Géométrie vectorielle # énoncé TP math # info

Géométrie vectorielle - énoncé TP math - info
La droite d’Euler - une courbe de Bézier
Première Partie : droite et cercle d’Euler
page 1 / 4
1) Les notations utilisées
ABC est un triangle non aplati ( sommets non alignés ) .
! A’, B’, C’désignent les milieux respectifs des segments [BC] , [CA] , [AB] . Le centre de gravité de ABC est
noté G ( G est le point de concours des médianes (AA’) , (BB’) , (CC’) ) .
! Le centre du cercle circonscrit au triangle ABC ( point de concours des médiatrices des côtés de ABC ) est noté O .
! Les hauteurs notées hA , hB et hC et issues respectivement de A , de B et de C sont concourantes en un point noté
H qui est appelé l’orthocentre du triangle ABC . Le pied de la hauteur hA ( point d’intersection de hA et de la
droite (BC) ) est noté HA ; le pied de la hauteur hB est noté HB ; le pied de la hauteur hC est noté HC .
Les milieux respectifs des segments [AH] [BH] et [CH] sont notés I, J et K .
2) point de vue graphique
1) …gure 1 : Ouvrir Geogebra et utiliser les commandes graphiques ( commandes numérotées de 1 à 11) pour la suite :
1-1 Créer les sommets ( commande 2 ) d’un triangle ABC non équilatéral puis tracer les segments [BC] , [CA] , [AB]
en couleur noire . Puis bouton droit de la souris et désactiver A¢ cher l’étiquette .
1-2 Créer les milieux des segments [BC] , [CA] , [AB] puis bouton droit " renommer " et nommer ces milieux : A’,
B’, C’. Tracer les segments [AA’] , [BB’] , [CC’] puis créer G comme point d’intersection de deux des trois
médianes . Puis bouton droit "propriétés" : pour G : basique nom G et couleur bleue ; pour les médianes pas
d’étiquette et couleur bleue .
1-3 Créer les trois médiatrices ( commande 4 ) puis créer O comme point d’intersection de deux des trois
médiatrices . Puis bouton droit "propriétés" : basique nom O et pas d’étiquette pour les médiatrices ; couleur magenta
1-4 Créer les trois hauteurs ( " hA : droite perpendiculaire à (BC) passant par A ") puis créer H comme point
d’intersection de deux des trois hauteurs . Créer les trois pieds de hauteur HA , HB ; HC comme points
d’intersection puis tracer les segments [AHA ] , [BHB ] , [CHC ] . Puis sur chaque hauteur bouton droit "propriétés"
et désactiver A¢ cher l’objet puis "propriétés" : basique nom HA ( taper H_A), HB ; HC ; couleur verte .
1-5 Tracer la droite (OH) ; Que remarque-t-on ?
Tracer le segment [OH] puis ne plus faire apparaître la droite (OH) ( bouton droit et désactiver A¢ cher l’étiquette )
1-6 Créer les milieux I , J , K des segments [AH] , [BH] , [CH] . Puis bouton droit "renommer" I , J , K .
1-7 Créer le milieu O’du segment [OH] puis le cercle centré en O’passant par le milieu A’. Que remarque-t-on ?
http://www.math-lycee.e-monsite.com
géométrie vectorielle - énoncé TP - Euler - Bézier
3) point de vue vectoriel
page 2 / 4
1) centre de gravité G .
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
1-1 Justi…er : 8M 2 P , AM = 2M A0 , M A + M B + M C = !
o et BM = 2M B 0 , M A + M B + M C = !
o
!
!
!
1-2 En déduire que le point M dé…ni par M A + M B + M C = !
o est confondu avec le centre de gravité G
!
!
!
!
puis justi…er : 8P 2 P , P A + P B + P C = 3P G .
2) orthocentre H .
!
!
!
!
O étant le centre du cercle circonscrit au triangle ABC , on note T le point dé…ni par la relation : OT = OA + OB + OC
!
!
!
!
2-1 Exprimer les vecteurs AT et OA0 comme combinaison linéaire des vecteurs OB et OC . En déduire la colinéarité des
!
!
vecteurs AT et OA0 puis ce que représente la droite (AT ) pour le triangle ABC .
!
!
!
!
2-2 Exprimer les vecteurs BT et OB 0 comme combinaison linéaire des vecteurs OA et OC . En déduire la colinéarité des
!
!
vecteurs BT et OB 0 puis ce que représente la droite (BT ) pour le triangle ABC .
2-3 Déduire de ce qui précède que le point T est confondu avec l’orthocentre H du triangle ABC puis établir une relation
!
!
de colinéarité entre les vecteurs OH et OG prouvant l’alignement des points O , H , G sur la droite d’Euler .
Deuxième Partie : une courbe dite courbe de Bézier
1) Préalable : A propos de l’alignement
d’un point G avec deux points A et B
!
!
1) On utilise l’égalité vectorielle AG = k AB ( avec k réel ) pour traduire l’appartenance de G à la droite (AB) .
Donner la position de M sur (AB) dans chacun des cas suivants : k = 0 : ...........................; k = 1 : ...........................
1
k = : .............................. ; 0 < k < 1 : ............................. ; k < 0 : ..........................................................................
2
!
!
!
!
2) Justi…er l’équivalence suivante : AG = k AB , (1 k)GA + k GB = !
o
!
!
!
vocabulaires : ! le point G dé…ni par AG = k AB est appelé le translaté de A par la translation de vecteur k AB .
!
!
La droite (AB) est ainsi considérée comme un ensemble de translatés de A par un vecteur k AB colinéaire au vecteur AB
!
!
! le point G dé…ni par l’égalité vectorielle (1 k)GA + k GB = !
o est appelé le barycentre des points A et B
a¤ectés respectivement des coe¢ cients (1
k) et (k) . La droite (AB) est ainsi regardée comme un ensemble de
barycentres G . La position de G sur (AB) dépend de la valeur attribuée au paramètre k .
!
!
3) Une méthode pour construire avec Geogebra le point G dé…ni par AG = k AB
Taper dans la barre de saisie ( située en bas de l’écran ) : G = A + k vecteur[A; B]
2) point de vue graphique
…gure 2
1) Ouvrir une nouvelle fenêtre Geogebra .
! Construire un triangle ABC non aplati puis bouton droit et désactiver A¢ cher l’étiquette pour chacun des trois côtés
! Créer (commande 10 ) un curseur noté t avec min : 0 ; max : 1 ; incrément : 0.001 , puis touche Esc , pointer la souris
sur t et placer le curseur à 0 .
http://www.math-lycee.e-monsite.com
géométrie vectorielle - énoncé TP - Euler - Bézier
page 3 / 4
2) En utilisant la méthode donnée à la question 3) du préalable , construire les trois points suivants :
!
!
M barycentre de C et A a¤ectés respectivement des coe¢ cients (1 t) et (t) et dé…ni par : CM = ::::CA
pour construire M : taper dans la barre de saisie : M = C + :::: vecteur[C; A] puis valider avec enter
!
!
N barycentre de B et C a¤ectés respectivement des coe¢ cients (1 t) et (t) et dé…ni par : BN = ::::BC
!
!
P barycentre de N et M a¤ectés respectivement des coe¢ cients (1 t) et (t) et dé…ni par : N P = ::::N M
3) 3-1 Avec la fenêtre Algèbre bouton droit sur P et activer "trace activée" . Faire varier t de 0 à 1 . Quelle courbe
semble décrire P ? .......................................................................................... . Désactiver la trace pour P .
3-2 Placer le curseur sur 0.5 et avec le menu A¢ chage choisir ra¤raichir l’a¢ chage .
Construire le segment [MN] puis bouton droit "propriétés" , désactiver A¢ cher l’étiquette , activer sa trace et
couleur bleue . Réactiver la trace de P .
Faire varier t de 0 à 1 . Comment semblent les droites (MN) par rapport à la courbe décrite par P ?
vocabulaire : La courbe décrite par le point P est appelée
courbe de Bézier de degré 2 à trois points de contrôle ( A , B, et C ) .
3) points de vue vectoriel et analytique
! !
1) On se place dans le repère (A; AB; AC) .
voir coordonnées en repère quelconque
!
!
!
!
1-1 Exprimer les vecteurs AM et AN en fonction de AB et AC puis en déduire les coordonnées des points M , N et des
!
!
!
vecteurs N M , N P et AP .
!
!
!
!
1-2 Justi…er : pour tout point O du plan on a : OP = t2 OA + (1 t)2 OB + 2t(1 t)OC
!
!
!
2) On se place dans le repère (B; !
u;!
v ) avec !
u = 2BC et !
v = CA + CB
!
2-1 Déduire de la question 1-2 l’égalité vectorielle : BP = t!
u + t2 !
v .
2-2 Trouver une relation liant l’abscisse X et l’ordonnée Y du point P . En déduire la nature de la courbe P
décrite en partie par P .
! !
3) On se place dans un repère orthonormal (O; i ; j ) et on suppose pour les sommets du triangle ABC :
8
2
x(t)
A=O ;B
et C
; on note P
.
2
6
y(t)
x(t) = 4t2 12t + 8
Justi…er que les coordonnées de P sont dé…nies par :
avec 0 t 1
y(t) = 10t2 + 8t + 2
4) retour à la …gure : Utiliser la commande Courbe et taper dans la partie saisie :
Courbe[4t^2
12t + 8; 10t^2 + 8t + 2; t; 0; 1] puis bouton droit "propriétés" , couleur bleue . Désactiver la trace de P
et de (MN) . Faire varier t de 0 à 1 et retrouver les observations faites pour le point P et les droites (MN)
http://www.math-lycee.e-monsite.com
géométrie vectorielle - énoncé TP - Euler - Bézier
Deux …gures obtenues avec Géogébra
http://www.math-lycee.e-monsite.com
page 4 / 4
géométrie vectorielle - énoncé TP - Euler - Bézier

Download Report