7 Eigenschwingungen des Balkens - WWW-Docs for B-TU

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Eigenschwingungen des Balkens
Wie
die eindimensionale Wellengleichung besitzt auch die partielle Differentialgleichung
..
w ) (EIńrA)w IV + 0 für Balkenschwingungen Eigenlösungen, welche die Differentialgleichung und die homogenen Randbedingungen erfüllen. Um diese zu finden, wählt man in
entsprechender Weise einen Bernoulli’schen Produktansatz, der die partielle Differentialgleichung in eine gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung bezüglich der Zeit und eine
gewöhnliche Ortsdifferentialgleichung 4. Ordnung entkoppelt.
Während die Lösung der Zeitdifferentialgleichung wie bei der Wellengleichung auf eine harmonische Schwingung führt, werden die Lösungen der Ortsdifferentialgleichung im Unterschied zu den Eigenformen der Wellengleichung nun sowohl von trigonometrischen als
auch von Hyperbelfunktionen gebildet. Die sich aus den Randbedingungen ergebende
charakteristische Gleichung kann dadurch i. Allg. nicht mehr analytisch gelöst werden, sondern die Nullstellen der charakteristischen Funktionen und damit die Eigenfrequenzen des
Balkens müssen numerisch durch Nullstellensuche gefunden werden. Der größeren Kombinationsvielfalt der vier Randbedingungen entsprechend ist auch die Vielfalt der verschiedenen Eigenfunktionen größer als bei der Wellengleichung.
Auch hier kann die Orthogonalität der Eigenfunktionen nachgewiesen und zur Normierung
der Eigenfunktionenen verwendet werden. Durch Zusammensetzen der Eigenfunktionen
und der Zeitlösungen entsprechend des Produktansatzes findet man die Eigenschwingungen des Balkens als zeitlich synchrone Schwingungen in Form der Eigenfunktionen. Auslenkungsmaxima und Nulldurchgänge erfolgen dabei für alle Punkte des Balken gleichzeitig.
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7 Eigenschwingungen des Balkens
7.1 Eigenlösungen
Partielle Differentialgleichung der Balkenbiegung
..
w ) EI wIV + 0
rA
Produktansatz
w(x, t) + W(x)y(t)
..
y(t)
W IV(x)
+ * EI + const +: * w 2
rA
y(t)
W(x)
rA
EI
y(t) ) w 2y(t) + 0
..
W IV(x) * g 4W(x) + 0
y(t) + A cos wt ) B sin wt
+ y 0 cos(wt * ö)
W(x) + C cos gx ) D sin gx) E cosh gx ) F sinh gx
mit
g 4 :+ w 2
7 Eigenschwingungen des Balkens
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Festlegung der Konstanten w durch die Randbedingungen
D Beispiel:
gelenkig−gelenkige Lagerung
0
L
w(x, t)
x
z
w(0, t) + 0
wȀȀ (0, t) + 0
w(L, t) + 0
wȀȀ (L, t) + 0
ȱ 1
*1
ȧ cos
ȧ gL
Ȳ* cos gL
0
1
0 ȳȱCȳ
0
1
0 ȧD
sin gL
cosh gL sinh gLȧȧEȧ+ 0
* sin gL cosh gL sinh gLȴȲFȴ
charakteristische Gleichung
sin gL + 0
Eigenfrequenzen
w k + g 2k
Eigenformen
W k(x) + D k sin g kL x + D k sin kpx ,
L
L
EI + k p
EI
ǸrA
ǸrAL
2 2
ǒ
Ǔ
4
,
k + 1, 2, AAA
k + 1, 2, AAA
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7 Eigenschwingungen des Balkens
D Allgemeine Einspannung
Lagerung
Eigenfrequenzen w k + (g kL)2 ǸEIńrAL 4
(g 1L) 2
22.4
frei − frei
fest
− gelenkig
(g 3L) 2
1 * cos gL cosh gL + 0
fest − fest
g
gelenkig
g
− gelenkig
(g 2L) 2
61.7
120.9
sin gL + 0
9.87
39.5
88.8
1 * cos gL cosh gL + 0
22.4
61.7
120.9
tan gL * tanh gL + 0
15.4
50.0
104.2
1 ) cos gL cosh gL + 0
fest − frei
3.52
22.0
61.7
···
Eigenformen für k + 1, 2, 3
7 Eigenschwingungen des Balkens
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7.2 Orthogonalität der Eigenfunktionen
Orthogonalitätsbedingung
Die Eigenfunktionen der Balkenbiegung lassen sich stets wie folgt normieren:
L
ŕ W (x)W (x)dx +
i
j
0
0
1
für i 0 j
für i + j
Begründung:
D für i 0 j: w k, W k(x), k + 1, 2, AAA erfüllen Dgl. W IV * g 4W + 0 und hom. Randbed.
k+i
³
g 4i W i + WiIV
(1)
ŤWj
k+j
g 4j W j + WjIV
(2)
ŤW i
³
L
L
Ǔ ŕ WiWjdx + ŕ ǒWiIVWj * WjIVWiǓdx
ǒ
subtr.+integr.: g 4i * g 4j 0
0
partielle Integration
+ W iȀȀȀ W jŤ * W jȀȀȀ W iŤ *
L
L
0
0
L
ŕǒW ȀȀȀ W Ȁ * W ȀȀȀ W ȀǓdx
i
j
j
i
0
partielle Integration
+ W iȀȀȀ W jŤ * W jȀȀȀ W iŤ * W iȀȀ W jȀ Ť ) W jȀȀ W iȀ Ť )
L
L
L
L
0
0
0
0
L
ŕǒW ȀȀ W ȀȀ * W ȀȀ W ȀȀ Ǔdx
i
j
j
i
0
hom. RB: W + 0 Ɵ Q X W ȀȀȀ + 0 å W ȀȀȀ W|
0,L
W Ȁ + 0Ɵ M X W ȀȀ + 0 å W ȀȀWȀ |
+0
g i0g j
å 0,L
+0
+0
L
ŕ W W dx + 0 n
i
j
0
D für i + j: W i(x) nur bis auf einen freien Faktor bestimmt  Normierung möglich
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7 Eigenschwingungen des Balkens
7.3 Eigenschwingungen
Partielle
Differentialgleichung
..
w ) EI wIV + 0
rA
Produktansatz
w(x, t) + W(x)y(t)
Gewöhnliche
Differentialgleichungen
..
y(t) ) w 2y(t) + 0
W IV(x) * g 4W(x) + 0 mit g 4 :+ w 2
rA
EI
W(x) + C cos gx ) D sin gx
) E cosh gx ) F sinh gx
homogene Randbedingungen
Eigenfrequenzen
wk ,
k + 1, 2, AAA
C k, D k, E k, F k
y k(t)+ y 0k cos(w kt * ö k)
W k(x) + C k cos g kx ) D k sin g kx
) E k cosh g kx ) F k sinh g kx
w k(x, t) + W k(x)y k(t)
Eigenschwingungen
w k(x, t)+ y 0k ǒC k cos g kx ) D k sin g kx ) E k cosh g kx ) F k sinh g kx Ǔcos(w kt * ö k)

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