The theorem on arithmetic progressions Density and Dirichlet

The theorem on arithmetic progressions
Density and Dirichlet theorem1
von
David Höffer
im Rahmen des Seminars Kombinatorik und Zahlentheorie“ bei
”
Prof. Dr. Dieter Denneberg im Sommersemester 2006
1
nach J.-P. Serre: A Course in Arithmetic“, Springer, New-York 1973.
”
Im Folgenden soll der Dirichlet’sche Primzahlsatz bewiesen und erläutert
werden. Dabei wird auf die Resultate der vier vorhergehenden Vorträge
zurückgegriffen. Ebenso wie diese orientiert sich die Beweisführung am entsprechenden Kapitel im Buch A Course in Arithmetic“ von J.P. Serre.
”
Theorem 1 Seien a und m teilerfremde natürliche Zahlen. Dann existieren
unendlich viele Primzahlen p mit p ≡ a (mod m).
Wir wissen, dass für s & 1 gilt:
X 1
p∈P
ps
∼ log
1
s−1
Definition 1 Definiere eine monotone Mengenfunktion ν wie folgt:
P
1
p∈A ps
s&1 log 1
s−1
ν(A) := lim
, für diejenigen A ⊂ P, für die dieser Limes existiert.
ν(A) ist damit ein Maß für den Anteil einer Teilmenge A von Primzahlen
an allen Primzahlen. Dabei gilt ν(P) = 1. Außerdem gilt für endliches A
ν(A) = 0, da der Zähler des oben definierten Bruchs dann für alle s > 1
endlich ist, während der Nenner für s & 1 gegen ∞ strebt. ν wird auch als
analytische Dichte“ oder Dirichlet-Dichte“ bezeichnet.
”
”
Mit den Mengenbezeichnungen An = A∩{1, ..., n} und Pn = P∩{1, ..., n}
ergibt sich für den Anteil von A an P eine andere, noch eingängigere Definition, sie wird natürliche Dichte“ genannt:
”
|An |
νe(A) = lim
n→∞ |Pn |
Aus der Existenz der natürlichen Dichte folgt die Existenz der DirichletDichte, es gilt dann sogar ν(A) = νe(A) (hier ohne Beweis). Umgekehrt ist
dies aber nicht möglich, es gibt also Primzahlmengen, für die die DirichletDichte existiert, die natürliche aber nicht. Als Beispiel dafür sei die Menge
der Primzahlen mit einer 1 als erster Dezimalstelle genannt. Die natürliche
Dichte dieser Menge existiert nicht, die analytische ist nach einem Beweis
des Mathematikers Bombieri log10 2 ≈ 0, 3. Für den Beweis von Theorem 1
wird aber nur die Dirichlet-Dichte verwendet.
Sei im Folgenden m ≥ 1 fest gewählt.
Definition 2 Sei a so gewählt, dass (a, m) = 1. Bezeichne Pa die Menge
der Primzahlen mit p ≡ a (mod m).
1
Mit dieser Bezeichnung ergibt sich eine stärkere Aussage:
Theorem 2 Sei wieder a so gewählt, dass (a, m) = 1.
Dann folgt:
1
ν(Pa ) =
ϕ(m)
Verbal ausgedrückt bedeutet dies, dass sich die Primzahlen gleichmäßig
auf die verschiedenen durch mod m erzeugten Äquivalenzklassen, welche
teilerfremd zu m sind, verteilen. Im Gegensatz zur modulo-Operation auf Z,
bei der die Vereinigung der gleich großen Äquivalenzklassen Z/mZ wieder
Z ergibt, werden bei der Zerlegung von P allerdings nicht alle Primzahlen
erfasst – für fest gewähltes m gilt für die Vereinigung der Pa nämlich nur:
[
Pa = P\{p | p | m}
(a,m)=1
Zur Veranschaulichung zwei kleine Beispiele:
Beispiel 1 Sei m = 4. Dann sind von den vier durch mod m erzeugten
Äquivalenzklassen zwei teilerfremd zu m, nämlich die Klassen
{z ∈ Z|z ≡ 1(mod m)}
und
{z ∈ Z|z ≡ 3(mod m)}
Betrachtet man nun hieraus jeweils nur die Primzahlen, gibt es nach Theorem 2 in jeder der beiden Klassen asymptotisch gesehen gleich viele, d.h.
auch, dass der Anteil der Primzahlen an den jeweiligen Klassen gleich groß
ist. Die 2 fällt dabei in keine der beiden Klassen.
Beispiel 2 Für m = 10 gibt es vier teilerfremde Äquivalenzklassen. Dabei
enden alle Zahlen innerhalb einer Klasse auf der gleichen Ziffer, nämlich auf
1, 3, 7 und 9. Aus Theorem 2 folgt demnach, dass es asymptotisch gesehen
gleich viele Primzahlen gibt, die auf 1, 3, 7 und 9 enden – wie man auch
intuitiv erwarten würde.
Die ursprüngliche Behauptung aus Theorem 1 ergibt sich nun aus Theorem 2, denn da die ν(Pa ) 6= 0 können die Pa nicht endlich sein, was der
Aussage von Theorem 1 entspricht.
2
Nun zum Beweis von Theorem 2:
Es gelten die Voraussetzungen und Bezeichnungen wie in Theorem 2. Bezeichne G(m) die Einheitengruppe von (Z/mZ). Sei außerdem im Folgenden
χ ein Charakter von G(m). Definiere die Funktion fχ wie folgt:
X χ(p)
fχ (s) =
ps
p-m
Diese Reihe konvergiert für s > 1.
Zum Beweis des Satzes werden nun folgende Lemmata benötigt:
Lemma 1
1
a) Für χ = 1 gilt: f1 ∼ log s−1
für s & 1
b) Andernfalls ist fχ beschränkt für s & 1.
Beweis ad a)
f1 =
X 1
ps
p-m
unterscheidet sich von
X 1
ps
p∈P
nur in endlich vielen Summanden, nämlich nur den Primfaktoren von m.
Das asymptotische Verhalten ist daher gleich.
ad b) Betrachte log(L(s, χ)). Da für Re(s) > 1 die einzelnen Faktoren
1
die Form 1−α
mit |α| < 1 haben und nach Taylorentwicklung
∞
X αn
1
log
=
1−α
n
n=1
gilt, lässt sich wie folgt umformen:
log(L(s, χ)) = log
Y
p∈P
X
=
log
p∈P
XX
=
n
3
p
1
χ(p)
ps
1−
1
χ(p)
ps
n
χ(p)
1−
npns
So umgeformt lässt sich log(L(s, χ)) aufsplitten in fχ (s) + Fχ (s) mit
Fχ (s) =
X X χ(p)n
( ns )
np
p
n≥2
Damit bleibt die Beschränktheit von log(L(s, χ)) und die von Fχ (s) für χ 6= 1
und s & 1 zu zeigen:
Die Beschränktheit von Fχ (s) folgt aus dem zweiten Korollar zu Proposition 10 (Vortrag von Torben), das besagt, dass für s & 1 die Doppelsumme
P
P 1
χ(p)n
n≥2
p ( pns ) beschränkt ist, was sich durch Hinzunahme des Faktors
n
nicht ändert.
Aus Proposition 12 folgt, dass L(s, χ) in der Halbebene Re(s) > 0 beschränkt
bleibt für χ 6= 1, was im vorliegenden Fall ja auch nur betrachtet wird. Außerdem erhält man unter der gleichen Voraussetzung aus Teil b des Theorems
in Arnes Vortrag über L-Funktionen, dass L(1, χ) auch keine Nullstelle hat.
Damit ist dann auch log(L(s, χ)) für s & 1 beschränkt.
Sei im Folgenden
ga (s) =
X 1
ps
p∈Pa
Dann gilt:
Lemma 2
ga (s) =
1
ϕ(m)
X
χ(a)−1 fχ (s)
χ∈Ĝ(m)
Beweis Betrachten wir die Summe genauer:
X
(χ(a)−1 fχ (s)) =
χ∈Ĝ(m)
=
X X χ(a)−1 χ(p)
ps
χ∈Ĝ(m) p - m
P
X χ χ(a)−1 χ(p)
p-m
ps
Nach Definition des modularen Charakters χ (siehe Katrin) gilt:
χ(a−1 )χ(p) = χ(a−1 p) .
4
Man beachte, dass dabei a−1 das Inverse von a in G(m) bezeichnet und nicht
etwa in Q.
Unter Berücksichtigung des Korollars zu Proposition 4 und der Tatsache, dass ϕ(m) die Kardinalität von G(m) ist, ergibt sich:
X
−1
χ(a
p) =
ϕ(m) f alls a−1 p ≡ 1(mod m)
0
sonst
χ∈Ĝ(m)
a−1 p ≡ 1(mod m) ist aber gerade dann der Fall, wenn p ≡ a(mod m),
also wenn p ∈ Pa . Da Pa ⊂ {p ∈ P : p - m} gilt, werden die Terme für
p∈
/ Pa also 0 und die Summe läuft nur noch über Pa . Es ergibt sich durch
Einsetzen in die obige Gleichung:
X
χ(a)−1 fχ (s) =
X ϕ(m)
= ϕ(m)ga (s)
ps
p∈Pa
χ∈Ĝ(m)
Der Beweis von Theorem 2 ergibt sich nun wie folgt aus den soeben bewiesenen Lemmata:
Beweis zu Theorem 2
Aus Lemma 2 erhalten wir:
1 X
χ(a)−1 fχ (s)
s&1 ϕ(m)
χ
lim ga (s) = lim
s&1
Also gilt:
ν(Pa ) = lims&1
ga (s)
1
log( s−1
)
=
1
ϕ(m)
lims&1
1
log
1
s−1
−1
χ χ(a) fχ (s)
P
1
Aus Lemma 1 wissen wir, dass sich fχ für χ = 1 asymptotisch wie log( s−1
)
verhält und alle anderen fχ beschränkt sind. Diese fallen damit also im
Grenzwert nicht ins Gewicht und die obige Gleichung liefert:
ν(Pa ) =
1
.
ϕ(m)
5

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