Resolventen und Generatoren
von Feller-Prozessen,
Yosida-Approximation und
Kolmogorov-Gleichungen
Bachelorarbeit im Rahmen des Seminars
Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2013
Veranstalter: Prof. Dr. F. Götze, Dr. M. Venker
Fakultät für Mathematik
Universität Bielefeld
vorgelegt von:
Sascha Schleef
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
XXXXXXXXXXXXXX Matrikelnummer: XXXXXXX
Vorwort
Diese Arbeit entstand im Rahmen des Bachelor-Seminars Wahrscheinlichkeitstheorie von Prof. Dr. F. Götze und Dr. M. Venker im Sommersemester 2013 und
beruht zum größten Teil auf dem 19. Kapitel des Buches Foundations of Modern Probability [Kal02, S. 370-373] von Olaf Kallenberg. Alle darüber hinaus
verwendeten Quellen sind dementsprechend markiert.
i
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
1
1 Vorwissen
Definition: Übergangsoperator, Halbgruppe . . . . . . . . . . . . .
Definition: Feller-Halbgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definition: pseudo-Poisson-Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
4
2 Resolventen und Generatoren von Feller-Halbgruppen
2.1 Die Resolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definition: Resolvente . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lemma: Resolventengleichung . . . . . . . . . . . .
Satz: Resolventen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Der Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Satz: Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lemma: Eindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . .
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5
6
6
6
8
10
10
11
3 Yosida-Approximation
Definition: Yosida-Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lemma: Yosida-Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bemerkung: Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
12
12
13
4 Vorwärts-Rückwärts Gleichungen von Kolmogorov
4.1 Starke Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Vorwärts-Rückwärts-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Satz: Vorwärts-Rückwärts Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . .
17
17
17
18
Literaturverzeichnis
22
Eigenständigkeitserklärung
23
ii
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Einleitung
In dieser Arbeit geht es um eine indirektere Herangehensweise an zeitstetige
Markov-Prozesse (Xt )t≥0 als über deren Übergangskerne µt . Im Allgemeinen werden bei Markov-Prozessen deren Übergangskerne µt beziehungsweise Erwartungswerte und Varianzen direkt betrachtet um bestimmte Aussagen über das Verhalten zu treffen. Hier werden jedoch die mit den Übergangskernen korrespondierenden Übergangsoperatoren Tt , welche, operierend auf bestimmten Funktionenräumen dem Erwartungswert des Prozesses entsprechen, betrachtet.
Speziell wird die Darstellung des sogenannten Generators untersucht, welcher
die infinitesimale Änderung des Übergangsoperators Tt beschreibt und damit auch
eine Aussage über die Änderungsrate des zugrundeliegenden Prozesses (Xt )t≥0
enthält. Für bestimmte Funktionen f , die man unter dem Prozess X betrachten
möchte, lässt sich diese Änderung also umformen zu der Differentialgleichung
∂
T f = ATt f . Hierdurch und durch die Halbgruppeneigenschaft, welche noch
∂t t
eingeführt wird, liegt eine formale Beschreibung der Operatoren durch Tt = etA =
P∞ t n n
n=0 n! A nahe, da diese gerade obige Differentialgleichung löst.
Das Problem besteht folglich darin, dass für diese explizite Darstellung der
Generator A beschränkt sein muss. Ein Beispiel dafür ist der pseudo-PoissonProzess (siehe Definition 1.6), welcher einen beschränkten Generator besitzt.
Daher geht es in dieser Arbeit darum unter welchen Bedingungen obige Differentialgleichung erfüllt ist und wie der im Allgemeinen unbeschränkte Generator A dann aussieht. Dafür wird eine bestimmte Art von Prozessen - die FellerProzesse - betrachtet, welche der sogenannten Feller-Halbgruppe (siehe Definition
1.5) zugrunde liegen.
Letztendlich führen diese Generatoren zu der sogenannten Rückwärtsgleichung
von Kolmogorov, welche die anfangs erwähnte Differentialgleichung explizit behandelt.
1
1 Vorwissen
Zunächst sollen einige Definitionen erwähnt werden, auf denen diese Arbeit beruht. Sie enthalten zum Teil auch Aussagen für deren Beweis, wenn nicht anders
gekennzeichnet, auf den Kallenberg [Kal02] verwiesen wird.
Definition 1.1 (Übergangsoperator, Halbgruppe)
1. Sei µ ein Übergangskern auf einem messbaren Raum (S, S), wobei S =
B(S). Der zu µ zugehörige Übergangsoperator T ist für beschränkte
und messbare Funktionen f : S → R gegeben durch:
T f (x) = (T f ) (x) =
Z
µ(x, dy)f (y) ∀x ∈ S
Dieser ist für alle messbaren Funktionen linear und beschränkt.
Des weiteren bewirkt T eine positive Kontraktion in dem Sinne, dass
aus 0 ≤ f (x) ≤ 1 auch 0 ≤ T f (x) ≤ 1 für alle x folgt.
2. Die Familie (Tt )t≥0 von Operatoren zu den Kernen µt , t ≥ 0 nennt man
auch Halbgruppe, wenn T0 = I gilt, wobei I der Identitätsoperator ist,
und sie die Halbgruppeneigenschaft erfüllt:
Tt+s = Ts ◦ Tt =: Ts Tt
(1.1)
Bemerkung 1.2
Die Übergangsoperatoren Tt erfüllen genau dann die Halbgruppeneigenschaft
(1.1), wenn die dazu korrespondierenden Übergangskerne die Chapman-Kolmogorov Relation µs+t = µs µt erfüllen.
2
1. Vorwissen
3
Definition 1.3
Sei S ein lokal kompakter, separabler, metrischer Raum. Dann ist C0 = C0 (S)
die Klasse der stetigen Funktionen auf S, die im unendlichen verschwinden
das heißt, für die Funktionen f : S → R gilt f (x) −−−→ 0.
x→∞
Insbesondere sind deswegen alle f ∈ C0 beschränkt, da stetige Funktionen auf
kompakten Mengen beschränkt sind. Man kann nun C0 zu einem Banachraum
erweitern indem man die Supremums-Norm kf k = supx |f (x)| einführt.
Lemma 1.4 (Operatornorm)
Durch kT k = supkf k≤1 kT f k , f ∈ C0 ist eine Norm auf dem Raum L(C0 , C0 )
der linearen beschränkten Operatoren gegeben, insbesondere also auch auf
den Übergangsoperatoren aus Definition 1.1. Bei kf k handelt es sich um die
Supremums-Norm aus Definition 1.3.
Ohne Beweis gilt folgende Ungleichung für Operatoren T, S und Funktionen
f ∈ C0 :
kT Sf k ≤ kT k kSk kf k
Beweis : Der Beweis ist im Buch Funktionalanalysis [Wer07, S. 46 ff.] von Dirk
Werner zu finden.
Definition 1.5 (Feller-Halbgruppe)
Eine Halbgruppe von positiven Kontraktionsoperatoren Tt auf C0 wird Feller
Halbgruppe genannt, wenn sie die folgenden zwei Eigenschaften erfüllt:
(F1 ) Tt C0 ⊂ C0 , t ≥ 0
(F2 ) Tt f (x) −−→ f (x),
t→0
f ∈ C0 , x ∈ S
In Satz 4.1 wird gezeigt, dass die Eigenschaft der starken Stetigkeit
(F3 ) Tt f −−→ f,
t→0
f ∈ C0
aus (F1 ) und (F2 ), mit Hilfe der Halbgruppeneigenschaft folgt.
Gilt zusätzlich die stärkere Bedingung der Norm-Stetigkeit (vergleiche [Wer07,
S. 358])
(F′3 ) kTt − Ik −−→ 0,
t→0
f ∈ C0
so nennt man die Halbgruppe normstetig.
1. Vorwissen
4
Wie schon in der Einleitung erwähnt, existieren bestimmte Prozesse, welche einen
beschränkten Operator besitzen. Einer dieser Prozesse ist der, im Folgenden definierte, pseudo-Poisson-Prozess, auf den später noch einmal eingegangen wird:
Definition 1.6 (pseudo-Poisson-Prozess)
Sei X = (Xt )t≥0 ein Prozess auf einem messbaren Raum (S, B(S)). X heißt
pseudo-Poisson genau dann, wenn es einen zeitdiskreten Markov-Prozess Y
auf (S, B(S)) und einen davon unabhängigen Poisson-Prozess P gibt, sodass
X = Y ◦ P fast sicher.
Bemerkung 1.7
Ohne Beweis sei bemerkt, dass die Halbgruppe eines pseudo-Poisson-Prozesses
die Form Tt = eλt(T −I) := etA besitzt [Kal02, S. 369]. Dabei ist T der
beschränkte Übergangsoperator des zeitdiskreten Markov-Prozesses Y der
zu dem Übergangskern µ korrespondiert und λ die Intensität des PoissonProzesses P . Offensichtlich ist dadurch auch der Generator A beschränkt.
Des Weiteren ist diese Halbgruppe normstetig:
∞
X (tA)n
tA
kTt − Ik = e − I = − I
n!
n=0∞
∞
X (tA)n X ktAkn
− 1 = ektAk − 1 −−→ 0
=
≤
t→0
n=1 n! n=0 n!
2 Resolventen und Generatoren von
Feller-Halbgruppen
Wie Eingangs erwähnt ist das Ziel nun, den infinitesimalen Generator A einer
beliebigen Feller-Halbgruppe (Tt )t≥0 auf C0 zu konstruieren. Im Allgemeinen muss
es keinen beschränkten linearen Operator A geben, der Tt = etA erfüllt. Deshalb
wird für einen solchen Generator eine passende Charakterisierung benötigt.
Motivation
Im Allgemeinen ist die zu untersuchende Abbildung, durch den Wertebereich von
f , eine Funktion in mehreren Variablen, also Tt f : R+ × S → R. Zur Motivation
wird jedoch zunächst eine reellwertige Funktion p auf R+ mit der Repräsentation
pt = eta betrachtet. Dann kann man a aus p durch Differentiation oder Integration
zurückgewinnen:
eta − e0·a
∂ ta
pt − 1
(0) = a
=
−−→
e
t→0
t
t
∂t
Z ∞
Z ∞
−λt
e(a−λ)t dt = (λ − a)−1 , λ > 0
e pt dt =
0
0
Die Darstellung durch Differentiation wird in Kapitel 4.2 noch einmal aufgegriffen.
Durch die Integraldarstellung motiviert wird nun folgende Definition eingeführt:
5
2. Resolventen und Generatoren von Feller-Halbgruppen
6
2.1 Die Resolvente
Definition 2.1 (Resolvente)
Für eine Feller-Halbgruppe (Tt )t≥0 auf C0 und ein beliebiges λ > 0 wird Rλ ,
definiert als die Laplace-Transformierte:
Rλ f =
Z
∞
e−λt (Tt f ) dt,
f ∈ C0 .
0
Rλ wird Resolvente von (Tt )t≥0 genannt.
Man beachte, dass das Integral nur existiert, wenn Tt f (x) beschränkt und
rechtsstetig in t ≥ 0 für festes x ∈ S ist.
An dieser Stelle wird eine wichtige Gleichung eingeführt, die Resolventengleichung. Diese stellt den Zusammenhang zweier Resolventen mit verschiedenen Parametern µ und λ bezüglich der selben Feller-Halbgruppe (Tt )t≥0 dar. Benötigt
wird sie immer wieder in den nachfolgenden Abschnitten.
Lemma 2.2 (Resolventengleichung)
Seien Rλ , Rµ zwei Resolventen von (Tt )t≥0 zu den Parametern λ, µ > 0. Dann
gilt die Resolventengleichung:
Rλ − Rµ = (µ − λ)Rµ Rλ = (µ − λ)Rλ Rµ ,
λ, µ > 0
(2.1)
Die letzte Gleichung besagt, dass die Resolventen kommutieren.
Die grobe Idee des Beweises ist [Fel71, XIII.8 S. 453] entnommen.
Beweis : Es wird im Folgenden die Halbgruppeneigenschaft (1.1) benutzt um
durch eine Variablentransformation die Integraldarstellung der Resolvente
umzuformen.
Dazu sei zunächst angemerkt, dass die Resolvente eine Abbildung Rλ : C0 →
C0 ist, da die erste Fellereigenschaft (F1 ) für f ∈ C0 impliziert, dass auch
Tt f ∈ C0 für jedes t ist. Mit majorisierter Konvergenz folgt dann auch Rλ f ∈
C0 . Des Weiteren sei daran erinnert, dass f ∈ C0 und somit messbar und
beschränkt ist, womit nach Definition 1.1 Tt f messbar und beschränkt ist.
Deshalb kann im Folgenden der Satz von Fubini angewendet werden um die
Integrationsreihenfolge zu ändern:
Z
Rλ Rµ f = Rλ (Rµ (f )) =
Z
Z ∞
−λt
e (Tt )
=
0
∞
e−λt (Tt ) (Rµ f ) dt
0
∞
e−µs (Ts f ) ds dt
0
2. Resolventen und Generatoren von Feller-Halbgruppen
=
Z
(1.1)
=
∞
0
Z
Z
∞
0
7
∞
e−λt e−µs (Tt ) (Ts f ) ds dt
0
Z
∞
e−λt−µs (Tt+s f ) ds dt
0
∞Z x
Z
1
1
1
e− 2 (λ+µ)x− 2 (λ−µ)y (Tx f ) dx dy
=−
2 0
Z x
Z ∞ −x
1
1
− 21 (λ+µ)x
=−
e− 2 (λ−µ)y dy (Tx f ) dx
e
2 0
#x
"−x
Z ∞
− 12 (λ−µ)y
1
1
−2e
=−
e− 2 (λ+µ)x
(Tx f ) dx
2 0
λ−µ
−x
Z ∞
1
1
1
−2
=−
e− 2 (λ+µ)x e− 2 (λ−µ)x − e 2 (λ−µ)x (Tx f ) dx
2(λ − µ) 0
Z ∞
Z ∞
1
1
1
− 12 (λ+µ)x− 21 (λ−µ)x
(λ+µ)x+
(λ−µ)x
2
e
=
(Tx f ) dx −
e2
(Tx f ) dx
λ−µ
0
0
Z ∞
Z ∞
1
1
λx
µx
e (Tx f ) dx −
e (Tx f ) dx =
(Rµ − Rλ )
=
λ−µ
µ−λ
0
0
(∗)
Die Variablentransformation, die in (*) betrachtet wird ist f (x, y) =
s
mit der Determinante det(Df (x, y)) = − 12 .
t
1 x+y
2 x−y
=
Für die zweite Aussage benutzt man die erste:
(λ − µ)Rµ Rλ = Rµ − Rλ = − (Rλ − Rµ ) = −(µ − λ)Rλ Rµ = (λ − µ)Rλ Rµ
Für den Beweis des nachfolgenden Satzes werden zwei wichtige Lemmata benötigt,
für deren Beweis auf die angegebenen Quellen verwiesen wird.
Lemma 2.3 (Korollar aus dem Satz von Hahn-Banach [Wer07, S. 98])
Sei X ein normierter Raum und U ein abgeschlossener Unterraum. Weiter sei
x ∈ X, sodass x ∈
/ U . Dann existiert ein ϕ : X → R mit
ϕ 6≡ 0 und
Lemma 2.4 (Riesz-Markov )
ϕ ≡ 0.
U
Sei S ein lokalkompakter, seperabler Hausdorffraum. Dann kann jedes lineare
Funktional auf Ĉ(S) zu einem eindeutigen (signierten) Radon-Maß auf S
erweitert werden.
Beweis : Aus [Kal02, S. 36] zusammen mit der Anmerkung [Wer07, S. 89] folgt
die Behauptung.
2. Resolventen und Generatoren von Feller-Halbgruppen
8
Mit der Resolventengleichung wurde nun eine Aussage über den Zusammenhang der Resolventen untereinander aufgezeigt. Im Folgenden werden einige Eigenschaften der Resolvente bezüglich ihres Definitionsbereiches und ihres Grenzverhaltens untersucht.
Satz 2.5 (Resolventen)
Sei (Tt )t≥0 eine Feller-Halbgruppe auf C0 mit Resolvente Rλ , λ > 0. Dann
gilt:
1. Die Operatoren λRλ sind injektive (i) Kontraktionen (ii) auf C0 mit:
k·k
λRλ −−−→ I
(iii)
λ→∞
2. Der Bildbereich, D = Rλ C0 , von Rλ ist unabhängig (i) von λ und dicht
(ii) in C0 .
Beweis : Da Rλ f ∈ C0 kann man die Operatornorm auf λRλ anwenden um
die Kontraktionseigenschaft (1.ii) zu beweisen:
kλRλ f k ≤ λ
Z
∞
e
−λt
kTt f k dt ≤ λ kf k
0
Z
∞
e−λt dt = kf k
0
Aus der Definition der Operatornorm folgt die Abschätzung
kλRλ k ≤ 1 ⇔ kRλ k ≤ λ−1 .
Die Resolventengleichung (2.1) zeigt direkt, dass die Operatoren Rλ einen gemeinsamen Bildbereich D haben, da die Linearkombination auf dem gleichen
Bereich operiert wie die Verkettung. Aus der Kommutativität folgt dann die
Unabhängigkeit des Bildbereiches D von λ.
Ebenfalls aus der Kommutativität der Resolvente folgt die Gleichung
!
⇔
(λRλ − I) Rµ = (µRµ − I) Rλ
⇔
λRλ Rµ − Rµ = µRµ Rλ − Rλ
λRλ Rµ − µRµ Rλ = Rµ − Rλ
⇔
(λ − µ)Rλ Rµ = Rµ − Rλ .
Sei nun f = R1 g, g ∈ C0 . Dann folgt mithilfe einer Approximation auf dem
Abschluss D und obiger Identität in (∗) für µ = 1 die Konvergenz von (1.iii):
(∗)
kλRλ f − f k = k(λRλ − I) R1 gk = k(R1 − I) Rλ gk
≤ λ−1 kR1 − Ik kgk −−−→ 0
λ→∞
2. Resolventen und Generatoren von Feller-Halbgruppen
9
Dies ist zulässig, da der folgende Abschnitt zeigt, dass D dicht in C0 liegt.
Dafür sei Ŝ = S ∪{∆} die Ein-Punkt-Kompaktifizierung von S. Des Weiteren
kann jede Funktion f ∈ C0 durch das Setzen von f (∆) = 0 zu einer Funktion
auf Ĉ = C(Ŝ) erweitert werden. Wenn nun D 6= C0 gilt, dann existiert nach
dem Satz von Hahn-Banach (2.3) ein beschränktes lineares Funktional ϕ 6≡ 0
auf Ĉ, sodass ϕR1 f = 0 für alle f ∈ C0 . Nach Riesz-Markov (2.4) kann man ϕ
zu einem beschränkten, signierten Maß auf Ŝ erweitern. Wenn weiter f ∈ C0
ist und die zweite Fellereigenschaft (F2 ) benutzt wird, bekommt man mit
majorisierter Konvergenz
Z
0 = λϕRλ f =
Z
Z
= ϕ(dx)
ϕ(dx)
∞
Z
∞
λe−λt Tt f (x)dt
0
e−s Ts/λ f (x)ds −−−→ ϕf,
0
λ→∞
da Ts/λ f beschränkt ist und Ts/λ f (x) −−−→ f gilt. Das bedeutet, dass ϕ ≡ 0.
λ→∞
Dieser Wiederspruch zu Hahn-Banach (2.3) zeigt, dass D dicht in C0 liegt,
also (2.ii).
Um zu zeigen, dass die Operatoren Rλ injektiv sind (1.i), sei f ∈ C0 mit
Rλ0 f = 0 für einige λ0 > 0. Dann folgt aus der Resolventengleichung (2.1)
mithilfe von
(Rλ − Rλ0 ) f = Rλ f − Rλ0 f
= (λ0 − λ) Rλ Rλ0 f
=
Rλ0 f =0
=
Rλ f
0,
dass Rλ f = 0 für alle λ > 0. Da λRλ f −−−→ f folgt, dass f ≡ 0. Dies ist die
λ→∞
Injektivität von λRλ
2. Resolventen und Generatoren von Feller-Halbgruppen
10
2.2 Der Generator
Satz 2.6 (Generator)
Sei (Tt )t≥0 eine Feller-Halbgruppe auf C0 mit Resolvente Rλ , λ > 0. Dann
gilt:
1. Es existiert ein Operator A auf C0 mit Definitionsbereich D, sodass
Rλ−1 = λI − A
auf D für jedes λ > 0.
2. Dieser Operator A kommutiert auf D mit jedem Tt .
Beweis : 1. Aus dem Satz 2.5 ist bekannt, dass Rλ injektiv ist. Also existiert
das Inverse Rλ−1 auf D, womit auch die Existenz von A = λI − Rλ−1 (1)
folgt.
Multipliziert man nun die Resolventengleichung (2.1) von links mit Rλ−1
und von rechts mit Rµ−1 erhält man auf D die Gleichung
Rµ−1 − Rλ−1 = µ − λ ⇔ λ − Rλ−1 = µ − Rµ−1
(2.2)
Dies zeigt, dass der Definitionsbereich von A unabhängig von λ ist, da
auf beiden Seiten der Gleichung eine gültige Definition von A steht.
2. Zunächst ist anzumerken, dass Tt und Rλ für jedes t, λ > 0 kommutieR∞
R∞
ren, da Rλ Tt f = 0 e−λs Ts Tt f ds = Tt 0 e−λs Ts f ds = Tt Rλ f . Daher
folgt:
Tt (λI − A)Rλ = Tt = (λI − A)Rλ Tt = (λI − A)Tt Rλ
⇔ (λTt − Tt A) Rλ = (λTt − ATt ) Rλ ⇔ Tt A = ATt
Also kommutiert A mit jedem Tt auf D.
Der Operator A aus Satz 2.6 heißt Generator der Feller-Halbgruppe (Tt )t≥0 .
Wenn man die Rolle des Definitionsbereiches hervorheben will bezeichnet man
den Generator von (Tt )t≥0 als (A, D). Eine weitere Charakterisierung von A,
die die Bedeutung des infinitesimalen Generators deutlicher macht, folgt aus der
Rückwärtsgleichung (4.2) in Kapitel 4.
2. Resolventen und Generatoren von Feller-Halbgruppen
11
Lemma 2.7 (Eindeutigkeit)
Eine Feller-Halbgruppe (Tt )t≥0 ist durch ihren Generator (A, D) eindeutig
bestimmt.
Beweis : Der Operator A bestimmt die Resolvente Rλ = (λI − A)−1 für alle
λ > 0 eindeutig. Mit der Eindeutigkeit der Laplace-Transformation bestimmt
er auch Tt f sowie das Maß µ auf R+ aus Definition 1.1 für jedes f ∈ C0
und x ∈ S. Da nun Tt f (x) rechtsstetig in t für jedes feste x ist, folgt die
Behauptung.
3 Yosida-Approximation
Für spätere Zwecke wird zunächst die sogenannte Yosida-Approximation eingeführt. Diese beruht auf der Idee, den im Allgemeinen unbeschränkten Generator A aus dem vorherigen Kapitel, durch beschränkte Operatoren Aλ zu approximieren. Die folgende Definition führt zunächst die formale Approximation ein,
während die darauf folgende Proposition einige Approximationsaussagen enthält.
Definition 3.1 (Yosida-Approximation)
Sei Rλ , λ > 0 die Resolvente einer Feller-Halbgruppe (Tt )t≥0 . Dann nennt
man
Aλ := λARλ = λ (λRλ − I) ,
λ>0
(3.1)
λ
Yosida-Approximation und Ttλ := etA die dazugehörige Halbgruppe.
Bemerkung 3.2
Da die Halbgruppe eines pseudo-Poisson-Prozesses die Form Tt = ect(T −I) besitzt (siehe Bemerkung 1.7), handelt es sich bei der Halbgruppe der YosidaApproximation um die eines pseudo-Poisson-Prozesses mit Rate λ und Übergangs-Operator λRλ .
Der Generator dieser Halbgruppe ist beschränkt, wodurch die Yosida-Approximation eine Approximation des im Allgemeinen unbeschränkten Generators
einer Feller-Halbgruppe durch einen beschränken Operator darstellt.
Proposition 3.3 (Yosida-Approximation)
Für jedes f ∈ D gilt die Ungleichung
Tt f − Ttλ f ≤ t Af − Aλ f ,
t, λ > 0
(3.2)
und es gilt die Konvergenz: Aλ f −−−→ Af .
λ→∞
Des Weiteren konvergiert Ttλ f −−−→ Tt f für jedes f ∈ C0 und beschränkte
λ→∞
t ≥ 0 gleichmäßig.
12
3. Yosida-Approximation
13
Da sowohl in dem Beweis dieser Proposition als auch in Kapitel 4 der Begriff und
λ
die Definition der Ableitung der Yosida-Approximation Ttλ := etA benötigt wird,
sei dieser hier eingeführt:
Lemma 3.4 (Ableitung)
Für festes λ > 0 existiert die Ableitung von Ttλ in 0:
Thλ − I k·k
Thλ − T0λ
∂ λ
=: Aλ
=
T
−−→
h→0
h
h
∂t t 0
(3.3)
Beweis : Um die Konvergenz in (3.4) zu zeigen wird der Prozess Thλ in seine
grundlegende Definition umgeformt und die Bestandteile durch die Eigenschaften der Operatornorm in mehreren Schritten abgeschätzt.
λ
1 tAλ
Th − I
λ
λ
=
−
A
e
−
I
−
A
h
h
!
∞
1 X
n
h
λ n
λ
=
A
−I −A h n=0 n!
!
∞
1
n
X
h
λ n
λ
=
A
−I −A I+
h
n!
n=1
∞
X
hn−1
λ
λ n−1
λ
= A
A
−A n=1 n · (n − 1)!
∞
n−1
X
(cn−1 · h)
(∗) λ
λ n−1
λ
A
−A = A
n=1 (n − 1)!
∞
n
X (cn · h)n
Aλ − I ≤ Aλ n=0
n!
∞
∞
(∗∗) λ X
λ X
hn (cn · h)n λ n
Aλ n
A
≤ A
≤ A
n!
n!
n=1
n=1
λ
= Aλ eh·kA k − 1 −−→ 0
hց0
p
An der Stelle (∗) wird die Variable cn−1 = n−1 1/n eingeführt, deren Eigenschaft 0 < cn < 1 in (∗∗) durch die Abschätzung mit 1 genutzt wird.
Des Weiteren ist zu beachten, dass es sich bei Aλ um einen beschränkten
Operator handelt, weshalb die Konvergenz folgt.
3. Yosida-Approximation
14
Beweis von Lemma 3.3 : Zunächst gilt für jeden kommutierenden KontraktionsOperator B und C und festes f ∈ C0 die Ungleichung
kB n f − C n f k ≤ B n−1 + B n−2 C + . . . + C n−1 kBf − Cf k
kBk,kCk≤1
≤
n kBf − Cf k .
Nach Satz 2.6 gilt Aλ f = λRλ Af −−−→ Af für jedes f ∈ D. Des Weiteren
λ→∞
gilt die Aussage aus Bemerkung 3.4. Werden nun f ∈ C0 und t, λ, µ > 0 fest
gelassen, erhält man mit h = t/n → 0
λ
λ n
µ
µ n Tt f − Ttµ f = Tt/n f − Tt/n f ≤ n Thλ f − Th f λ
Th f − f
Thµ f − f −−→ t Aλ f − Aµ f .
= t
−
h→0
h
h
Für f ∈ D folgt, dass Ttλ f für λ → ∞ und festes t eine Cauchy-Folge in
λ ist. Da D dicht in C0 liegt, gilt mit Hilfe einer geeigneten Approximation
gµ := µRµ f −−−→ f, gµ ∈ D durch die Normstetigkeit die gleiche Eigenschaft
µ→∞
auch für f ∈ C0 .
Der nun gesuchte Limes von Ttλ f , dessen Existenz durch die Cauchykonvergenz gesichert ist, sei zunächst mit T̃t f bezeichnet. Dann erhält man
λ
λ
T
f
−
T̃
f
t
t ≤ t A f − Af ,
f ∈ D, t ≥ 0.
(3.4)
Also gilt für jedes f ∈ D die gleichmäßige Konvergenz von Ttλ f −−−→ T̃t f ,
λ→∞
für beschränkte t. Dies lässt sich wieder auf alle f ∈ C0 erweitern.
Um T̃t f zu bestimmen wird die Gleichheit der Resolventen von T̃t f t≥0
und (Tt )t≥0 gezeigt. Dafür wird zunächst die Aussage benötigt, dass für jedes
f ∈ C0 und λ, µ > 0 folgendes gilt
Z
∞
0
e−λt Ttµ µRµ f dt = (λI − Aµ )−1 µRµ f =
µ
Rν f,
λ+µ
(3.5)
λµ
wobei ν = λ+µ
.
Mithilfe von µRµ − ARµ = (µ − A)Rµ = Rµ−1 Rµ = I folgt die zweite Gleichheit durch nachstehende Äquivalenzumformung, die auf der Darstellung der
Resolvente aus Satz 2.6 beruht:
3. Yosida-Approximation
⇔
⇔
⇔
15
!
(λ − Aµ )−1 µRµ
=
µ (µ − A)−1
=
λ+µ
µ (µ − A)−1
µ
λµ
(λ + µ)
−A
λ+µ
µ
Rν
λ+µ
µ
Rν
λ+µ
!
(λ − Aµ )
!
(λ − Aµ ) (ν − A)−1
!
(µ − A) (λ − Aµ )
!
µλ − λA − µAµ + AAµ
!
µλ − λA − µµARµ + AµARµ
=
=
⇔
λµ − (λ + µ)A
=
⇔
λµ − λA − µA
=
⇔
−µA
=
!
− µA (µRµ − ARµ )
Wenn nun µ → ∞ bekommt man auch die Konvergenz ν → λ, also auch
Rν f → Rλ f . Des Weiteren gilt
µ
µ
µ
µ
Tt µRµ f − T̃t f = Tt µRµ f − Tt f + Tt − T̃t f = Ttµ (µRµ f − f ) + (Ttµ − T̃t f )
µ
µ
≤ kTt k kµRµ f − f k + Tt f − T̃t f −−−→ 0,
(3.6)
µ→∞
da Ttµ beschränkt ist. Also folgt aus (3.5) mit majorisierter Konvergenz
R ∞ −λt
e
T̃
f
dt
=
R
f
.
Dies
bedeutet,
dass
die
Halbgruppen
(T
)
und
T̃
f
t
λ
t
t
t≥0
0
t≥0
die gleichen Resolventen Rλ besitzen. Daher folgt mit dem Eindeutigkeitslemma 2.7, dass diese übereinstimmen. Ausserdem folgt die Gleichung (3.2)
aus (3.4).
3. Yosida-Approximation
16
Bemerkung 3.5 (Beschreibung der Yosida-Approximation Ttλ )
Wie in der Bemerkung anfangs bereits erwähnt, handelt es sich bei der YosidaApproximation Ttλ = etλ(λRλ −I) um den Übergangsoperator eines pseudo
Poisson-Prozsesses N = Nt t≥0 . Dies bedeutet, dass sich N fast sicher darstellen lässt durch
Nt = M ◦ Pλ,t , t ≥ 0,
wobei Pλ ein Poison-Prozess mit Rate λ und M eine zeitdiskrete Markovkette
ist, die den Übergangsoperator λRλ besitzt.
Da dieser Übergangsoperator eine formale Schreibweise des Erwartungswertes
ist, gilt:
λ
Z
∞
e
−λt
Tt f (x)dt = λRλ f (x) = Ex (f (M )) =
0
Z
α(x, dy)f (y)
Setzt man nun die Erwartungswertdefinition für Tt ein erhält man:
Z
=
∞
λ
e
0
Z Z ∞
−λt
Z
µt (x, dy)f (y)dt =
Z
α(x, dy)f (y)
λe−λt µt (x, dy)dtf (y)
0
=
Z
E (µY (x, dy)) f (y)
Y ist hierbei eine zum Parameter λ exponentialverteilte Zufallsvariable, das
heißt Y ∼ Exp(λ). Da Y jedoch die Zeitabstände t des Übergangskernes µt in
Exp(λ) verteilte Sprünge umwandelt, liegt die Interpretation nahe, dass ein
weiterer, zum Parameter λ verteilter, Poisson-Prozess Pλ′ mit dem ursprünglichen Prozess X = (Xt )t≥0 , zu dem die Übergangskerne µt gehören, verkettet
ist.
4 Vorwärts-Rückwärts Gleichungen
von Kolmogorov
4.1 Starke Stetigkeit
Zunächst wird gezeigt, dass jede Feller-Halbgruppe auch stark stetig ist, also
automatisch die Fellereigenschaft (F3 ) aus (F1 ) und (F2 ) folgt. Dies folgt aus den
Resultaten des letzten Kapitels.
Proposition 4.1
Sei (Tt )t≥0 eine Feller-Halbgruppe mit dem Generator (A, D). Dann ist diese
auch stark stetig.
Beweis : Die Halbgruppe Ttλ t≥0 ist normstetig in t für jedes λ > 0 (Bemerkung 1.7), da sie ein pseudo-Poisson-Prozess ist. Also folgt die starke
Stetigkeit von (Tt )t≥0 mit dem Lemma 3.3 für λ → ∞.
4.2 Vorwärts-Rückwärts-Gleichungen
Ein wichtiges Resultat sind nun die abstrakteren Versionen der Vorwärts-Rückwärts Gleichungen von Kolmogorov. Die Rückwärtsgleichung zeigt dann auch,
dass die Charakterisierung des Generators aus Satz 2.6 die Differentialgleichung
aus der Einleitung erfüllt und somit eine sinnvolle Charakterisierung des Generators A ist.
17
4. Vorwärts-Rückwärts Gleichungen von Kolmogorov
18
Satz 4.2 (Vorwärts-Rückwärts Gleichungen)
Sei (Tt )t≥0 eine Feller-Halbgruppe mit Generator (A, D).
Dann erfüllt (Tt )t≥0 die Vorwärtsgleichung
Tt f − f =
Z
t
Ts Af ds,
f ∈ D, t ≥ 0.
(4.1)
0
Des Weiteren ist Tt f differenzierbar in t = 0 genau dann, wenn f ∈ D.
In diesem Fall gilt dann die Rückwärtsgleichung
∂
(Tt f ) = Tt Af = ATt f,
∂t
t ≥ 0.
(4.2)
Bemerkung 4.3 (Anschauung )
Die Gleichung (4.2) heißt Rückwärtsgleichung, da dort die Änderung des Operators Tt zum Zeitpunkt t betrachtet wird. Es wird also rückwirkend für einen
bestimmten Zeitpunkt betrachtet, wie sich der Operator verhält.
Die Vorwärtsgleichung (4.1) hingegen betrachtet Tt im gesamten Bereich
[0, t] und zerlegt so, vorwärts in der Zeit gerichtet, von 0 an die Funktion
Tt f − f .
Da die Differenzierbarkeitsaussage (4.2) genau dann gilt, wenn f ∈ D, ist
D genau die Menge
T
f
−
f
h
D = f ∈ C0 lim
existiert in C0 .
h→0
h
Dies ist die Definition von D, wie sie, aufgrund der anderen Herangehensweise
an den Generator, in vielen Werken (zum Beispiel in [Paz83, S. 1]) zu finden
ist.
Beweis : Zunächst zur Rückrichtung der Äquivalenzaussage: Es sei auf die
Differenzierbarkeitsaussage h−1 Thλ − I −−→ Aλ in Lemma 3.4 hingewiehց0
sen. Benutzt man nun die Halbgruppeneigenschaft indem man von rechts
mit Ttλ multipliziert zusammen mit der Stetigkeit von Ttλ , so erhält man
etwas allgemeiner die Differenzierbarkeit zu jedem Zeitpunkt t ≥ 0
Thλ − I
h
⇔
Ttλ
=
λ
− Ttλ
Tt+h
h
−−→ Aλ Ttλ
∂ λ
T = Aλ Ttλ = Ttλ Aλ ,
∂t t
hց0
t ≥ 0.
4. Vorwärts-Rückwärts Gleichungen von Kolmogorov
19
Dies impliziert weiter
Z
t
0
t
Tsλ Aλ f ds = Tsλ f 0 = Ttλ f − f,
f ∈ C0 , t ≥ 0.
(4.3)
Wenn nun f ∈ D folgt mit Lemma 3.3 die gleichmäßige Konvergenz von
λ λ
Ts A f − Ts Af ≤ Aλ f − Af + Tsλ Af − Ts Af −−−→ 0
λ→∞
für beschränkte s durch die gleiche Abschätzung wie in (3.6).
So folgt dann auch Gleichung (4.1) aus (4.3) für λ → ∞.
Mit der starken Stetigkeit von (Tt ) kann man nun (4.1) differenzieren,
womit man auch die erste Gleichung aus (4.2) bekommt. Die zweite Gleichung
in (4.2) liefert dann die Kommutativität aus Satz 2.6.
Für die Hinrichtung wird angenommen, dass h−1 (Th f − f ) −−→ g für ein
hց0
beliebiges Paar von Funktionen f, g ∈ C0 gilt. Dann folgt aus der Kommutativität von Tt und Rλ , dass
Th − I
Th − I
f=
Rλ f −−→ ARλ f
hց0
h
h
Th − I
Th f − f
Rλ
f = Rλ
−−→ Rλ g.
hց0
h
h
Rλ
Dies kann man nutzen um f umzuschreiben zu
f = (λ − A)Rλ f = λRλ f − ARλ f = Rλ (λf − g) ∈ D.
Damit folgt für f ∈ C0 aus der Differenzierbarkeit von Tt in 0, dass f ∈ D. Bemerkung 4.4
Die eindimensionale Differentialgleichung (4.2) auf R+ lässt sich leicht zu
einer partiellen Differentialgleichung auf R+ × S erweitern durch
∂
(Tt f ) (x) = Tt Af (x) = ATt f (x),
∂t
t ≥ 0.
Dies folgt daraus, dass aus der starken Stetigkeit auf C0 die punktweise Stetigkeit in S folgt.
4. Vorwärts-Rückwärts Gleichungen von Kolmogorov
20
Korollar 4.5 (Spezialfall der Rückwärtsgleichung )
Für den Spezialfall, dass (Tt )t≥0 die Halbgruppe eines pseudo-Poisson-Prozesses mit Übergangskern µt und Rate c ist, wird aus der Rückwärtsgleichung
(4.2) die partielle Differentialgleichung
∂
Tt f (x) =
∂t
Z
(Tt f (y) − Tt f (x)) α(x, dy),
wobei α der Intensitätskern eines Markov-Sprung-Prozesses ist.
Beweis : Die Rückwärtsgleichung (4.2) gilt im Allgemeinen für beliebige FellerProzesse. Im Spezialfall, dass (Tt )t≥0 die Halbgruppe bezüglich eines pseudoPoisson-Prozesses ist, gilt für den Generator A = c(T − I). Dabei gelten die
Bezeichnungen aus Bemerkung 1.7. Dies bedeutet für die Rückwärtsgleichung
für t ≥ 0, x ∈ S:
∂
Tt f (x) =ATt f (x) = c(T − I)Tt f (x) = c (T Tt f (x) − Tt f (x))
∂t
Z
=c
Tt f (y)µ(x, dy) − Tt f (x)
Z
(∗)
= (Tt f (y) − Tt f (x)) α(x, dy)
Dabei ist α der Intensitätskern eines Markov-Sprung-Prozesses. Für den Beweis des Zusammenhangs des Intensitätskerns α des Markov-Sprung-Prozesses und des Übergangskern µ des zeitdiskreten Markov-Prozesses, welcher
in der Gleichungskette in (∗) genutzt wurde, sei auf [Kal02, S. 241] verwiesen.
R
∂
Tt f (x) = (Tt f (y) − Tt f (x)) α(x, dy),
Die partielle Rückwärtsgleichung ∂t
welche Kallenberg in seinem Kapitel Poisson and Pure Jump-Type Markov
”
Processes“ [Kal02, Kapitel 12, S. 241 ff.] behandelt, ist also ein Spezialfall
der abstrakten Differentialgleichung (4.2).
4. Vorwärts-Rückwärts Gleichungen von Kolmogorov
21
Bemerkung 4.6 (Rückwärtsdifferentiation)
Betrachtet man nun nicht einen in der Zeit von 0 vorwärtsgerichteten Prozess, sondern einen von einem festen Zeitpunkt s ≥ 0 rückwärtsgerichteten
Prozess, so ist die Frage, wie sich die Rückwärtsgleichung (4.2) bezüglich der
Halbgruppe ändert. Dafür sei zunächst angenommen, dass für festes x ∈ S die
Umkehrung von Tt f (x) = Ex (f (Xt )) existiert. Diese sei zunächst bezeichnet
mit Tt−1 f (x). Dann gilt für 0 ≤ t < s, wobei s fest:
∂
Ts−t−h − Ts−t
Ts−t Tt Tt−1 f (x) = lim
Tt Tt−1 f (x)
h→0
∂t
h
Ts−h − Ts −1
Tt f (x)
= lim
h→0
h
Ts − Ts−h −1
Tt f (x)
= lim −
h→0
h
∂
= − Ts Tt−1 f (x) = −ATs Tt−1 f (x)
∂s
= − ATs−t+t Tt−1 f (x) = −ATs−t Tt Tt−1 f (x)
=(−A)Ts−t f (x)
Da der Generierungs-Operator A die infinitesimale Änderung der Halbgruppe
(Tt )t≥0 zu jedem Zeitpunkt t beschreibt, zeigt obige Aussage, dass A auch
in der rückwärtsgerichteten Halbgruppe die infinitesimale Änderung angibt.
Gleichzeitig ist die Änderung nun zu jedem Zeitpunkt negativ, welches die
Rückwärtsbewegung von (Tt )t≥0 anzeigt.
Literaturverzeichnis
[Fel71] William Feller. An introduction to probability theory and its applications/2. 1971.
[Kal02] Olav Kallenberg. Foundations of modern probability. Springer, New
York, NY [u.a.], 2002.
[Paz83] Amnon Pazy. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. Applied mathematical sciences ; 44. Springer,
1983.
[Wer07] Dirk Werner. Funktionalanalysis. Springer, Berlin [u.a.], 2007.
22
Eigenständigkeitserklärung
Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig und ohne fremde
Hilfe verfasst und keine anderen Hilfsmittel als angegeben verwendet habe. Insbesondere versichere ich, dass ich alle wörtlichen und sinngemäßen Übernahmen
aus anderen Werken als solche kenntlich gemacht habe.
Ort,
Datum
Unterschrift (Sascha Schleef)
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