๐ก = ๐(๐ฅ0 ) โ ๐โฒ(๐ฅ0 ) โ ๐ฅ0 ๏ง Tangente: ๐ก(๐ฅ) = ๐ โฒ (๐ฅ0 ) โ ๐ฅ + ๐(๐ฅ0 ) โ ๐โฒ(๐ฅ0 ) โ ๐ฅ0 ๏ ๐ก(๐ฅ) = ๐ โฒ (๐ฅ0 ) โ (๐ฅโ๐ฅ0 ) + ๐(๐ฅ0 ) ๐(๐ฅ ) ๏ง Nullstelle x1 der Tangente: ๐ก(๐ฅ) = 0 ๏ ๐ฅ = ๐ฅ0 โ ๐โฒ(๐ฅ0 ) 0 ๐(๐ฅ ) ๏ง ๏ Allgemeiner Näherungswert: ๐ฅ๐+1 = ๐ฅ๐ โ ๐โฒ(๐ฅ๐ ) ๐ ๏ท Wichtige CAS-Befehle: o Tangente: tanLine(Term, Variable, Stelle) o Normale: normal(Term, Variable, Stelle) o Maximum: fMax(Term, Variable) bzw. fMax(Term, Variable, Anfangswert, Endwert) o Minimum: fMin(Term, Variable) bzw. fMin(Term, Variable, Anfangswert, Endwert) Q11-Mathematik-Wissen kompakt Jahrgang 2014/16 S. 4 Umkehrfunktion, Verkettung und natürliche Exponential- und Logarithmusfunktionen CAS-Befehle: ๏ท solve(Gleichung, Variable) ๏ท ๐ (๐๐๐๐); ๐๐ฅ diff(Term, Variable, Ordnung) Umkehrfunktionen ๏ท Wann ist eine Funktion umkehrbar? ๏ฎ Wenn jedem y-Wert genau ein x-Wert zugeordnet wird. Wenn die Funktion streng monoton ist. ๏ท Bezeichnung: ๐ โ1 ๏ท Bestimmen des Funktionsterms ๐ โ1 (๐ฅ): o Auflösen der Funktionsgleichung y = f(x) nach x o Variablentausch x โบ y, wobei nun y = ๐ โ1 (๐ฅ) o CAS-Befehl: solve(f(x), x) ๏ท ๐ป๐ = ๐๐โ1 ๏ท ๐ป๐โ1 = ๐๐ ๏ท Die Winkelhalbierende y = x ist die Symmetrieachse der Funktion mit der Umkehrfunktion. Verkettung von Funktionen Es gibt innere Funktion v(x) und äußere Funktionen u(x): (u โ v)(x) = u(v(x)) Die Definitionsmenge von u โ v besteht nur aus ein x โ ๐ป๐ฃ , für die v(x) โ ๐ป๐ข ist. Ableitung verketteter Funktionen: ๐โ(๐ฅ) = (๐ข โ ๐ฃ)โฒ(๐ฅ) = ๐ขโฒ(๐ฃ(๐ฅ)) โ ๐ฃโฒ(๐ฅ) Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten und ihre Ableitung p q f(x) = a โ x q = a โ โx p mit a โ โ; p โ โค; q โ โ f โฒ (x) = p โ q p a โ xq โ1 Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion 1 ๐ ๏ท ๐ = lim (1 + ๐) โ 2,718281828459โฆ ๐โโ ๏ท ๐(๐ฅ) = ๐ ๐ฅ ๏ ๏ท ๐ป=โ ๏ท ๐ = โ+ Ableitung: ๐โฒ(๐ฅ) = ๐ ๐ฅ Q11-Mathematik-Wissen kompakt Jahrgang 2014/16 ๏ท Die e-Funktion nimmt für x โ โ viel stärker zu als jede Potenzfunktion. ๏ท Die natürliche Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion ๏ท ๐(๐ฅ) = ln ๐ฅ mit โ โ+ 1 ๏ Ableitung: ๐โฒ (๐ฅ) = ๐ฅ ๏ท Die ln-Funktion nimmt für x โ โ viel schwächer zu als jede Potenzfunktion. ๏ท Wichtige Grenzwerte: ๐ฅ๐ =0 ๐ฅโโ ๐ ๐ฅ ๐๐๐ฅ lim ๐ = 0 ๐ฅโโ ๐ฅ lim lim (๐ ๐ฅ โ ๐ฅ ๐ ) = โ ๐ฅโโ lim (๐ฅ ๐ โ ๐๐๐ฅ) = 0 ๐ฅโ0 S. 5 Q11-Mathematik-Wissen kompakt Jahrgang 2014/16 S. 6 Koordinatengeometrie im Raum โโโโโ = ๐ต โ โ๐ด Definition: Vektor ๐ด๐ต Alle zueinander parallele, gleich lange und gleich gerichtete โPfeileโ bezeichnet man als einen Vektor. Jeder Pfeil ist ein Repräsentant des Vektors. Ein Gegenvektor ist zum ursprünglichen Vektor parallel und gleich lang, zeigt aber in die entgegengesetzte Richtung. Fallen bei einem Vektor Fußpunkt und Spitze zusammen, โ . Beginnt der Repräsentant eines Vektors im Ursprung, beso heißt dieser Vektor Nullvektor, geschrieben ๐ zeichnet man ihn als Ortsvektor. Addition und Subtraktion von Vektoren: ๐1 ๐1 ๐1 ± ๐1 ๐ ± ๐โ = (๐2 ) ± (๐2 ) = (๐2 ± ๐2 ) ๐3 ๐3 ๐3 ± ๐3 Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl (S-Multiplikation): ๐1 ๐1 ๐ โ ๐1 Für einen Vektor ๐ = (๐2 ) und eine reelle Zahl r gilt: ๐ โ (๐2 ) = (๐ โ ๐2 ) . ๐3 ๐3 ๐ โ ๐3 Betrag eines Vektors: CAS: Aktion ๏ Vektor ๏ norm(Vektor) Unter dem Betrag eines Vektors ๐ versteht man die Länge eines zu ๐ gehörenden Repräsentanten. Der Betrag von ๐ wird mit |๐| bezeichnet. ๐1 Für ๐ = (๐2 ) gilt: |๐| = โ๐1 2 + ๐2 2 + ๐3 2 ๐3 Hat ein Vektor die Länge 1, so nennt man ihn Einheitsvektor. Zu jedem Vektor ๐ lässt sich sein Einheitsvektor โโโโ ๐0 durch โโโโ ๐0 = ๐โ bilden, |๐โ | wobei ๐ nicht Nullvektor sein darf. CAS: Aktion ๏ Vektor ๏ unitV(Vektor) Skalarprodukt, Winkel zwischen Vektoren ๐ und ๐โ: CAS: Aktion ๏ Vektor ๏ dotP(Vektor 1, Vektor 2) Skalarprodukt: ๐ โ ๐โ = |๐| โ |๐โ| โ cos ๐ ๐1 ๐1 Koordinatendarstellung: ๐ โ ๐โ = (๐2 ) โ (๐2 ) = ๐1 โ ๐1 + ๐2 โ ๐2 + ๐3 โ ๐3 ๐3 ๐3 ๏ท Zwei Vektoren ๐ und ๐โ sind zueinander orthogonal (senkrecht), wenn ihr Skalarprodukt ๐ โ ๐โ = 0 ergibt. ๏ท Zwei Vektoren ๐ und ๐โ sind zueinander parallel und gleich gerichtet (๐ = 0°), wenn ihr Skalarprodukt ๐ โ ๐โ = |๐| โ |๐โ| ๏ท Zwei Vektoren ๐ und ๐โ sind zueinander parallel und entgegengesetzt gerichtet (๐ = 180°), wenn ihr Skalarprodukt ๐ โ ๐โ = โ|๐| โ |๐โ| Q11-Mathematik-Wissen kompakt Jahrgang 2014/16 ๏ท Winkel zwischen ๐ und ๐โ: cos ๐ = ๐1 โ ๐1 + ๐2 โ ๐2 +๐3 โ ๐3 โ๐1 2 +๐2 2 +๐3 2 โ โ๐1 2 +๐2 2 +๐3 2 CAS: Aktion ๏ Vektor ๏ angle(Vektor 1, Vektor 2) Vektorprodukt/Kreuzprodukt, Parallelogrammfläche und Spatvolumen: ๏ท CAS: Aktion ๏ Vektor ๏ crossP(Vektor 1, Vektor 2) ๐1 ๐1 ๐2 ๐3 โ ๐3 ๐2 โ โ ๐ ๏ท Kreuzprodukt von ๐ = ( 2 ) und ๐ = (๐2 ): ๐ × ๐ = (๐3 ๐1 โ ๐1 ๐3 ) ๐3 ๐3 ๐1 ๐2 โ ๐2 ๐1 ๏ท Es gilt: ๐ × ๐โ โฅ ๐ und ๐ × ๐โ โฅ ๐โ ๏ท Der Flächeninhalt des von den Vektoren ๐ und ๐โ aufgespannten Parallelogramms beträgt |๐ × ๐โ| = |๐| โ |๐โ| โ sin ๐. ๏ท Der von den Vektoren ๐, ๐โ und ๐ aufgespannte Spat hat das Volumen ๐ = |(๐ × ๐โ) โ ๐ |, für eine 1 โโโโโ × โโโโโ dreiseitige Pyramide ABCS gilt ๐๐๐ฆ๐๐๐๐๐๐ = โ |(๐ด๐ต ๐ด๐ถ ) โ โโโโโ ๐ด๐| 6 Kreis- bzw. Kugelgleichung: 2 โโ ) = ๐ 2 ๏ท Gleichung in Vektorendarstellung: (๐ โ ๐ ๏ท Gleichung in Koordinatendarstellung: Kreis: (๐ฅ1 โ ๐1 )2 + (๐ฅ2 โ ๐2 )2 = ๐ 2 Kugel: (๐ฅ1 โ ๐1 )2 + (๐ฅ2 โ ๐2 )2 + (๐ฅ3 โ ๐3 )2 = ๐ 2 S. 7 Q11-Mathematik-Wissen kompakt Jahrgang 2014/16 S. 8 Wahrscheinlichkeitsbegriff und Unabhängigkeit (der CAS Rechner ist für dieses Kapitel nicht notwendig) Axiomatische Definition von Wahrscheinlichkeit Eine Funktion P: Aโ P(A) mit A ๏ ๏ und P(A) โ โ heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn sie folgende Bedingungen, auch Axiome von Kolmogorow genannt, erfüllt: Axiom I: ๐(๐ด) โง 0 Axiom II: ๐(ฮฉ) = 1 Axiom III: Wenn ๐ด โฉ ๐ต = {}, dann muss gelten: ๐(๐ด โช ๐ต) = ๐(๐ด) + ๐(๐ต) P(A) heißt Wahrscheinlichkeit von A. Zusammengesetzte Ereignisse Gegenereignis von A: ๐ดฬ = ฮฉ\๐ด (alles ohne A) Ereignis A und Ereignis B: ๐ดโฉ๐ต (Schnittmenge von A und B) Ereignis A oder Ereignis B: ๐ดโช๐ต (mind. eines der beiden Ereignisse) Ereignis A ohne Ereignis B: ๐ด\๐ต = ๐ด โฉ ๐ตฬ (Ereignis A ohne Aโฉ ๐ต) Weder Ereignis A noch Ereignis B: ๐ดฬ โฉ ๐ตฬ = ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ๐ดโช๐ต (๏ ohne die beiden Ereignisse A und B) Nicht beide Ereignisse A und B gleichzeitig: ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ๐ด โฉ ๐ต = ๐ดฬ โช ๐ตฬ (๏ ohne die Schnittmenge von A und B) Gesetze von de Morgan Additionssatz Für beliebige Ereignisse A und B gilt: ๐ท(๐ โช ๐ฉ) = ๐ท(๐จ) + ๐ท(๐ฉ) โ ๐ท(๐ โฉ ๐ฉ) Unabhängigkeit von Ereignissen Zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch unabhängig, wenn gilt: ๐ท(๐จ) โ ๐ท(๐ฉ) = ๐ท(๐ โฉ ๐ฉ) andernfalls nennt man A und B voneinander abhängig. 2 3 1 Bsp.: Gegeben P(A) = 9 ; P(B) = 9; ๐(A โฉ ๐ต) = 9 1 2 3 ๐(A โฉ ๐ต) โ ๐(๐ด) โ ๐(๐ต), da 9 โ 9 โ 9 Es folgt: A und B sind voneinander abhängig. Bedingte Wahrscheinlichkeit Unter der bedingten Wahrscheinlichkeit ๐๐ด (๐ต) = der Bedingung, dass A bereits eingetreten ist. ๐(๐ดโฉ๐ต) ๐(๐ด) versteht man die Wahrscheinlichkeit von B unter
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