Höhere Technische Mechanik
Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad
Prof. Dr.-Ing. Ulrike Zwiers, M.Sc.
Fachbereich Mechatronik und Maschinenbau
Hochschule Bochum
WS 2009/2010
Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad
Übersicht
1. Grundlagen der Analytischen Mechanik
2. Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad
◦ Freie Schwingungen
- Ungedämpfte Schwingungen
- Gedämpfte Schwingungen
◦ Erzwungene Schwingungen
- Federerregung
- Dämpfererregung
- Gehäuseerregung
3. Lineare Systeme mit mehreren Freiheitsgraden
4. Lineare Modelle kontinuierlicher Systeme
Prof. Dr. U. Zwiers
STME
2/20
Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad
Freie Schwingungen 1/9
Begriffe & Definitionen
Zustandsgröße
x(t)
Schwingungsdauer
T
Frequenz
f=
Kreisfrequenz
ω = 2πf
Schwingungsamplitude
Mittellage
Prof. Dr. U. Zwiers
1
T
1
x̂ = (xmax − xmin )
2
1
x̄ = (xmax + xmin )
2
STME
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Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad
Freie Schwingungen 2/9
Begriffe & Definitionen (Forts.)
Schwingung
Periodischer Bewegungsvorgang
x(t) = x(t + T )
Lineares System
System, das durch eine lineare Differentialgleichung beschrieben
werden kann
Superpositionsprinzip
f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x2 )
Homogenitätsprinzip
f (kx) = kf (x)
Prof. Dr. U. Zwiers
STME
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Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad
Freie Schwingungen 3/9
Ungedämpfte Eigenschwingungen
x
k
x
mẍ
kx
m
mg
Bewegungsgleichung
mẍ + kx = 0
DGL in Standardform
ẍ + ω02 x = 0 ,
Allgemeine Lösung
x(t) = A cos ω0 t + B sin ω0 t
ω02 =
k
m
x(t) = x̂ cos(ω0 t − φ)
x(t) = C1 eiω0 t + C2 e−iω0 t
Prof. Dr. U. Zwiers
STME
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Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad
Freie Schwingungen 4/9
Ungedämpfte Eigenschwingungen (Forts.)
Anpassung der allg. Lösung auf spezifische Anfangsbedingungen
Anfangsbedingungen
x(0) = x0 , ẋ(0) = ẋ0
Integrationskonstanten
A = x0 ,
x̂ =
p
B=
A2 + B 2 =
tan φ =
x20 +
ẋ20
ω02
B
ẋ0
=
A
ω0 x0
A = C1 + C2 ,
Prof. Dr. U. Zwiers
ẋ0
ω0
s
STME
B = i (C1 − C2 )
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Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad
Freie Schwingungen 5/9
Ungedämpfte Eigenschwingungen (Forts.)
x
T
ẋ0
x = x̂ cos(ω0 t − φ)
+x̂
x0
t
φ
ω0
ẋ
−x̂
ω0 x̂
ẋ0
x2
ẋ2
+
=1
x̂2 (ω0 x̂)2
Prof. Dr. U. Zwiers
bc
x0
STME
x̂
x
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Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad
Freie Schwingungen 6/9
Gedämpfte Eigenschwingungen
k
d
x
x
mẍ
kx
m
dẋ
mg
Bewegungsgleichung
mẍ + dẋ + kx = 0
DGL in Standardform
ẍ + 2δ ẋ + ω02 x = 0 ,
Anfangsbedingungen
x(0) = x0 , ẋ(0) = ẋ0
Prof. Dr. U. Zwiers
STME
d
2m
k
ω02 =
m
δ=
8/20
Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad
Freie Schwingungen 7/9
Gedämpfte Eigenschwingungen (Forts.)
Fallunterscheidung
Schwache Dämpfung: δ < ω0
1
x = e−δt x0 cos ωt + (ẋ0 + δx0 ) sin ωt ,
ω
Starke Dämpfung: δ > ω0
1
−δt
x=e
x0 coshpt + (ẋ0 + δx0 )sinhpt ,
p
ω=
q
ω02 − δ 2
p=
q
δ 2 − ω02
Aperiodischer Grenzfall: δ = ω0
x = e−δt [x0 + (ẋ0 + δx0 )t]
Prof. Dr. U. Zwiers
STME
9/20
Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad
Freie Schwingungen 8/9
Gedämpfte Eigenschwingungen (Forts.)
x
+x̂
ẋ0
bc
x = x̂e−δt cos(ωt − φ)
x0
φ
ω
bc
bc
t
ẋ
T
−x̂
ẋ0
Schwache Dämpfung
Prof. Dr. U. Zwiers
x0
STME
x
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Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad
Freie Schwingungen 9/9
Gedämpfte Eigenschwingungen (Forts.)
x
ẋ0
x0
t
ẋ
ẋ0
Starke Dämpfung
bc
x0
Prof. Dr. U. Zwiers
STME
x
11/20
Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad
Erzwungene Schwingungen 1/9
Lösung für harmonische Erregerfunktionen
Erzwungene Schwingung
Vorgang, bei dem ein System einer dauernden Anregung von außen
ausgesetzt ist
DGL in Standardform:
ẍ + 2δ ẋ + ω02 x = p(t)
Harmonische Anregung: p(t) = ω02 p0 cos Ωt
Allgemeine Lösung:
Prof. Dr. U. Zwiers
x(t) = xh (t) + xp (t)
xh (t)
homogene (transiente) Lösung
xp (t)
partikuläre (stationäre) Lösung
STME
12/20
Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad
Erzwungene Schwingungen 2/9
Lösung für harmonische Erregerfunktionen (Forts.)
Lösungsansatz:
Dämpfungsgrad:
x(t) = Ce−δt cos(ωt − ϕ) + x̂ cos(Ωt − ψ)
|
{z
} |
{z
}
xh
xp
D=
δ
ω0
Ω
ω0
Frequenzverhältnis:
η=
Phasenwinkel:
tan ψ =
Antwortamplitude:
Prof. Dr. U. Zwiers
2Dη
1 − η2
p0
x̂ = p
2
(1 − η )2 + 4D2 η 2
STME
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Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad
Erzwungene Schwingungen 3/9
Lösung für harmonische Erregerfunktionen (Forts.)
◮
Der homogene Lösungsanteil xh (t) wird mit der Zeit
herausgedämpft.
◮
Der stationäre Lösungsanteil xp (t) ist eine harmonische
Schwingung, deren Kreisfrequenz mit der Erregerkreisfrequenz Ω übereinstimmt.
◮
Die Zeitspanne, während der der homogene Lösungsanteil
noch einen wesentlichen Einfluss auf das Systemverhalten hat,
wird als Einschwingvorgang bezeichnet.
Vergrößerungsfunktion:
Prof. Dr. U. Zwiers
V =
x̂
p0
STME
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Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad
Erzwungene Schwingungen 4/9
Federerregung
Bewegungsgleichung
u
Erregerfunktion
k
x
m
d
mẍ + dẋ + kx = ku
u = u0 cos Ωt
Phasenwinkel
2Dη
tan ψ =
1 − η2
Vergrößerungsfunktion
Prof. Dr. U. Zwiers
V =p
1
(1 − η 2 )2 + 4D2 η 2
STME
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Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad
Erzwungene Schwingungen 5/9
Federerregung (Forts.)
ψ
π
0
1/
2
1
2
V
D
π
2
D=0
1/
4
η
1
1
1/
2
1
2
η
1
Prof. Dr. U. Zwiers
STME
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Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad
Erzwungene Schwingungen 6/9
Dämpfererregung
Bewegungsgleichung
mẍ + dẋ + kx = du̇
Erregerfunktion
k
u = u0 cos Ωt
x
m
Phasenwinkel
d
tan ψ =
u
1 − η2
2Dη
Vergrößerungsfunktion
Prof. Dr. U. Zwiers
V =p
2Dη
(1 − η 2 )2 + 4D2 η 2
STME
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Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad
Erzwungene Schwingungen 7/9
Dämpfererregung (Forts.)
+
ψ
π
2
η
1
0
2
1
1/ D
2
0
V
−
1
π
2
b
2
1
1/
2
1/
4
0
1
Prof. Dr. U. Zwiers
STME
η
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Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad
Erzwungene Schwingungen 8/9
Gehäuseerregung
Bewegungsgleichung
mẍ + dẋ + kx = −mü
u
Erregerfunktion
k
u = u0 cos Ωt
x
m
d
Phasenwinkel
2Dη
tan ψ =
1 − η2
Vergrößerungsfunktion
Prof. Dr. U. Zwiers
V =p
η2
(1 − η 2 )2 + 4D2 η 2
STME
19/20
Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad
Erzwungene Schwingungen 9/9
Gehäuseerregung (Forts.)
ψ
π
0
1/
2
1
2
D
π
2
V
D=0
1/
4
η
1
1/
2
1
1
2
η
1
Prof. Dr. U. Zwiers
STME
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