Aufgabe 1 1.0 Gegeben ist die Kugel K mit Mittelpunkt M(4/-4/3), die durch den Punkt P(1/-4/7) verläuft sowie eine Normalenform der Ebene Et mit 2 Et: - 3·t = r −1 ⋅ x 0 und tIR. 2 1.1 Bestimmen Sie die Gleichung der Kugel K und eine Gleichung der Tangentialebene der Kugel K im Punkt P. 1.2 Für welche tIR ist die Schnittmenge der Ebene Et mit der Kugel K - ein Berührpunkt, - ein Schnittkreis, - die leere Menge? 1.3 Bestimmen Sie Mittelpunkt M* und Radius r* des Schnittkreises, der durch den Schnitt von E9 mit der Kugel K entsteht. 1.4 Die Kugel K wird an der Ebene E3 gespiegelt. Ermitteln Sie die Gleichung der Spiegelkugel K´. 1.5 Zeigen Sie, wo der Punkt A(4/-1/-1) bzgl. der Kugel K liegt. Lösung: Aufgabe 1 1.1 ⎛ 3⎞ → ⎜ ⎟ r = PM = ⎜ 0 ⎟ = 25 = 5 ⎜ ⎟ ⎝ −4⎠ 2 ⎡ ⎛ 4 ⎞⎤ ⎢r ⎜ ⎟⎥ K: ⎢ x − ⎜ −4⎟ ⎥ = 25 ⎢⎣ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎥⎦ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ r T: ⎜ 0 ⎟ ⋅ x + 25 = 0 ⎜ ⎟ ⎝ −4⎠ 1.2 ⎛ 2⎞ 1 ⎜ ⎟ r Et : ⋅ −1 ⋅ r − t = 0 3 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2⎠ r n = ⇒ Berührpunkt 5 = 6 − t 9=3 ⎧t =1 ⇒⎨ ⎩t = 11 ⎛ 2⎞ ⎛ 4 ⎞ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ e = ⋅ ⎜ −1⎟ ⋅ ⎜ −4⎟ − t = 6 − t 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠ ⇒ leere ⎧t <1 Menge ⎨ ⎩t > 11 ⇒ Schnittkreis 1 < t < 11 1.3 t = 9 ⇒ e = 6 − 9 = −3 = 3 ⎛ 4⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 6⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ r rM * = ⎜ −4⎟ + 3 ⋅ 31 ⋅ ⎜ −1⎟ = ⎜ −5⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 5⎠ ( r *) 2 = 25 − e 2 = 25 − 9 = 16 ⇒ r * = 4 1.4 ⎛ 2⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 4⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ r 1⎜ t = 3 ⇒ e = 6 − 3 = 3 ⇒ rM ' = ⎜ −4⎟ − 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⎜ −1⎟ = ⎜ −2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ −1⎠ ⎝ 3⎠ 1.5 ⎛ 0⎞ → ⎜ ⎟ AM = ⎜ 3 ⎟ = 25 = 5 = r ⇒ ⎜ ⎟ ⎝ −4⎠ A ∈K 2 ⎡ ⎛ 0 ⎞⎤ ⎢r ⎜ ⎟⎥ ⇒ K ′: ⎢ x − ⎜ −2⎟ ⎥ = 25 ⎜ ⎟⎥ ⎢⎣ ⎝ −1⎠ ⎦