Affine Abbildungen

Übungsblatt
1. Handelt sich bei folgenden Abbildungen um affine Abbildungen (müssen umkehrbar sein)?
Welche geometrische Wirkung haben die Abbildungen ?
1 2  G
1 2 G
a.) α : 
b.) β : 
⋅ x
⋅ x
1 2 
 −3 −4 
2. Bestimme die affine Abbildung, die A (0 / 0), B (1 / 1), C (-1 / -2) auf A‘ (1 / 0), B‘ (2 / 3),
C‘ (-3 / -4) abbildet.
3. Bestimme die Abbildungsgleichungen:
a) einer Drehung von 270° um den Punkt Z (1 / 1).
b) Spiegelung an der y-Achse und Streckung um den Faktor 4
 2
c) Spiegelung an y = 3x + 7 und Verschiebung um   .
 3
1 3  G  1 
4. Bestimme alle Fixpunkte der affinen Abbildung: 
⋅ x +   .
 2 −2 
 −1
 1 2 G
5. Zeige, dass 
 ⋅ x eine Achsenaffinität ist. Untersuche, ob die es sich um eine Parallelstre 0 3
ckung oder eine Scherung handelt. Bestimme die entsprechenden Größen.
 −1 2  G
6. Zeige, dass 
 ⋅ x eine Affindrehung ist. Bestimme eine Drehung δ mit dem Zentrum O und
 −6 3 
eine affine Abbildung γ mit mindestens einer Fixgeraden, so dass α = γ ° δ ist. Bestimme den
Abbildungstyp von γ.
2 4  G
7. Um was für einen Abbildungstyp handelt es sich bei: α : 
 ⋅ x ? Bestimme das Bild der y 4 −8 
Achse unter α.
Lösungen
1. a) det (A) = 0, d.h. nicht umkehrbar, somit keine affine Abbildung.
G
1
1
A ⋅ x = ( x + 2 y ) ⋅   = k ⋅   , d.h. alle Punkte werden auf die 1.Winkelhalbierende abgebildet.
1
1
b) det (A) ≠0, Geradentreu (Behauptung – ohne Nachweis), d.h. affine Abbildung
2
1
β hat die Eigewerte –1 und –2 mit den Eigenvektoren   und  3  , d.h. es handelt sich um
 
 −1 
 −1 
eine Euler-Affinität (Verkettung zweier Parallelstreckungen ...)
G a b  G  e 
2. Ansatz: α ( x) = 
 ⋅ x +   liefert für α (A) = A’ und α (B) = B’ und α (C) = C’:
c d
f
G
 0 1 G  1 
⋅ x +  .
 2 1
0
α ( x) = 
 0 1 G
3. a) Für Z (0|0) ergibt sich über die Bilder der Einheitsvektoren: 
⋅ x .
 −1 0 
0
Für Z (1|1) mus eine Verschiebung um   erfolgen.
 2
Anders: 3 Punkte und ihre Bildpunkte wählen, dann berechnen nach dem Verfahren der Aufgabe 2.
 0 1 G  0
Ergebnis: 
⋅ x + 
 −1 0 
 2
 −1 0  G
b) Spiegelung an der y-Achse: 
⋅ x
 0 1
 4 0 G
Streckung (Z = O) um 4: 
⋅ x
 0 4
 4 0   −1 0  G  −4 0  G
Verkettung bzw. Hintereinanderausführung: 
 ⋅
⋅ x = 
⋅ x
 0 4  0 1
 0 4
c) Rechnung über 6 – Punkte:
7
7
21 7
A (0|7) , A' (0|7), B (- |0), B' (- |0), C (0|0), C' (- | )
3
3
5 2
 4
G − 5
α ( x) = 
 3

 2
3
 21 

− 5 
G
5
⋅ x + 

1
 7 



2
 2 
1 3  G  1  G
4. 
 ⋅ x +   = x liefert als einzigen Fixpunkt
 2 −2 
 −1
1

0| − .
3

6. Die Eigenwerte der Abbildung sind 1 und 3, somit handelt es sich um eine Parallelstreckung.
7. Die Abbildung hat keine Eigenwerte, also ist es eine Affindrehung.
 −1 2   1   −1 

⋅  =  
 −6 3   0   − 6 
Der Drehwinkel ist größer als 180° und sin α = −

−
Die Drehmatrix lautet: D = 

−

1
37
6
37
6 
37 
1 
−

37 


Aus A = C ⋅ D ergibt sich C = A ⋅ D-1, C = 



C hat 2 Eigenwerte
37 und
6
1
und cos α = −
.
37
37
13
37
24
37
4 
37 
33 

37 
9 ⋅ 37
, also handelt es sich um eine Euler-Affinität.
37
7. Die Abbildung hat 2 Eigenwerte
Affinität.
1 3  0
 4
 1

 ⋅  = r ⋅  = s ⋅ 
 2 −2   r 
 −8 
 −2 
41 − 3 und − 41 − 3 , also handelt es sich um eine Euler-

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