Aufgaben zu Laplace-Wahrscheinlichkeiten

Aufgaben zu Laplace-Wahrscheinlichkeiten
Löse die Aufgaben sauber auf einem Blatt Papier oder im Schulheft.
Gib bei jeder Aufgabe zunächst die Ergebnismenge Ω und ihre Mächtigkeit | Ω | an.
Bestimme dann die Mächtigkeit des zu untersuchenden Ereignisses A
und berechne schließlich die Wahrscheinlichkeit P(A) = | A | : | Ω | .
Und nun geht’s los!
Aufgabe 1
In einer Lostrommel befinden sich 100 Lose.
90 Lose sind Nieten, 8 Lose liefern einen Trostpreis und 2 Lose einen Hauptpreis.
Peter zieht ein Los aus der Trommel.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er
a) eine Niete (Ereignis A),
b) einen Hauptpreis (Ereignis B),
c) keinen Trostpreis (Ereignis C)?
  100 und A  90 und B  2 und C  92
P(A) 
P(B) 
P(C) 
A

B

C


90
 0,90  90 %
100

2
 0, 02  2 %
100

92
 0,92  92 %
100
Aufgabe 2
In einer Lostrommel befinden sich 100 Lose.
90 Lose sind Nieten, 8 Lose liefern einen Trostpreis und 2 Lose einen Hauptpreis.
Paula zieht zwei Lose aus der Trommel.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat sie
a) zwei Nieten (Ereignis A),
b) nur genau eine Niete (Ereignis B),
c) zwei Trostpreise (Ereignis C)
d) Einen Trostpreis und einen Hauptpreis (Ereignis D)?
  100  99  9900 und A  90  89  8010  P(A) 
  9900 und B  90 10  10  90  1800  P(B) 
  9900 und C  8  7  56  P(C) 
C


  9900 und D  8  2  2  8  32  P(D) 
B
A




8010
 0,8090...  80,9%
9900
1800
 0,1818...  18, 2%
9900
56
 0, 0056...  0, 6%
9900
D


32
 0, 0032...  0,3%
9900
Aufgabe 3
4 Mädchen und 4 Jungen sollen durch ein Losverfahren in einer Reihe aufgestellt werden.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit
a) stehen die vier Mädchen vorne (Ereignis A),
b) stehen zwei Mädchen am Anfang und zwei Mädchen am Ende der Reihe (Ereignis B),
c) entsteht eine „bunte“ Reihe, d.h. Mädchen und Jungen wechseln sich ab (Ereignis C) ?
  8!  40320 und A  4! 4!  24  24  576  P(A) 
  8! und B  4  3  4!  2 1  4! 4!  576  P(A) 
A


B


576
1

 1, 4%
40320 70
576
1

 1, 4%
40320 70
  8! und C  4  4  3  3  2  2 11  2  4! 4! 2  1152  P(C) 
C


2
 2,9%
70
Aufgabe 4
Paula wirft zwei Würfel gleichzeitig.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält Paula
a)
b)
c)
d)
zwei gerade Ziffern (Ereignis A),
keine 3 (Ereignis B),
die Augensumme 6 (Ereignis C),
zwei Ziffern, die sich genau um 2 unterscheiden (Ereignis D)?
  62  36 und A  32  9  P(A) 
  62 und B  52  25  P(B) 
9
1

 25 %
36 24
25
 0, 6944...  69, 4 %
36
6  1 5  5 1  2  4  4  2  3  3
  62 und C  5  P(C) 
5
 0,1388...  13,9 %
36
(1/ 3), (3 /1), (2 / 4), (4 / 2), (3 / 5), (5 / 3), (4 / 6), (6 / 4)
  62 und D  8  P(D) 
8
 0, 2222...  22, 2 %
36
Aufgabe 5
In einer Urne befinden sich 3 rote, 2 grüne und eine blaue Kugel.
Peter zieht nacheinander zwei Kugeln (ohne Zurücklegen) aus dieser Urne.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit
a)
b)
c)
d)
ist die erste Kugel rot (Ereignis A),
sind beide Kugeln rot (Ereignis B),
ist eine Kugel rot und die andere grün (Ereignis C),
haben die Kugeln unterschiedliche Farbe (Ereignis D)?
3
 0,50  50%
6
6
  6  5  30 und B  3  2  6 , also P(B) 
 0, 20  20%
30
  6 und A  3 , also P(A) 
  6  5  30 und C  3  2  2  3  12 , also P(C) 
12
 0, 40  40%
30
  6  5  30 und D  (3  2  2  3)  (3 1  1 3)  (2 1  1 2)  12  6  4  22 ,
also P(D) 
22
 0, 7333...  73,3%
30
Aufgabe 6
In einer Urne befinden sich 3 rote, 2 grüne und eine blaue Kugel.
Paula zieht nacheinander zwei Kugeln, wobei sie die erste Kugel aber wieder in die Urne zurücklegt.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit
a)
b)
c)
d)
sind beide Kugeln rot (Ereignis A),
haben die beiden Kugeln die gleiche Farbe (Ereignis B),
ist eine Kugel rot und die andere grün (Ereignis C),
haben die Kugeln unterschiedliche Farbe (Ereignis D)?
9
 0, 25  25%
36
14
  6  6  36 und B  3  3  2  2  11  14 , also P(B) 
 0,3888...  38,9%
36
  6  6  36 und A  3  3  9 , also P(A) 
  6  6  36 und C  3  2  2  3  12 , also P(C) 
12
 0,3333...  33,3%
36
  6  6  36 und D  (3  2  2  3)  (3 1  1 3)  (2 1  1 2)  22,
also P(D) 
22
 0, 6111...  61,1%
36
oder ...
  6  6  36 und D  B , also P(D)  1  P(B)  1 
14 22

 61,1%
36 36
Aufgabe 7
In einer Urne befinden sich 10 Kugeln mit den Ziffern 0, 1, 2, …, 9.
Peter zieht nacheinander drei Kugeln, wobei er die Kugel jeweils wieder in die Urne zurücklegt.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit
a)
b)
c)
d)
zieht Peter dreimal die gleiche Ziffer (Ereignis A),
zieht Peter nur gerade Ziffern (Ereignis B),
zieht Peter drei unterschiedliche Ziffern (Ereignis C),
sind genau zwei der gezogenen Ziffern gleich (Ereignis D für Experten)?
  103  1000 und A  10 , also P(A) 
10
 0, 01  1%
1000
  103  1000 und B  53  125 , also P(B) 
125
 12,5%
1000
  103  1000 und C  10  9  8  720 , also P(C) 
  103  1000 und D  10  9  3  270 , also P(D) 
720
 72%
1000
270
 0, 27  27 %
1000
[doppelt gezogene Zahl: 10 Möglichkeiten; einfach gezogene Zahl : 9 Möglichkeiten und 3 Möglichkeiten für ihre Position.]
oder: P(D) = 1 - P(A) - P(C) = 1 - 0,01 - 0,72 = 0,27 = 27%
Aufgabe 8
In einer Urne befinden sich 10 Kugeln mit den Ziffern 0, 1, 2, …, 9.
Paula zieht nacheinander (ohne Zurücklegen) drei Kugeln, mit denen sie dann eine möglichst große
Zahl bilden soll.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit
a) kann Paula die Zahl 731 bilden (Ereignis A),
b) zieht Paula nur ungerade Ziffern (Ereignis B),
c) kann Paula nur Zahlen kleiner als 600 bilden (Ereignis C)?
  10  9  8  720 und A  3!  6 , also P(A) 
6
 0, 0083...  0,8%
720
  10  9  8  720 und B  5  4  3  60 , also P(B) 
60
 0, 0833...  8,3%
720
120
 0,1666...  16, 7 %
720
[Paula kann nur Ziffern aus der Menge {0,1, 2,3, 4,5} ziehen.]
  10  9  8  720 und C  6  5  4  120 , also P(C) 
Aufgabe 9
Paula würfelt beim „Mensch ärgere dich nicht“ dreimal hintereinander.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit
a)
b)
c)
d)
hat Paula keine „6“ gewürfelt (Ereignis A),
hat Paula nur ungerade Augenzahlen gewürfelt (Ereignis B),
hat Paula mindestens eine „6“ gewürfelt (Ereignis C),
hat Paula genau eine „6“ gewürfelt (Ereignis D)?
  63  216 und A  53  125 , also P(A) 
  63  216 und B  33  27 , also P(A) 
125
 0,5787...  57,9%
216
27
 0,125  12,5%
216
  63  216 und C  A, also P(C)  1  P(A)  1 
  63  216 und D  (5  5 1)  3  75 , also P(D) 
125
91

 0, 4212...  42,1%
216 216
75
 0,3472...  34, 7 %
216
Aufgabe 10
Bei einem Test mit 10 Aufgaben muss Peter jeweils genau eine richtige von 3 Antworten
ankreuzen. Da Peter sich nicht vorbereitet hat, kreuzt er zufällig an.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit beantwortet Peter
a)
b)
c)
d)
keine der Fragen richtig (Ereignis A),
genau eine der Fragen richtig (Ereignis B),
die beiden ersten Fragen richtig (Ereignis C),
genau 4 Fragen richtig (Ereignis D für Experten) ?
210
  3  59049 und A  2  1024  P(A)  10  0, 0173  1, 7 %
3
10
3
10
  310
10
10  29
und B  10 1 2  5120  P(B)  10  0, 0867...  8, 7 %
3
28
8
und C  11 2  256  P(C)  10  0, 0043...  0, 4%
3
9
Suche zunächst die 4 Aufgaben aus den 10 aus, die Peter richtig beantwortet.
Dafür gibt es
10  9  8  7
 210 Möglichkeiten
4  3  2 1
  310 und D  210 14  26  13440  P(D) 
13440
 0, 2276...  22,8%
310
Es ist geschafft!

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