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GG 2 – H
Grundkurs Analytische Geometrie, Aufgabe 2 – Hinweise zur Lösung
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1. a) Du berechnest die Vektoren BA und BC . Dass Sie zueinander orthogonal sind, merkst
du am Punktprodukt, dass sie gleichlang sind, wenn du ihre Beträge ausrechnest. Dazu
brauchst du erstmal kein D.
Um dann D tatsächlich auszurechnen, brauchst du dich auch nicht mit Orthogonalen
und Beträgen rumzuärgern. Bestimme D als vierten Punkt eines Parallelogramms (das
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wird dann von selbst ein Rechteck): Vom Punkt A aus den Vektor BC antragen (oder
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von C aus den Vektor BA ).
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b) Nun kannst du BA und BC gleich noch mal verwenden, diesmal als Spannvektoren der
Ebene E. Du brauchst die Parameterform von E aber nicht hinzuschreiben. Wichtig ist
nur, dass alle beide Spannvektoren senkrecht auf dem (noch unbekannten)
 n1 
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Normalenvektor n =  n 2  stehen. Das gibt dir zwei Punktprodukte, die Null sein
 
 n3 
müssen, also zwei Gleichungen für die drei Unbekannten n 1, n 2 und n 3 – für eine
eindeutige Lösung ein bisschen wenig. Hier ist es so, dass dir eine der Gleichungen
eindeutig n 1 liefert, die anderen einen Zusammenhang zwischen n 2 und n 3. Du kannst
n 2 durch n 3 ausdrücken und n 3 frei wählen (oder umgekehrt). Klugerweise triffst du
deine Wahl so, dass keine Brüche auftreten. Du hast jetzt einen Normalenvektor, wählst
als Stützpunkt z.B. B und kannst die Normalenform in Vektordarstellung aufschreiben.
Genau genommen wär’s das schon, aber die Aufgabensteller haben sich eine andere
Lösung vorgestellt und das Ergebnis in Koordinatenform angegeben. Du wirst
vergleichen wollen, also rechne das Punktprodukt aus, dann kriegst du die
Normalenform als Koordinatengleichung. Vielleicht musst du noch mit –1
multiplizieren. Natürlich kann dein Ergebnis auch anders aussehen, z.B. wenn du einen
anderen Stützpunkt gewählt oder die frei zu wählende Komponente des
Normalenvektors anders festgelegt hast.
c) Geraden in der Parameterdarstellung zum Schnitt zu bringen, ist ja ganz schön, wenn du
Parameterdarstellung schon hast. Hier kommst du mit der Koordinatenschreibweise
wohl besser klar. Schreibe auch F in dieser Darstellung (Punktprodukt ausrechnen). Du
hast dann 2 Gleichungen für 3 Unbekannte, was ja nicht ganz unpassend ist, wenn das
Ergebnis eine Gerade sein soll.
Eine der Gleichungen enthält nur zwei der Unbekannten. Davon kannst du eine – nein,
diesmal nicht frei wählen (du willst ja die ganze Gerade, nicht nur einen beliebigen
Punkt davon) – aber als Parameter verwenden. Besser: du verwendest einen passenden
Bruchteil dieser Unbekannten als Parameter – dann hast du ab sofort keinen Ärger mit
der Bruchrechnung mehr. Mit Hilfe der 2. Gleichung drückst du nun auch die letzte
Unbekannte durch diesen Parameter aus.
Die drei Unbekannten sind ja die drei Komponenten des Punktes auf der gesuchten
Geraden. Schreibe seinen Ortsvektor koordinatenweise auf, und zerlege dies in der
Form „Anfangspunkt + Parameter ⋅ Richtungsvektor“. Dies ist dann die
Geradengleichung von g.
2. a) Der „Abstand zweier Ebenen“ bringt nur Sinn, wenn sie parallel sind. Dass das hier der
Fall ist, siehst du an den Normalenvektoren. Ganz anschaulich folgt hieraus auch die
„gegenseitige Lage“ von g und g ¢. Eine Gleichung von g ¢ brauchst du nicht anzugeben
(obwohl dies leicht wäre).
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GG 2 – H
Den Abstand von E und E ¢ kriegst du als Abstand irgendeines Punktes aus E¢ von E
(oder auch umgekehrt). Es bietet sich der Punkt O, der Ursprung, an. Für den Abstand
brauchst du die Hessesche Normalenform von E (Normalenform aus 1b, dividiert durch
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den Betrag von n ). Beim Einsetzen von O ist wirklich nicht viel zu rechnen.
Das Ergebnis hat komischerweise ein negatives Vorzeichen. Als Abstand gibst du
natürlich den Betrag hiervon an; das Vorzeichen aber nicht ganz vergessen, es wird bei
3b noch mal gebraucht.
Der Ursprung liegt auf E ¢ und auf F, also auch auf g ¢.
b) Du musst dich erinnern, was ein Vektorraum V ist: Zu jedem Vektor müssen auch alle
seine Vielfachen in V liegen, zu beliebigen zwei Vektoren ihre Summe und Differenz;
es muss zu jedem Vektor einen Gegenvektor geben und ein neutrales Element, dessen
Addition keinen Vektor ändert.
Für die Menge der Ortsvektoren von g klappt nichts von alledem; z.B. zielt das
Doppelte eines solchen Vektors niemals auf g, sondern immer seitab. Am einfachsten ist
es, darauf hinzuweisen, dass der Nullvektor nicht zu V gehört.
Ein Nachweis, dass V ¢ Vektorraum ist, ist nicht verlangt. Da er’s ist, und auch noch
eindimensional, ist jeder seiner Vektoren ein Vielfaches jedes anderen (den Nullvektor
mal raus gelassen). Jeder Vektor aus V ¢ (außer dem Nullvektor) bildet also eine Basis
von V ¢.
Achte auf die Schreibweise: Eine Basis ist eine Menge von Vektoren – die hier halt nur
einen Vektor enthält.
3. Eine Zeichnung ist zwar nirgends in der Aufgabe verlangt, aber jetzt ist eine Skizze sehr
angebracht: Zeichne dir (perspektivisch) eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche,
deren Seitenkanten ungefähr so lang aussehen wie die Quadratseiten.
a) Nun fällt dir vielleicht auf, dass dir hier nicht die analytische Geometrie weiterhilft
(jedenfalls nicht mit vertretbarem Aufwand), sondern der Satz des Pythagoras. Die
Quadratseiten sind ja aus 1a bekannt. Pythagoras liefert dir erstmal die Diagonale und
dann, aus der halben Diagonalen, die Höhe h. Rechne, wenn’s dir gelingt, nicht mit
Dezimalzahlen, sondern peile das angegebenen Ergebnis an. Dazu musst du den
1
2
1
„Nenner rational machen“ (
=
=
2 ).
2
2⋅ 2 2
Die Volumenformel für die Pyramide kennst du oder kannst sie nachschlagen.
Taschenrechner ist überflüssig, denn das Ergebnis muss auch hier nicht als Dezimalzahl
geschrieben werden.
b) Bestimme erstmal den Ortsvektor des Quadratmittelpunkts M (indem du von einer Ecke
aus den halben Diagonalenvektor anträgst, oder als halbe Summe aus den Ortsvektoren
gegenüberliegender Ecken), denn auf der Lotgerade durch den Punkt M liegt S. Du
kannst diese Lotgerade jetzt in Parameterform aufschreiben (Parameter, sagen wir mal,
sei l).
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Der Vektor MS ist nun einerseits λ ⋅ n , sein Betrag ist andererseits die aus 3a bekannte
Höhe h. Das ergibt eine Gleichung, aus der du |l| berechnen kannst.
Noch einfacher wird die Sache, wenn du als Normalenvektor den aus der Hesseschen
Normalenform (siehe 2a) nimmst. Der hat nämlich den Betrag 1, und damit ist dann
sofort |l| = h. (Du merkst: l ist natürlich verschieden, wenn du verschiedene
Normalenvektoren wählst.)
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Das Vorzeichen von l wird erst durch den Satz in der Aufgabenstellung festgelegt, wo
von einem „Halbraum des IR3“ die Rede ist, der „den Ursprung nicht enthält“. Schau
auf Aufgabe 2a: Der Ursprung liegt, bei dem gewählten Normalenvektor, auf der Seite
mit den negativen Vorzeichen.
Nun weißt du l und erhältst S durch Einsetzen in die Gleichung der Lotgeraden.
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