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Chapitre 5
Géométrie analytique
Sommaire
5.1 Rappels de Seconde – Démonstrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
5.2 Condition de colinéarité de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
5.3 Équations cartésiennes d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
5.4 Équation cartésienne d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
5.5.1 Vecteurs – Colinéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.5.2 Équations de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.5.3 Équations de cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.5.4 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1 Rappels de Seconde – Démonstrations
Ce paragraphe étant constitué de rappels, les exemples seront limités.
Définition 5.1. Soient O un point
du¢ plan et ~ı et ~ deux vecteurs de ce plan de directions diffé¡
rentes (non
alors O ;~ı,~ est appelé repère du plan. O est appelé origine du repère et
¡ colinéaires),
¢
le couple ~ı,~ est appelé base du repère.
¡
¢
Définition 5.2. Soit un repère O;~ı,~ du plan.
• Si les directions de~ı et de ~ sont orthogonales, le repère est dit orthogonal.
• Si les normes de~ı et de ~ sont égales à 1, le repère est dit normé.
• Si les directions de~ı et de ~ sont orthogonales et que les normes de~ı et de ~ sont égales à
1, le repère est dit orthonormé.
• Sinon, le repère est dit quelconque.
Repère orthogonal
~
O
Repère normé
~
~
~ı
O
Repère orthonormé
~ı
55
O
~ı
5.2 Condition de colinéarité de deux vecteurs
Première S
³ ´
Propriété 5.1. Le plan est muni d’une base ~
i ,~
j .
Pour tout vecteur ~
u du plan, il existe un unique couple (x; y), appelé coordonnées de ~
u , tel que
~
~
~
u = xi + y j .
On l’admettra.
On notera indifférement ~
u (x; y), ou ~
u = (x; y), ou ~
u
µ
¶
µ
¶
x
x
, ou ~
u=
même si l’égalité entre le
y
y
vecteur et ses coordonnées est un abus.
Remarque. On notera que l’origine du repère n’a pas d’importance dans les coordonnées d’un vecteur et que le vecteur nul a pour coordonnées (0 ; 0).
Propriété 5.2.
Le
¡
¢ plan ¡est′ muni
¢ d’un repère.
′
Soient ~
u = x ; y et ~
v = x ; y deux vecteurs et k un nombre.
• ~
u =~
v ⇔ x = x ′ et y = y ′ .
¡
¢
′
′
• Le vecteur ~
u +~
v a pour coordonnées
x
+
x
;
y
+
y
.
¡
¢
• Le vecteur k~
u a pour coordonnées kx ; k y .
La preuve sera faite en classe.
¡
¢
Définition 5.3. Le plan étant muni d’un repère O;~ı,~ , on appelle coordonnées du point M le
−−→
couple (x ; y) tel que OM = x~ı + y~, x étant appelé abscisse de M et y étant appelé ordonnée de M.
−−→
Les coordonnées du point M sont donc les coordonnées du vecteur OM . Cela implique qu’elles
dépendent de l’origine du repère.
Propriété 5.3. Le plan est muni d’un repère.
−→
Soient A (x A ; y A ) et B (xB ; y B ) deux points du plan. Alors les coordonnées du vecteur AB sont (xB −
x A ; y B − y A ).
La preuve sera faite en classe.
Propriété 5.4. Le plan est muni d’un repère.
Soit A(x A ; y A ) et B(xB ; y B ) et I (x I ; y I ) milieu de [AB]. Alors x I =
x A +xB
2
et y I =
y A +y B
.
2
La preuve sera faite en classe.
Propriété 5.5. Le plan est muni d’un repère orthonormé.
Soient A et B deux points du plan P de coordonnées
respectives (x A ; y A ) et (xB ; y B ).
p
Alors la distance AB est donnée par AB = (xB − x A )2 + (y B − y A )2 .
La preuve sera faite en classe.
5.2 Condition de colinéarité de deux vecteurs
Propriété 5.6. Le plan est muni d’un repère.
Soient ~
u (x ; y) et ~
v (x ′ ; y ′ ) deux vecteurs du plan. Alors : ~
u et ~
v colinéaires ⇔ x y ′ − x ′ y = 0.
La preuve sera faite en classe.
56
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Première S
5.3 Équations cartésiennes d’une droite
5.3 Équations cartésiennes d’une droite
Théorème 5.7. Le plan est muni d’un repère.
• Toute droite du plan admet une équation de la forme ax + by + c = 0 avec (a ; b) 6= (0 ; 0).
• L’ensemble des points M du plan dont les coordonnées vérifient ax + by + c = 0 avec (a ; b) 6=
(0 ; 0) est une droite
La preuve sera faite en classe.
Définition 5.4. Le plan est muni d’un repère.
Soit D une droite et A et B deux points de cette droite. On appelle vecteur directeur de D tout
−→
vecteur ~
u 6=~0 colinéaire à AB.
Théorème 5.8. Le plan est muni d’un repère.
Toute droite admettant une équation de la forme ax + by + c = 0 admet ~
v = (−b ; a) comme vecteur
directeur.
La preuve sera faite en classe.
Propriété 5.9. Le plan est muni d’un repère.
Soit D une droite d’équation réduite y = mx + p. Alors ~
v (1 ; m) est un vecteur directeur de D.
La preuve sera faite en classe.
Propriété 5.10. Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Preuve. Trivial.
♦
5.4 Équation cartésienne d’un cercle
Théorème 5.11. Le plan est muni d’un repère orthonormal.
Soit C le cercle de centre Ω(x0 ; y 0 ) et de rayon r .
Alors tout point de M de C a ses coordonnées qui vérifient (x − x0 )2 + (y − y 0 )2 = r 2 .
Preuve. Par définition ΩM = r or, comme ΩM est une longueur : ΩM = r ⇔ ΩM 2 = r 2 ⇔ (x − x0 )2 +
(y − y 0 )2 = r 2
♦
David ROBERT
57
5.5 Exercices
Première S
5.5 Exercices
5.5.1 Vecteurs – Colinéarité
5.5.2 Équations de droites
Dans les exercices de ce paragraphe, le plan est
E XERCICE 5.1.
muni d’un repère quelconque.
Le plan est muni d’un repère quelconque.
On donne les points A (−5 ; 3), B (−4 ; 1) et E XERCICE 5.5.
C (1 ; −4).
On considère les points A (−1 ; 2), B (1 ; 3) et
C (195 ; 100).
1. Déterminer les coordonnées de I , milieu
1. Déterminer une équation cartésienne de
de [AC ].
la droite (AB).
À l’aide de cette équation déterminer si A,
2. Déterminer les coordonnées de D tel que
B et C sont alignés.
ABC D soit un parallélogramme.
E XERCICE 5.2.
¡
¢
Le plan est muni du repère O ;~ı,~ . Soient les
points A (−9 ; −10), B (2 ; 9), C (5 ; 3), D (−1 ; −8) et
E (3 ; 0).
1. Les points C , D et E sont-ils alignés ?
2. La droite D d’équation y = 12 x + 1 est-elle
parallèle à (AB) ?
3. Le point C appartient-il à la droite ∆ passant par le point J (0 ; 1) et de coefficient directeur 53 ?
E XERCICE 5.6.
On donne A(1 ; 2), B(2 ; 1) et C (−3 ; 0). Détermi2. Les droites (AB) et (C D) sont-elles paralner les équations des droites suivantes :
lèles ?
E XERCICE 5.3.
¡
¢
Le plan est muni du repère O ;~ı,~ . On considère les points A (−2 ; 2), B (−3 ; −3), C (5 ; 1) et
D (2 ; 4). E est le milieu du segment [BC ].
1. D = (BC ) ;
2. D ′ passant par C et de vecteur directeur
−→
AB ;
3. ∆ parallèle à D passant par A ;
−−→
−→
4. ∆′ parallèle à D ′ passant par B.
1. Montrer que AD et BC sont colinéaires.
Que peut-on en déduire pour le quadrilaE XERCICE 5.7.
tère ABC D ?
Déterminer si les droites suivantes sont parallèles et, si elles ne le sont pas, déterminer les co2. Montrer que ABE D est un paralléloordonnées de leur point d’intersection.
gramme.
• D1 : x + 2y − 1 = 0
• D2 : y = − x2 + 3
3. Déterminer si O appartient à la droite
• D3 : −2x + 3y + 5 = 0
(AE ).
E XERCICE 5.8.
E XERCICE 5.4.
ABC est un triangle non aplati. I et J sont les
ABC D est un parallélogramme.
−→
−→ −→ 2 −→
A ′ est le symétrique de A par rapport à B et E est point tels que AI = 2 AB et A J = 3 AC .
³ −→ −→´
le milieu de [BC ].
1. Dans le repère A ; AB, AC , déterminer les
coordonnées des points I et J .
1. Déterminer les coordonnées
points A ′ ,
³ −→ des
−−→´
2. Déterminer une équation cartésienne des
E et D dans le repère A ; AB , AD
droites (BC ) et (I J ).
′
2. Montrer que les points A , E et D sont ali3. Montrer que la droite (I J ) passe par le mignés
lieu O du segment [BC ].
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5.5 Exercices
Première S
5.5.3 Équations de cercle
5.5.4 Divers
Dans les exercices de ce paragraphe, le plan est E XERCICE 5.13.
Sur le dessin ci-dessous fait ) main levée, E AF est
muni d’un repère orthonormé.
un triangle rectangle en A, B ∈ [AE ], D ∈ [AF ] et
E XERCICE 5.9.
ABC D est un carré.
Examiner si les équations suivantes sont des
Les points F , C et E sont-ils alignés ?
équations de cercle et, le cas échéant, préciser le
centre et le rayon du cercle :
F
1. x 2 + y 2 − 2x − 6y + 5 = 0 ;
b
2. x 2 + y 2 − x − 3y + 3 = 0 ;
3. x 2 + y 2 − x + 8y + 10 = 0 ;
4. x 2 + y 2 − 2y = 4 ;
5. x 2 + y 2 − 9 = 0 ;
6. (x − 1)(x + 2) + (y + 1)(y − 4) = 0.
13
D
b
C
b
E XERCICE 5.10.
On donne Ω(2 ; −3).
1. Déterminer l’équation du cercle C de
centre Ω et de rayon r = 5.
b
A
8
b
B 5
b
E
2. Démontrer que le point A(−2 ; 0) est un
point du cercle C .
E XERCICE 5.14.
ABC D est un parallélogramme. I et J sont les
E XERCICE 5.11.
milieux respectifs des segments [AB] et [AD]. K
Trouver une équation du cercle C de centre
est l’intersection des droites (D I ) et (B J ).
A(1 ; 2) et de rayon 3 et déterminer les coordonQue peut-on dire des points A, K et C ?
nées des points d’intersection de C avec les axes
de coordonnées.
E XERCICE 5.12. 1. Déterminer une équation
du cercle C passant par A(2 ; 1) et B(1 ; 3)
et dont le centre Ω est situé sur la droite D
d’équation x + y + 1 = 0. Indication : chercher d’abord les coordonnées de Ω
2. Même question pour le cercle C ′ passant
par C (4 ; 2) et D(2 ; 6) et dont le cercle Ω′ est
situé sur la droite d’équation x + y + 2 = 0.
David ROBERT
59

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