Hochschule für angewandte Wissenschaften Augsburg Fakultät Allgemeinwissenschaften Mathematik für Bauingenieure II SS 15 Wiederholung 29.06.2015 Prof. Dr. Holger Schmidt Dr. Christine Zerbe Relevante Themen für die Klausur: Grenzwerte von Folgen, Defintions- und Wertemenge von Funktionen, Umkehrfunktion, gebrochen rationale Funktionen, trigonometrische Funktionen, Additionstheoreme, Exponentialfunktion, Taylorreihen, Differentation, lokale Extremstellen von Funktionen, bestimmte/ unbestimmte Integrale, Produktintegration und Integration durch Substitution Vektoren, lineare Unabhängigkeit, Basis und Orthonormalbasis, Beschreibung von Ebenen, Gleichungssysteme Matrizen, Matrixoperationen, inverse Matrizen Komplexe Zahlen Funktionen mehrerer Veränderlicher, Gradient, Hessematrix, lokale Extrema Vektorfelder, Wege, Wegintegrale, Potentialfelder, Mehrdimensionale Integration (Polar-, Kugel und Zylinderkoordinaten) Fourierreihen Differentialgleichungen: Trennung der Variablen, lineare DGLn erster Ordnung (intergrierender Faktor, Variation der Konstanten), lineare DGLn n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten, Anfangswertprobleme 1. Grenzwerte Bestimmen Sie folgende Grenzwerte n2 + 2n (a) lim n→∞ n + 2n2 1 en (b) lim n→∞ n 2. Defintions- und Wertemenge von Funktionen, Umkehrfunktion Betrachten Sie die Funktion 1 f : [0, 2] → R, f (x) = x2 4 Geben Sie die Definitionsmenge Df , die Wertemenge Wf , sowie die Umkehrfunktion f −1 (x) an. 3. Gebrochen rationale Funktionen Zerlegen Sie folfende gebrochen rationale Funktionen in eine ganzrationale Funktion und echt gebrochen rationalen Anteil: (a) f (x) = x (x − 1)(x + 1) (b) f (x) = x2 (x − 1)(x + 1) (c) f (x) = x3 (x − 1)(x + 1) 4. Taylorreihe Entwickeln Sie folgende Funktion bis zur ersten nichtverschwindenden Ordnung in eine Taylorreihe: f (x) = cos(x2 ) 5. Integration Bestimmen Sie die Integrale ∫ (a) x cos(x2 )dx, ∫ (b) ∫ 2 x tan(x )dx, (c) x cos(x)dx 6. Lineare Unabhängigkeit, Basis und Orthonormalbasis Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig, orthogonal, orthonormal? ( ) ( ) 1 −1 (a) ⃗a = , ⃗b = −1 1 ( ) ( ) 1 1 , ⃗b = (b) ⃗a = 1 0 (1) ( √ ) √ √2 3 (c) ⃗a = √32 , ⃗b = √ √1 − 3 3 1 0 1 ⃗ (d) ⃗a = 0 , b = 1 , ⃗c = 1 1 0 1 7. Beschreibung von Ebenen Eine Ebene gehe durch den Punkt m ⃗ = (1, 1, 1)T senkrecht zum Normalenvektor ⃗n = T (1, 1, 0) . Geben Sie die Koordinatenform und die Parameterform der Ebene an. 8. Gleichungssysteme, Matrizen, inverse Matrizen Betrachten Sie das LGS x + 2y = 3 2y − x = 1 Wieviele Lösungen kann ein derartiges LGS im allgemeinen haben? Lösen Sie das LGS direkt. Schreiben Sie in die Form A⃗x = ⃗b und bestimmen Sie dann die Lösung mittels der Inversen A−1 . 9. Komplexe Zahlen Schreiben Sie die komplexen Zahlen jeweils in Form z = reiϕ bzw. z = x + iy (a) z = (1 + i)2 (b)z = 2 1−i 10. Trigonometrische Funktionen, Additionstheoreme Beweisen Sie Formel von Moivre: Für x ∈ R und n ∈ N gilt: (cos x + i sin x)n = cos(nx) + i sin(nx) Zeigen Sie damit, dass gilt cos2 x − sin2 x = cos(2x) 11. Funktionen mehrerer Veränderlicher, Gradient, Hessematrix, lokale Extrema Bestimmen Sie Gradient, Hessematrix und lokale Extrema von f (x, y) = x2 + xy 12. Vektorfelder, Wege, Wegintegrale, Potentialfelder Bestimmen Sie Potentialfeld und Wegintegral für das Vektorfeld ( 2) 3x ⃗ f (x, y) = 2y und einen Weg, der geradlinig von (0, 1)T nach (1, 1)T verlaufen soll. 13. Mehrdimensionale Integration (Polar-, Kugel und Zylinderkoordinaten) Bestimmen Sie das Volumen und das Trägheitsmoment des Kreiskegels (Radius R, Höhe h, Mass m) gemäß der Formel (Drehung um die z-Achse): ∫ ∫ ∫ Θ=ρ (x2 + y 2 )dV ρ= m V bezeichnet die kosntante Dichte des Kreiskegels. 14. Fourierreihen Was versteht man unter einer Fourierreihe, dem Spektrum einer Funktion f (x)? Geben Sie Ausdrücke die Fourierreihe und die Berechung der Fourierkoeffizienten an und bn an. 15. Differentialgleichungen: Trennung der Variablen Was versteht man im allgemeinen unter einer Differentialgleichung? Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL y ′ (x) = xy 2 (x) + x y(x) 16. Differentialgleichungen: Lineare DGLn erster Ordnung Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL 1 y ′ (x) + y(x) = 3x x 17. Differentialgleichungen: Lineare DGLn n-ter Ordnung Lösen Sie das AWP y ′′ (x) − 2y ′ (x) + y(x) = 0, y(0) = 1, y ′ (0) = 0
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