Analysis Aufgabengruppe 1 1. Gegeben ist die

Abitur Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2015
Prüfungsteil A – Analysis
Aufgabengruppe 1
1. Gegeben ist die Funktion f: x (x 3 − 8) ⋅ (2 + ln x) mit maximalem Definitionsbereich D.
BE
a) Geben Sie D an.
1
b) Bestimmen Sie die Nullstellen von f.
2
2. Gegeben sind die in 0 definierten Funktionen f, g und h mit f(x) = x2 – x + 1,
g(x) = x3 – x + 1 und h(x) = x4 + x2 + 1.
a) Abbildung 1 zeigt den Graphen einer
der drei Funktionen. Geben Sie an, um
welche Funktion es sich handelt. Begründen Sie, dass der Graph die anderen beiden Funktionen nicht darstellt.
3
b) Die erste Ableitungsfunktion von h ist
h'. Bestimmen Sie den Wert von
1
∫ h '(x) dx.
Abb. 1
2
0
3. a) Geben Sie einen positiven Wert für den Parameter a an, sodass die in 0
definierte Funktion f: x sin (ax) eine Nullstelle in x = π6 hat.
1
b) Ermitteln Sie den Wert des Parameters b, sodass die Funktion
g: x x 2 − b den maximalen Definitionsbereich 0\ ] –2; 2 [ besitzt.
2
c) Erläutern Sie, dass die in 0 definierte Funktion h: x 4 − e x den Wertebereich ] – ∞; 4 [ besitzt.
2
4. Abbildung 2 zeigt den Graphen einer in
0 definierten differenzierbaren Funktion
g: x g(x). Mithilfe des Newton-Verfahrens soll ein Näherungswert für die
Nullstelle a von g ermittelt werden.
Begründen Sie, dass weder die x-Koordinate des Hochpunkts H noch die x-Koordinate des Tiefpunkts T als Startwert des
Newton-Verfahrens gewählt werden kann.
2015-1
Abb. 2
2
Tipps und Hinweise
Aufgabengruppe 1
Aufgabe 1 a
r Die gegebene Funktion ist das Produkt zweier Funktionen.
r Eine Teilfunktion ist eine rationale Funktion, die andere eine ln-Funktion.
r Hat eine rationale Funktion Einschränkungen des Definitionsbereichs?
r Besitzt eine ln-Funktion Einschränkungen bzgl. des Definitionsbereichs?
Aufgabe 1 b
r Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist.
r Eine ln-Gleichung wird mithilfe der Umkehrfunktion ex gelöst.
Aufgabe 2 a
r Die drei Funktionen sind rationale Funktionen von unterschiedlichem Grad.
r Wie nennt man den Graphen einer rationalen Funktion 2. Grades?
r Handelt es sich bei dem gegebenen Graphen um eine Parabel?
r Besitzt die Funktion g(x) Symmetrie zum KOSY?
r Wie verhält sich g(x) für x → ± ∞?
r Besitzt die Funktion h(x) Symmetrie zum KOSY?
r Wie verhält sich h(x) für x → ± ∞?
Aufgabe 2 b
r Wie berechnet sich ein bestimmtes Integral?
b
r
∫ f (x) dx = [F(x)]a , wobei F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist.
b
a
r Welcher Zusammenhang besteht zwischen F(x) und f(x)?
r Die Ableitung der Stammfunktion ergibt die ursprüngliche Funktion: F '(x) = f(x)
r Hier soll gemäß Angabe gelten: f(x) = h'(x)
r Stammfunktion von h'(x) ist h(x).
Aufgabe 3 a
r Wo besitzt die Funktion f1(x) = sin (1 ⋅ x) = sin (x) Nullstellen?
r Wie beeinflusst die Veränderung von a den Graphen von fa(x) = sin (ax)?
2015-3
Lösungen
Aufgabengruppe 1
1. a) D = 0+, da nur ln x eine Einschränkung erfordert.
b) f (x) = 0 ⇒ (x 3 − 8) ⋅ (2 + ln x) = 0
⇒ x 3 − 8 = 0 oder 2 + ln x = 0
ln x = −2
x3 = 8
x = e −2
x=2
2. a) Der Graph zeigt die Funktion g(x).
Der Graph von f(x) ist eine Parabel und kann somit nicht der gezeigte Graph
sein.
Der Graph von h(x) verläuft für x → ± ∞ nach + ∞ (der Exponent der größten
Potenz von x ist gerade) und kann somit nicht der gezeigte Graph sein.
oder:
Der Graph von h(x) ist symmetrisch zur y-Achse, da nur geradzahlige Potenzen
von x vorhanden sind, und kann somit nicht der gezeigte Graph sein.
b) Um das Integral auszurechnen, benötigt man eine Stammfunktion von h'(x).
Dies ist die gegebene Funktion h(x).
1
∫ h '(x) dx = [h(x)]0 = (14 + 12 + 1) − (0 4 + 0 2 + 1) = 3 − 1 = 2
1
0
3. a) fa(x) = sin (ax) mit D = 0 und a ∈0+
Für a = 6; 12; 18; … besitzt fa(x) = sin (ax) die Nullstelle x = π6 .
Begründung (nicht verlangt!):
f1(x) = sin (1 ⋅ x) = sin (x) besitzt die Nullstellen 0; ± π; ± 2π; ± 3π; … und die
Periode 2π. Die Veränderung von a bewirkt eine Veränderung der Periodenlänge und damit verschieben sich die Nullstellen.
a = 6: Statt der Nullstelle π ergibt sich die Nullstelle x = π6 ,
da sin 6 ⋅ π6 = sin( π) = 0.
(
)
a = 12: Statt der Nullstelle 2π ergibt sich die Nullstelle x = π6 ,
da sin 12 ⋅ π6 = sin(2π) = 0.
(
)
(
)
a = 18: Statt der Nullstelle 3π ergibt sich die Nullstelle x = π6 ,
da sin 18 ⋅ π6 = sin(3π) = 0.
usw.
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