Lösungen

Lösungen
Lösung 17
1. (a) 720
(b) 42 und 990
2. 37 = 2187 (Bonus: 182′ 509′367′ 040′ 000)
3. 5 · 4 · 3 · 3 · 2 = 360
4. 39 · 37 = 1443
5. (a) 9 · 9 · 9 · 9 = 94 = 6561
(b) 9 · 8 · 7 · 6 = 3024 verschiedene solche Zahlen.
6. 15! = 1′ 307′ 674′ 368′ 000
7.
21
!"#$
+
einstellige
8. 2
10
= 1024
22
!"#$
zweistellige
+
23
!"#$
dreistellige
+
24
!"#$
= 2 + 4 + 8 + 16 = 30
vierstellige
9. (24 + 1) · (27 + 1) = 25 · 28 = 700
10.
10!
10
= 9! = 362880
11. Behauptung: (2n)! > (n!)2 .
Beweis: Sind a und b zwei positive Zahlen, so ist a genau dann grösser als b,
wenn ab grösser als 1 ist. Wir setzen a = (2n)! und b = (n!)2 und erhalten:
(2n)!
(2n) · (2n − 1) · . . . · (n + 1) · n · (n − 1) · . . . · 1
a
=
=
2
b
(n!)
n · (n − 1) · . . . · 1 · n · (n − 1) · . . . · 1
!
"#
$ !
"#
$
n!
n!
n+1 n n−1
1
2n 2n − 1
·...·
·...·
=
·
·
·
>1
n
n
−
1
1
n
n
−
1
1
!"#$ ! "# $
! "# $ !"#$ ! "# $
!"#$
>1
>1
>1
=1
=1
=1
12. Beweis:
n!
n!
n! · (k + 1)
n! · (n − k)
+
=
+
k! · (n − k)! (k + 1)! · (n − k − 1)!
(k + 1)! · (n − k)! (k + 1)! · (n − k)!
n! · (k + 1) + n! · (n − k)
=
(k + 1)! · (n − k)!
n! · (k + 1 + n − k)
(n + 1)!
=
=
(k + 1)! · (n − k)!
(k + 1)! · (n − k)!
100
Lösungen
Lösung 18
1. (a) 1, 5, 10, 10, 5, 1 und es gilt
2. 161700
%n&
k
=
%
n
n−k
&
. (b) 100, 1999000, 1
3. 45
4. 497634306624
5. 121
6. höchstens 66
7. 56
8. 816
9. 94143280
10. (a) 45; (b) 24310
11.
(a + b)n = (a + b) · (a + b) · . . . · (a + b)
"#
$
!
n Faktoren
n−k k
Wie bekommt man a
b ? Indem
%n& man aus k Klammern b und aus n − k Klammern a auswählt.
Dies
ist
auf
k Arten möglich und deshalb ist der Koeﬃzient
% &
von an−k bk nk .
12. Beweis (mittels Formel):
2n = (1 + 1)n =
n ( )
n ( )
'
n n−k k ' n
1
1 =
k
k
k=0
k=0
Beweis (mit vollständiger Induktion): Induktionsverankerung (n = 1):
( ) ( )
1
1
+
= 1 + 1 = 2 = 21
!
0
1
101
Lösungen
Induktionsschritt (n → n + 1):
n+1
'(
k=0
) (
) '
) (
)
n (
n+1
n+1
n+1
n+1
=
+
+
k
n+1
k
0
k=1
(
) '
) ( )) (
)
n ((
n+1
n
n
n+1
=
+
+
+
n+1
k−1
k
0
k=1
(
)
(
)
n
n
'
'
n
n
=1+
+
+1
k−1
k
k=1
k=1
* n ( )
+ * n ( )
+
' n
' n
=1+
−1 +
−1 +1
k
k
k=0
k=0
n ( )
'
n I.A.
=2·
= 2 · 2n = 2n+1
k
k=0
Im zweiten Gleichheitszeichen haben wir die Aufgabe 12 von Blatt 17
verwendet.
Lösung 19
1. (a) 91 , (b) 92 , (c)
2. (a)
3
35 ,
(b)
4
35 ,
1
3
(c)
und (d) 23 .
8
35
und (d)
27
35 .
3. (a) 1.228 · 10−7 , (b) 2.873 · 10−5 und (c) 0.0014.
4. Die Wahrscheinlichkeit für Kopf sei p (0 < p < 1).
Wahrscheinlichkeit für Kopf–Zahl = p · (1 − p) = p − p2
Wahrscheinlichkeit für Zahl–Kopf = (1 − p) · p = p − p2
Also sind diese beiden Wurﬀolgen gleich wahrscheinlich und das Verfahren ist
fair.
% &n
% &n % &
% &n
5. (a) 12 , (b) 41 , (c) 12 und (d) 34 , (e) 12 (f) 21 · nk , (g) 1 − 12 .
6. Die Wahrscheinlichkeit in vier Würfen mindestens eine sechs zu werfen beträgt
0.5177 und die Wahrscheinlichkeiz in 24 Würfen mindestens eine Doppelsechs zu
werfen beträgt jedoch nur 0.4914 = 1 − 0.5086.
7. (a) 11, 7% und (b) 23
8. Wir überlegen, wo das Zentrum des Balls durch fliegen darf. Die Fläche einer
Masche ist 8cm × 8cm = 64cm2 . Durch kommt der Ball aber nur, wenn sein
102
Lösungen
Zentrum mehr als 2.5cm Abstand vom Draht hat i.e. durch das 3cm × 3cmQuadrat in der Mitte einer Masche fliegt. Dies verhält sich auf dem ganzen Zaun
9
.
so. Darum ist die Wahrscheinlichkeit=Günstige Fläche : Mögliche Fläche = 64
Lösung 20
1. Unabhängigkeit bedeutet ja:
P (A) · P (B) = P (A ∩ B)
Die folgenden Wahrscheinlichkeiten können mit Hilfe eines Wahrscheinlichkeitsbaums berechnet werden.
(a) P („1. Kugel weiss“) = 12 , P („2. Kugel weiss“) = 12 und P („1. und 2. Kugel weiss“) =
1
4 . Und es gilt
1 1
1
· =
2 2
4
Also sind die Ereignisse unabhängig voneinander..
(b) P („1. Kugel weiss“) = 21 , P („2. Kugel weiss“) = 12 und P („1. und 2. Kugel weiss“) =
1
6 . Und es gilt
1 1
1
· ̸=
2 2
6
Also sind die Ereignisse nicht unabhängig voneinander.
2. (a) 10.1% und (b) 0.03%.
3. 90.9%
4.
1
3
5. (a) 14 , (b)
1
2
und (c)
1
3
103

Download Report