Correction du Contrôle commun de Mathématiques n°2 1 pt est

Classe : 3ème….
Nom :
Correction du Contrôle commun de Mathématiques n°2
1 pt est reservé à la présentation, l’orthographe et le soin de la copie
Calculatrice autorisée.
Exercice 1 (2.5 points)
Avec un logiciel :



On a construit un carré ABCD de côté cm.
On a placé un point M mobile sur [AB] et on a
construit le carrée MNPQ comme visualisé sur la
copie d’écran ci-contre.
On a représenté l’aire du carré MNPQ en fonction de
la longueur AM.
On a obtenu le graphique suivant :
En utilisant ce graphique, répondre aux questions suivantes.
Laissez les traits apparents sur le graphique pour répondre
aux questions.
1. Lorsque AM=1 (0,5 pt) ou AM= 3 (0,5 pt), l’aire de
MNPQ est égale à 10cm².
2. Lorsque AM est égale à 0.5cm, l’aire de MNPQ est
égale à 12,5 cm².
(0,5 pt)
3. L’aire de MNPQ est minimale lorsque AM=2 cm (0,5
pt). Cette aire vaut alors 8 cm².(0,5 pt)
Classe : 3ème….
Nom :
Exercice 2 (3 points)
On a utilisé un tableur pour calculer les images des différentes valeurs de x par une fonction f et par
une autre fonction g.
Une copie de l’écran obtenu est donnée ci-dessous.
1. L’image de -3 par la fonction f est 22 ou f(-3)=22 (0,5 pt)
2. f (x)=-5x+7
(1 pt)
3. Un antécédent de 5 par la fonction g est -1ou 1. (0,5 pt)
4. Sachant que g(x)= x² + 4, calculer l’image de
1
. (1 pt)
3
1
1
g ( )  ( )²  4
3
3
1 1 36
g( )  
3 9 9
1 37
g( ) 
3
9
Exercice 3 (10 points)
Salaires des femmes :
1200€ ; 1230€ ; 1250€ ; 1310€ ; 1376€ ; 1400€ ; 1440€ ; 1500€ ; 1700€ ; 2100€
Salaires des hommes :
Effectif total :20
Moyenne : 1769€
Etendue ; 2400€
Médiane : 2000€
Les salaires des hommes sont tous différents
1. Comparer le salaire moyen des hommes et des femmes.
On calcule le salaire moyen des femmes :
1200  1230  1250  1310  1376  1400  1440  1500  1700  2100
(1 pt)
10
m  1450,60€
m
Comme le salaire moyen des hommes est de 1769€ , il est supérieur au salaire moyen des
femmes. (0,5 pt)
2. Sachant que le plus bas salaire de l’entreprise est de 1000€, quel salaire est le plus élevé
Le plus bas salaire est de 1000€, ce n’est pas celui d’une femme c’est donc celui d’un
homme. (0.5 pt)
Classe : 3ème….
Nom :
L’étendue du salaire des hommes est de 2400, le salaire le plus haut est donc de
2400+1000=3400€. (0,5 pt). Comme le salaire le plus élevé des femmes est de 2100€,
2400€ est donc le salaire le plus haut de l’entreprise. (0,5 pt)
3. Dans cette entreprise combien de personnes gagnent plus de 2000€ ?
Le salaire médian chez les hommes est de 2000€. Comme le nombre d’hommes est pair et
QUE le salaire des hommes est tous différents, il y a 10 hommes qui touchent plus de 2000€
(sans 2000€) et 10 hommes qui touchent moins de 2000€. (1 pt)
En ajoutant la femme, il y aura 11 personnes qui touchent dans cette entreprise plus de 2000€. (0,5
pt)
4. Comparer la médiane des hommes et des femmes.
On calcule la médiane chez les femmes
10
 5 , (0,5 pt) la médiane est donc la moyenne entre la 5ème et la 6ème de la
2
1376  1400
série ordonnée (1pt) :
 1388 € (0,5pt)
2
L’effectif est de 10,
Le salaire médian chez les hommes est de 2000€ , il est donc plus élevé chez les hommes.
(0,5 pt)
5. Calculer le premier et le dernier quartile des femmes.
L’effectif des salaires des femmes est de 10
10
 2.5 , (0,5 pt) le premier quartile est la 3ème valeur de la série ordonnée : 1250€ (0,5 pt)
4
10  3
 7,5 , (0,5 pt) le dernier quartile est la 8ème valeur de la série ordonnée : 1500€ (0,5 pt)
4
Ce qui signifie qu’au moins 25% des femmes gagnent moins que 1250€
Et qu’au moins 75% des femmes gagnent moins de 1500€
(0,5 pt par phrase)
Classe : 3ème….
Nom :
Exercice 4 (5 points)
Deux figures codées sont données ci-dessous. Elles ne sont pas en vraie grandeur. Pour chacune
d’elles, déterminer la mesure de l’angle ABC .
Figure 1
On sait qu’ABC est un triangle rectangle en A
On a donc cos ABC 
cos ABC 
3
6
1
ABC  cos 1 ( )
2
ABC =60°
AC
(1 pt)
BC
(0,5 pt)
(0,5 pt)
Figure 2
On sait que le triangle ABC est inscrit dans un cercle de diamètre [AB]
Or si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour côté un diamètre de ce cercle alors ce triangle
est rectangle et le plus grand côté est l’hypoténuse.
Donc ABC est un triangle rectangle en C
(1,5 pt)
L’angle ACB  90
On sait que ABC est un triangle rectangle en C et CAB  59
Or dans un triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires
Donc ABC =90-59
(1,5 pt)
Classe : 3ème….
Nom :
ABC =31°
Possibilité de résoudre cet exercice avec des triangles isocèles : même barème
Exercice 5 (5,5 points)
Pour réaliser un abri de jardin en parpaing, un bricoleur a besoin
de 300 parpaings de dimensions 50 cm × 20 cm × 10 cm pesant
chacun 10 kg.
Il achète les parpaings dans un magasin situé à 10 km de sa
maison. Pour les transporter, il loue au magasin un fourgon.
Information 1 : Caractéristiques du fourgon :





3 places assises.
Dimensions du volume transportable (L×l×h) : 2,60
m×1,56m×1,84m.
Charge pouvant être transportée : 1,7 tonne
Volume réservoir : 80 litres
Diesel : consommation 8 litres aux 100km.
Information 2 : Tarifs de location du fourgon
1 jour
30km maximum
1 jour
50 km maximum
1 jour
100km
maximum
48€
55€
61€
Ces prix comprennent le kilométrage indiqué hors carburant.
1 jour
200 km
maximum
78€
Km
supplémentaire
2€
Information 3 : 1 litre de carburant coûte 1.50€
1. Expliquer pourquoi il devra effectuer deux aller-retour pour transporter les 300 parpaings
jusqu’à sa maison.
La charge pouvant être transportée est de 1.7 tonnes. Il devra donc effectuer deux allers
retours pour transporter les 300 parpaings jusqu’à sa maison : 300×10=3000kg = 3 tonnes
(1 pt)
De plus, si on met
- 5 parpaings dans la longueur : 5×50=250cm < 260 cm
- 9 parpaings dans la hauteur : 9×20=180 cm<184 cm
(1 pt)
- 15 parpaings dans la largeur : 15×10=150 cm<156 cm
On peut mettre 9×5×15=675 parpaings dans le fourgon. Donc 150 parpaings pour chaque
voyage.
2. Quel sera le coût total du transport.
- 2 allers retour : (2×10)×2=40 km, donc la location sera de 55€
- pour le carburant : 8 litres aux 100 km, donc
3.2  1,5=4,80€(0,5 pt)
Le coût total sera de : 4.80+55=59.80€
8  40
 3.2litres (1 pt)
100
(0,5 pt)
Classe : 3ème….
Nom :
3. Les tarifs de location du fourgon sont-ils proportionnels à la distance maximale autorisée par
jour ?
On a :
30
50
 0, 625 et
 0,909 . Les tarifs de location du fourgon ne sont donc pas
48
55
proportionnels à la distance maximale autorisée par jour. (1 pour justification + 0.5 pour
réponse)
Exercice 6 (7 points)
Dans les marais salants, le sel récolté est stocké sur une surface plane. On admet qu’un tas de sel
a toujours la forme d’un cône de révolution.
1. Pascal souhaite déterminer la hauteur d’un cône de sel de diamètre 5mètres.
a. Il possède un bâton de longueur 1 mètre. Il effectue des mesures et réalise les deux
schémas ci –dessous.
Démontrer que la hauteur de ce cône de sel est égale à 2,50mètres.
On sait que les points A, C,
S et A, B, O sont alignés dans cet ordre et (CB) et(SO) sont parallèles (1 pt)
Or d’après le théorème de Thalès (0.5 pt)
AC AB CB
(0.5 pt)


AS AO SO
AC 3.2
1


AS
8
SO
8
SO=h=
3.2
On a donc :
h=2.5m.(1 pt)
b. Déterminer en m3 le volume de sel contenu dans ce cône. Arrondir le résultat au m3
près.
V=
  r²  h
3
  2.5²  2.5
V=
3
15.625
V=
m3 (1 pt avec l’unité sinon 0,5)
3
V≈16 m3
(0.5 pt arrondi)
2. Le sel est ensuite stocké dans un entrepôt sous la forme de cônes de volume 1000 m3 . Par
mesure de sécurité, la hauteur d’un tel cône de sel ne doit pas dépasser 6 mètres. Quel
rayon faut-il prévoir au minimum pour la base ? Arrondir le résultat au décimètre près.
Classe : 3ème….
Nom :
H= 6m
1000=
6 r ²
(1 pt)
3
500
 r ² , r étant une longueur r est positif (0.5 pt)

500

r  12,7m
r
(0 5pt + 0.5 pt pour arrondi)
Exercice 7 (6 points) (donner 0.5 pt par réponse même si pas de justification)
Chacune des trois affirmations suivantes est-elle vraie ou fausse On rappelle que les réponses
doivent être justifiées.
Affirmation 1
Dans un club sportif, les trois quarts des adhérents sont mineurs et le tiers des adhérents majeurs à
plus de 25 ans. Un adhérent sur 4 a donc entre 18 ans et 25 ans.
Il y a donc
1
de sportifs majeurs
4
(0,5 pt)
Le tiers d’un quart des sportifs à plus de 25 ans donc les deux tiers d’un quart ont entre 18 et 25
ans :
2 1 1
(1 pt)
 
3 4 6
Il y a donc un adhérent sur 6 qui a entre 18 ans et 25 ans.
(0,5 pt)
Affirmation 2
Durant les soldes, si on baisse le prix d’un article de 30% puis de 20%, au final le prix de l’article a
baissé de 50%.
Une baisse de 30% représente une fonction linéaire de coefficient 0.7
Une baisse de 20% représente une baisse de 0.8 (0,5 pt)
Donc en tout c’est une fonction linéaire de 0.7×0.8=0.56 (0,5 pt)
Or une baisse de 50% représente une fonction linéaire de coefficient 0.5
Faux
(0.5 pt)
Affirmation 3
Pour n’importe quel nombre entier n, (n+1)² - (n-1)² est un multiple de 4.
(n+1)² - (n-1)²=n²+ 2n + 1 – n² +2n -1
=4n
C’est donc bien un multiple de 4
(0.5 pt)
(1.5 pt)
(0,5 pt)

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