www.SchulLV.de Basiswissen > Stochastik > Wahrscheinlichkeiten > Bedingte Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit Spickzettel Aufgaben Kurzlösungen Ausführliche Lösungen PLUS Bedingte Wahrscheinlichkeiten Einführung ∣ Bedingte Wahrscheinlichkeiten werden mit PB (A) oder oft auch mit P(A B) bezeichnet. Sie bezeichnen die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis A eintritt, wenn bereits gesichert ist, dass das Ereignis B eintritt. Man nennt PB (A) „die Wahrscheinlichkeit für A unter der Bedingung B “. Man kann diese wie folgt berechnen: P(A PB (A) = ∩ B) P(B) Aus den bedingten Wahrscheinlichkeiten lässt sich die totale Wahrscheinlichkeit für berechnen: P(A) = PB (A) ⋅ P(B) + P ⎯⎯⎯⎯ (A) B ⋅ A wie folgt ⎯⎯⎯⎯ P(B) ⎯⎯⎯⎯ Dabei bezeichnet B das Gegenereignis zu B . Beispiel Betrachte eine Urne mit 3 roten und 2 schwarzen Kugeln. Es wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen. A B : im zweiten Zug wird eine rote Kugel gezogen : im ersten Zug wird eine schwarze Kugel gezogen Ereignis A ist abhängig von B . Wir können nun PB (A) berechnen, indem wir davon ausgehen, dass im ersten Zug bereits eine schwarze Kugel gezogen wurde. Wir setzen B also voraus. Daher liegen für den zweiten Zug noch 1 schwarze Kugel und 3 rote Kugeln in der Urne. Die Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu ziehen, wenn bereits eine schwarze gezogen wurde, ergibt sich damit zu PB (A) = 3 4 . Dagegen würde sich die Wahrscheinlichkeit generell im zweiten Zug eine rote Kugel zu ziehen, ohne dass das Ergebnis des ersten Zuges bekannt ist, mit Hilfe der Pfadregeln wie folgt ergeben: P(A) = PB (A) ⋅ P(B) + P„im ersten Z ug wird rot gezogen“ (A) ⋅ P(„ im ersten Z ug wird rot gezogen“) = Der Satz von Bayes Einführung Der Satz von Bayes drückt den Zusammenhang zwischen PB (A) und PA (B) aus. Er kann daher 3 4 ⋅ 2 5 + 2 4 ⋅ 3 5 = 3 5 dabei helfen, eines von beiden zu berechnen, wenn nur das andere bekannt ist: PB (A) = PA (B) ⋅ P(A) P(B) Beispiel Betrachten wir das Beispiel von oben. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass im ersten Zug eine schwarze Kugel gezogen wurde, wenn bekannt ist, dass im zweiten Zug eine rote Kugel gezogen wird, berechnet sich nach dem Satz von Bayes wie folgt: PA (B) = PB (A) ⋅ 3 P(B) P(A) = 4 ⋅ 3 5 2 5 = 1 2