6 Ganzrationale Funktionen vierten Grades

6
Ganzrationale Funktionen vierten Grades
Analysis
I. Algebraische Grundlagen der reellen Analysis
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6
Ganzrationale Funktionen vierten Grades
6.1
Funktionsterm und grafische Darstellung
6.1.1
Funktionsvorschrift
Eine reelle Funktion
f : x ֏ y = f ( x ) = ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + e
mit x ∈ D f ⊂ ℝ sowie a, b, c, d , e ∈ ℝ und a ≠ 0 heißt Polynomfunktion vierten Grades oder
ganzrationale Funktion vierten Grades.
6.1.2
Wesentliche Funktionsgraphen mit Beispielen
Der Graph G f einer Polynomfunktion vierten Grades besitzt W-Form.
y = f1 ( x ) = x 4 −
50 3
526
x + 96 x 2 − 216 x +
3
3
y = f3 ( x ) = x 4 − 14 x3 + 72 x 2 − 152 x + 122
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y = f 2 ( x ) = x 4 − 16 x3 + 90 x 2 − 200 x + 162
y = f 4 ( x ) = x 4 − 12 x3 + 54 x 2 − 104 x + 82
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Analysis
I. Algebraische Grundlagen der reellen Analysis
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y = f5 ( x ) = x 4 − 12 x3 + 55 x 2 − 108 x + 86
6.2
Kurvendiskussion
6.2.1
Zerlegungssatz; Faktorisierung
Für a ≠ 0 gilt
f ( x ) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = a ⋅ ( x − x1 ) ⋅ ( x − x2 ) ⋅ ( x − x3 ) ⋅ ( x − x4 ) ;
dabei sind x1 , x2 , x3 , x4 ∈ ℂ die Nullstellen der Funktion f und somit die Lösungen der Gleichung f ( x ) = 0 bzw. ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 .
6.2.2
Aufgabe 1
f ( x ) = x 4 − 5 x3 − 7 x 2 + 41x − 30
Nullstellen:
f ( x ) = 0 ; x 4 − 5 x 3 − 7 x 2 + 41x − 30 = 0
x1 = 1
(x
− (x
4
− 5 x3 − 7 x 2 + 41x − 30 ) : ( x − 1) = x 3 − 4 x 2 − 11x + 30
4
− x3
)
− 4 x3 − 7 x 2
(
− − 4 x3 + 4 x2
)
− 11x 2 + 41x
− ( −11x 2 + 11x )
30 x − 30
− ( 30 x − 30 )
0
x2 = 2
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(x
− (x
3
− 4 x 2 − 11x + 30 ) : ( x − 2 ) = x 2 − 2 x − 15
3
− 2x2 )
Analysis
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− 2 x 2 − 11x
(
− − 2 x3 + 4 x
)
− 15 x + 30
− ( −15 x + 30 )
0
x3/ 4 =
2 ± 4 + 4 ⋅15 2 ± 4 + 60 2 ± 64 2 ± 8
=
=
=
= 1± 4
2
2
2
2
x3 = 1 + 4 = 5
x4 = 1 − 4 = − 3
Zerlegung: f ( x ) = x 4 − 5 x3 − 7 x 2 + 41x − 30 = ( x − 1) ⋅ ( x − 2 ) ⋅ ( x − 5) ⋅ ( x + 3)
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6.2.3
Aufgabe 2 (siehe auch 6.4.1)
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f ( x ) = x 4 − 3x 3 + x 2 + 4
f ( x ) = 0 ; x 4 − 3x 3 + x 2 + 4 = 0
Nullstellen:
x1 = 2
(x
−(x
4
− 3x 3 + x 2
4
− 2 x3 )
+ 4 ) : ( x − 2) = x3 − x 2 − x − 2
− x3 + x2
(
− − x3 + 2x2
)
− x2
(
− − x2 + 2 x
)
− 2x + 4
− ( −2 x + 4 )
0
x2 = 2
(x
− (x
3
− x2 − x − 2) : ( x − 2) = x2 + x + 1
3
− 2 x2 )
x2 − x
− ( x2 − 2 x )
x−2
− ( x − 2)
0
x3/4 =
−1 ± 1 − 4
∉ℝ
2
2
Zerlegung: f ( x ) = x 4 − 3x 3 + x 2 + 4 = ( x − 2 ) ⋅ ( x 2 + x + 1)
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6.2.4
Aufgabe 3
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f ( x ) = 0,3 x 4 − 0,8 x 3 − 3 x 2 + 7, 2 x + 15, 2
Nullstellen:
f ( x ) = 0 ; 0, 3 x 4 − 0,8 x3 − 3 x 2 + 7, 2 x + 15, 2 = 0
3 x 4 − 8 x3 − 30 x 2 + 72 x + 152 = 0
x1 = − 2
( 3x
− ( 3x
4
− 8 x3 − 30 x 2 + 72 x + 152 ) : ( x + 2 ) = 3x3 − 14 x 2 − 2 x + 76
4
+ 6 x3
)
−14 x3 − 30 x 2
(
− −14 x3 − 28 x 2
)
− 2 x 2 + 72 x
(
− − 2 x2 − 4 x
)
76 x − 152
− ( 76 x − 152 )
0
x2 = − 2
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( 3x
− ( 3x
3
− 14 x 2 − 2 x + 76 ) : ( x + 2 ) = 3 x 2 − 20 x + 38
3
+ 6 x2
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)
− 20 x 2 − 2 x
− ( −20 x 2 − 40 x )
38 x + 76
− ( 38 x + 76 )
0
x3/4 =
20 ± 400 − 3 ⋅ 4 ⋅ 38 20 ± 400 − 456 20 ± − 56
=
=
∉ℝ
6
6
6
Zerlegung:
f ( x ) = 0, 3 x 4 − 0,8 x 3 − 3 x 2 + 7, 2 x + 15, 2 =
=
6.2.5
1
2
⋅ ( x + 2 ) ⋅ ( 3 x 2 − 20 x + 38 ) =
10
3
20
38 
2 
⋅ ( x + 2) ⋅  x2 −
x+ 
10
3
3 

Aufgabe 4
f ( x ) = x 4 − 3x 3 + x 2
Nullstellen:
f ( x ) = 0 ; x 4 − 3x 3 + x 2 = 0
x 2 ⋅ ( x 2 − 3x + 1) = 0
x1/ 2 = 0
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3± 9 − 4 3± 5
=
2
2
3+ 5
x3 =
≈ 2, 62
2
3− 5
x4 =
≈ 0,38
2
x3/ 4 =
6.3
Biquadratische Polynome
6.3.1
Funktionsterm
f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c
f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c = a ⋅ x 4 + 0 ⋅ x 3 + b ⋅ x 2 + 0 ⋅ x1 + c ⋅ x 0
6.3.2
Aufgabe 1
y = f ( x ) = x 4 − 13 x 2 + 36
Nullstellen:
f ( x) = 0 ;
x 4 − 13 x 2 + 36 = 0
Man ersetzt (substituiert):
x2 = u ;
u 2 − 13u + 36 = 0
u1 / 2 =
13 ± 169 − 144 13 ± 25 13 ± 5
=
=
2
2
2
13 + 5 18
=
=9
2
2
x2 = 9
u1 =
13 − 5 8
= =4
2
2
2
x =4
u2 =
x2 = 9
x =3
x2 = 4
x =2
x1 = 3
x2 = − 3
x3 = 2
x4 = − 2
genau vier einfache Nullstellen jeweils mit Vorzeichenwechsel
Zerlegung (Faktorisierung):
f ( x ) = ( x − 3) ⋅ ( x + 3) ⋅ ( x − 2 ) ⋅ ( x + 2 )
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Grafische Darstellung:
6.3.3
Allgemeine Rechnung
f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c
Nullstellen:
f ( x) = 0 ;
Es sei:
x2 = u ;
ax 4 + bx 2 + c = 0
au 2 + bu + c = 0
u1/2
− b ± b 2 − 4ac
=
2a
u1 =
− b + b 2 − 4ac
2a
u2 =
− b − b 2 − 4ac
2a
x2 =
− b + b 2 − 4ac
2a
x2 =
− b − b 2 − 4ac
2a
x1/ 2 = ±
6.3.4
− b + b 2 − 4ac
2a
x3/ 4 = ±
− b − b 2 − 4ac
2a
x1 = +
− b + b 2 − 4ac
2a
x3 = +
− b − b 2 − 4ac
2a
x2 = −
− b + b 2 − 4ac
2a
x4 = −
− b − b 2 − 4ac
2a
Aufgabe 2
f ( x ) = x 4 − 17 x 2 + 16
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Nullstellen:
x 4 − 17 x 2 + 16 = 0
f ( x) = 0 ;
man setzt x 2 = z ; z 2 − 17 z + 16 = 0
z1 / 2 =
17 ± 289 − 64 17 ± 225 17 ± 15
=
=
2
2
2
17 + 15
= 16
2
x 2 = 16
x1 = 4
17 − 15
=1
2
x2 = 1
x3 = 1
z1 =
z2 =
x2 = − 4
x4 = − 1
Zerlegung:
f ( x ) = ( x − 4 ) ⋅ ( x + 4 ) ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x + 1)
6.3.5
Aufgabe 3
f ( x ) = x4 − 5x2 + 4
x 4 − 5x 2 + 4 = 0
f ( x) = 0 ;
Substitution:
x2 = z
⇒
z 2 − 5z + 4 = 0
z1 / 2 =
5 ± 25 − 16 5 ± 9 5 ± 3
=
=
2
2
2
5+3
=4
2
x2 = 4
x1/2 = ± 2
z1 =
5−3
=1
2
x2 = 1
x3/4 = ± 1
z2 =
Zerlegung (Faktorisierung):
f ( x ) = ( x − 2 ) ⋅ ( x + 2 ) ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x + 1)
6.3.6
Aufgabe 4
f ( x ) = x4 − 3x2 − 4
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f ( x) = 0
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x 4 − 3x 2 − 4 = 0
;
man setzt x 2 = u :
u 2 − 3u − 4 = 0
u1 / 2 =
3 ± 9 + 16 3 ± 25 3 ± 5
=
=
2
2
2
3−5
= −1
2
x 2 = −1
3+5
=4
2
x2 = 4
u1 =
u2 =
 x 2 + 1 = 0 
x3/ 4 = ± − 1 ∉ ℝ
x1/2 = ± 2
x3/ 4 ∉ ℝ
Zerlegung:
f ( x ) = ( x − 2 ) ⋅ ( x + 2 ) ⋅ ( x 2 + 1)
Grafische Darstellung:
6.3.7
Aufgabe 5
f ( x ) = x4 − 8x2 − 9
f ( x) = 0
;
Es sei x 2 = u :
x 4 − 8x 2 − 9 = 0
u 2 − 8u − 9 = 0
u1 / 2 =
u1 =
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8 ± 64 + 36 8 ± 100 8 ± 10
=
=
2
2
2
8 + 10
=9
2
u2 =
8 − 10
= −1
2
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x2 = 9
x1 = 3
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x 2 = −1
x3/ 4 ∉ ℝ
x2 = − 3
Faktorisierung:
f ( x ) = ( x − 3) ⋅ ( x + 3) ⋅ ( x 2 + 1)
6.3.8
Aufgabe 6
f ( x ) = x 4 + 4 x 2 − 45
f ( x) = 0
;
Es sei x 2 = u :
x 4 + 4 x 2 − 45 = 0
u 2 + 4u − 45 = 0
u1/ 2 =
− 4 ± 16 + 180 − 4 ± 196 − 4 ± 14
=
=
= −2±7
2
2
2
u1 = − 2 + 7 = 5
u2 = − 2 − 7 = − 9
x2 = 5
x2 = − 9
x1/ 2 = ± 5
x3/ 4 ∉ ℝ
Faktorisierung:
(
)(
)
f ( x ) = x − 3 ⋅ x + 3 ⋅ ( x2 + 9)
6.3.9
Aufgabe 7
f ( x ) = x 4 + 3x 2 + 2
f ( x) = 0
;
Es sei x 2 = u :
x 4 + 3x 2 + 2 = 0
u 2 + 3u + 2 = 0
u1/2 =
− 3 ± 9 − 8 − 3 ±1
=
2
2
−3 +1
= −1
2
x 2 = −1
x1/2 ∉ ℝ
u1 =
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− 3 −1
= −2
2
x2 = − 2
x3/ 4 ∉ ℝ
u2 =
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Faktorisierung:
f ( x ) = ( x 2 + 1) ⋅ ( x 2 + 2 )
6.3.10
Aufgabe 8
f ( x ) = x4 + x2 + 2
f ( x) = 0
;
Es sei x 2 = u :
x4 + x2 + 2 = 0
u2 + u + 2 = 0
u1/2 =
x2 =
−1 ± 1 − 8 −1 ± − 7
=
∉ℝ
2
2
−1 ± − 7
2
x1/ 2/3/ 4 = ±
−1 ± − 7
2
x1/ 2/3/ 4 ∉ ℝ
Keine Zerlegung in ℝ möglich!
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6.4
Aufstellen der Funktionsgleichung aus vorgegebenen Eigenschaften
6.4.1
Aufgabe 1 (siehe 6.2.3)
Aufzustellen ist die Gleichung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades, deren Graph
durch die Punkte A ( 0; 4 ) , B (1;3 ) , C ( − 1;9 ) , D ( 2;0 ) und E ( 3;13) verläuft.
f ( x ) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e
A→
(1) f ( 0 ) = 4
;
e=4
B→
(2) f (1) = 3
;
a+b+c+d +e = 3
C→
(3) f ( − 1) = 9 ;
a −b+c −d +e = 9
D→
(4) f ( 2 ) = 0
E→
(5) f ( 3) = 13 ;
81a + 27b + 9c + 3d + e = 13
(2)
a+b+c+d +4 = 3
d = − a − b − c −1
(3)
a − b + c − ( − a − b − c − 1) + 4 = 9
; 16 a + 8b + 4c + 2d + e = 0
a − b + c + a + b + c +1+ 4 = 9
2 a + 2c = 4
2c = − 2 a + 4
c = −a+2
(2)
(4)
(2)
(5)
(2)
(4)
(3)
d = − a − b − ( − a + 2) −1
d = − a − b + a − 2 −1
d = −b −3
16a + 8b + 4 ⋅ ( − a + 2 ) + 2 ⋅ ( − b − 3) + 4 = 0
16 a + 8b − 4 a + 8 − 2b − 6 + 4 = 0
12a + 6b = − 6
6b = − 12a − 6
b = − 2a − 1
d = 2a + 1 − 3
d = 2a − 2
81a + 27 ⋅ ( − 2a − 1) + 9 ⋅ ( − a + 2 ) + 3 ⋅ ( 2a − 2 ) + 4 = 13
81a − 54a − 27 − 9a + 18 + 6 a − 6 + 4 = 13
24 a = 24
a =1
d = 2 ⋅1 − 2 = 0
b = − 2 ⋅1 − 1 = − 3
c = −1 + 2 = 1
f ( x ) = x 4 − 3x 3 + x 2 + 4
Nullstellen:
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f ( x) = 0 ;
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x 4 − 3x3 + x 2 + 4 = 0
x1 = 2
(x
− (x
4
− 3x3 + x 2
4
− 2 x3 )
+ 4 ) : ( x − 2 ) = x3 − x2 − x − 2
− x3 + x 2
− ( x3 + 2 x2 )
− x2 + 4
(
− − x2 + 2x
)
− 2x + 4
(
− − 2x + 4
)
0
x2 = 2
(x
− (x
3
− x2 − x − 2) : ( x − 2) = x2 + x + 1
3
− 2x2 )
x2 − x
− ( x2 − 2x )
x−2
− ( x − 2)
0
x3/ 4 =
−1 ± 1 − 4
∉ℝ
2
2
Zerlegung: f ( x ) = x 4 − 3 x 3 + x 2 + 4 = ( x − 2 ) ⋅ ( x 2 + x + 1)
Vorzeichenverhalten der Funktionswerte:
x<
f ( x)
+
f
f (0) = 4 > 0
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2
0
2. Ordnung
mit VZW
<x
−
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6.5
Aufstellen der Funktionsgleichung bei biquadratischen Polynomen
6.5.1
Aufgabe 1
Aufzustellen ist die Gleichung einer biquadratischen Polynomfunktion vierten Grades, deren
Graph durch die Punkte ( 0; − 64 ) , (1; − 75 ) und ( 2; − 96 ) verläuft.
f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c
(1) f ( 0 ) = − 64 ;
c = − 64
(2) f (1) = − 75 ;
a + b + c = − 75
(3) f ( 2 ) = − 96 ; 16a + 4b + c = − 96
(2)
a + b − 64 = − 75
b = − a − 11
(3)
16a + 4 ⋅ ( − a − 11) − 64 = − 96
16a − 4a − 44 − 64 = − 96
12 a = 12
a =1
b = −1 − 11
b = − 12
(2)
f ( x ) = x 4 − 12 x 2 − 64
Nullstellen:
f ( x) = 0
;
x 4 − 12 x 2 − 64 = 0
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Setze x 2 = u :
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u 2 − 12u − 64 = 0
u1/ 2 =
12 ± 144 + 256 12 ± 400 12 ± 20
=
=
= 6 ± 10
2
2
2
u1 = 6 + 10 = 16
u2 = 6 − 10 = − 4
2
x2 = − 4
x3/ 4 ∉ ℝ
x = 16
x1/2 = ± 4
Zerlegung:
f ( x ) = ( x − 4) ⋅ ( x + 4) ⋅ ( x2 + 4)
6.5.2
Aufgabe 2
Aufzustellen ist die Gleichung einer ganzrationalen Funktion mit der Gleichung
 45 
f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c , deren Graph durch die Punkte ( 0; 4 ) , ( 2;0 ) und  1;  verläuft.
 16 
(1) f ( 0 ) = 4
;
(2) f ( 2 ) = 0
; 16 a + 4b + c = 0
(3) f (1) =
(2)
(3)
45
;
16
c=4
45
16
16 a + 4b + 4 = 0
4b = − 16a − 4
b = − 4a − 1
45
a − 4a − 1 + 4 =
16
3
− 3a = −
16
1
a=
16
a+b+c =
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Ganzrationale Funktionen vierten Grades
(2)
b = −4⋅
b=−
f ( x) =
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1
−1
16
5
4
1 4 5 2
1
20 2 64 1
x − x + 4 = x4 −
x +
= ⋅ ( x 4 − 20 x 2 + 64 )
16
4
16
16
16 16
Nullstellen:
f ( x) = 0
;
Mit u = x 2 folgt:
1 4 5 2
x − x +4=0
16
4
oder:
x 4 − 20 x 2 + 64 = 0
u 2 − 20u + 64 = 0
u1/ 2 =
20 ± 400 − 256 20 ± 144 20 ± 12
=
=
= 10 ± 6
2
2
2
u1 = 10 + 6 = 16
u2 = 10 − 6 = 4
2
x2 = 4
x3/ 4 = ± 2
x = 16
x1/2 = ± 4
Zerlegung:
f ( x) =
1
⋅ ( x − 4) ⋅ ( x + 4) ⋅ ( x − 2) ⋅ ( x + 2)
16
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6
Ganzrationale Funktionen vierten Grades
6.5.3
Aufgabe 3
Analysis
I. Algebraische Grundlagen der reellen Analysis
Seite 18 von 30
Aufzustellen ist die Gleichung einer biquadratischen Funktion, deren Graph durch die Punkte
( 0; −1, 6 ) , (1; − 2,8 ) und ( 2; − 4 ) verläuft.
1
1
f ( x ) = ⋅ ( x 4 − 7 x 2 − 8 ) = ⋅ ( x 2 − 8 ) ⋅ ( x 2 + 1)
5
5
6.6
Funktionen mit Parameter
6.6.1
Aufgabe 1
f k ( x ) = x 4 − 10 x3 + 25 x 2 + 5kx 2 − 50kx + 125k
Zu untersuchen ist in Abhängigkeit von k Existenz, Anzahl, Lage und Vielfachheit der reellen
Nullstellen von f k .
f k ( x ) = 0 ; x 4 − 10 x 3 + 25 x 2 + 5kx 2 − 50kx + 125k = 0
(
)
(
)
x 2 ⋅ x 2 − 10 x + 25 x + 5k ⋅ x 2 − 10 x + 25 = 0
(x
2
)(
2
)
− 10 x + 25 ⋅ x + 5k = 0
( x − 5)
2
⋅ ( x 2 + 5k ) = 0
2
= 0 ∨ x 2 + 5k = 0
( x − 5)
2
( x − 5)
= 0 ∨ x 2 = − 5k
x1/ 2 = 5
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Ganzrationale Funktionen vierten Grades
x3 =
Analysis
I. Algebraische Grundlagen der reellen Analysis
Seite 19 von 30
− 5k
x4 = −
− 5k
ODER:
f k ( x ) = 0 ; x 4 − 10 x 3 + 25 x 2 + 5kx 2 − 50kx + 125k = 0
x1 = 5
( x 4 − 10 x3 + 25 x 2 + 5kx 2 − 50kx + 125k ) : ( x − 5) = x3 − 5 x 2 + 5kx − 25k
− ( x 4 − 5 x3 )
− 5 x3 + 25 x 2
− (− 5 x3 + 25 x 2 )
5kx 2 − 50kx
− (5kx 2 − 25kx)
− 25kx + 125k
− (− 25kx + 125k )
0
x2 = 5
( x 3 − 5 x 2 + 5kx − 25k ) : ( x − 5) = x 2 + 5k
− ( x3 − 5 x2 )
5kx − 25k
− (5kx − 25k )
0
x 2 + 5k = 0
x 2 = − 5k
x3 =
− 5k
x4 = −
k = −5 :
− 5k
x1/ 2 / 3 = 5
x4 = − 5
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6
k = 0:
Ganzrationale Funktionen vierten Grades
Analysis
I. Algebraische Grundlagen der reellen Analysis
Seite 20 von 30
x1/ 2 = 5
x3 / 4 = 0
k > 0:
x1/ 2 = 5
x3 / 4 ∉ ℝ
Beispiel: k = 1
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Ganzrationale Funktionen vierten Grades
k < 0 ∧ k ≠ −5:
Analysis
I. Algebraische Grundlagen der reellen Analysis
Seite 21 von 30
x1/ 2 = 5
x3 =
x4 = −
− 5k
− 5k
Beispiel: k = − 3, 2
6.7
1
Übungsaufgaben zu Polynomen dritten und vierten Grades
Ermitteln Sie den Term einer Polynomfunktion 3. Grades, deren Graph durch die Punkte
A ( 0;2 ) , B (1;0) , C ( 2;4 ) und D ( −1;4 ) verläuft. Bestimmen Sie die Nullstellen dieser
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6
Ganzrationale Funktionen vierten Grades
Analysis
I. Algebraische Grundlagen der reellen Analysis
Seite 22 von 30
Funktion und deren Vielfachheit. Untersuchen Sie das Vorzeichenverhalten der Funktionswerte.
2
f ( x ) = x 3 − 3 x + 2 = ( x − 1) ⋅ ( x + 2 )
2
Ermitteln Sie den Term einer Polynomfunktion 3. Grades, deren Graph durch die Punkte
A ( 0;1) , B (1;0) , C ( −1;2 ) und D ( 2;5) verläuft. Bestimmen Sie die Nullstellen dieser
Funktion und deren Vielfachheit. Untersuchen Sie das Vorzeichenverhalten der Funktionswerte.
f ( x ) = x 3 − 2 x + 1 ; x1 = 1 ; x2/3 =
3
−1 ± 5
2
Ermitteln Sie den Term einer Polynomfunktion 3. Grades, deren Graph durch die Punkte
A (1;2 ) , B ( −2; −40) , C ( 3;0) und D ( −1; −12 ) verläuft. Bestimmen Sie die Nullstellen
dieser Funktion und deren Vielfachheit. Untersuchen Sie das Vorzeichenverhalten der
Funktionswerte.
f ( x ) = x 3 − 5 x 2 + 6 x = x ⋅ ( x − 2 ) ⋅ ( x − 3)
4
Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f : x ֏ y = f ( x ) = x 4 + x 3 − 5 x 2 − 3x + 6 .
(
)(
f ( x ) = x 4 + x 3 − 5 x 2 − 3x + 6 = ( x − 1) ⋅ ( x + 2 ) ⋅ x − 3 x + 3
5
)
Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f : x ֏ y = f ( x ) = x 6 − 2 x 4 − 8 x 2 .
f ( x ) = x6 − 2 x4 − 8x 2 = x2 ⋅ ( x − 2) ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x2 + 2)
≠0
6
Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f : x ֏ y = f ( x ) = x 4 − 7 x 2 − 8 .
(
)(
)
f ( x ) = x 4 − 7 x 2 − 8 = x − 2 2 ⋅ x + 2 2 ⋅ ( x 2 + 1)
≠0
7
Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f : x ֏ y = f ( x ) = 3x 4 − 2 x 2 − 3 .
x1/2 = ±
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1 + 10
; x3/4 ∉ ℝ
3
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8
Ganzrationale Funktionen vierten Grades
Analysis
I. Algebraische Grundlagen der reellen Analysis
Seite 23 von 30
Ermitteln Sie den Term einer biquadratischen Polynomfunktion, deren Graph durch die
5
 1 43 
Punkte A  − ; −  , B (1; ) und C ( 2;23) verläuft. Bestimmen Sie die Nullstellen die4
 2 64 
ser Funktion und deren Vielfachheit. Untersuchen Sie das Vorzeichenverhalten der Funktionswerte.
f ( x) =
:
↦
−3
5 4
x + x 2 − 1 ; x1/2 ≈ ± 0, 76 ; x3/4 ∉ ℝ
4
−
+ 3 mit
9.0
Gegeben sind die Funktionen
9.1
Bestimmen Sie Anzahl, Lage und Vielfachheit der Nullstellen.
9.2
Geben Sie die Nullstellen der Funktion
9.3
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion
= ℝ und
∈ ℝ.
an.
im Bereich −4 ≤
≤5.
10.0 Der Graph einer biquadratischen Funktion g verlä uft durch die Punkte 3; 0 , 0;
und 1;
.
10.1 Ermitteln Sie den Funktionsterm
.
10.2 Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion g.
10.3 Berechnen Sie die Koordinaten sä mtlicher Schnittpunkte des Graphen von g mit
dem Graphen von der Aufgabe 9. Geben Sie jeweils an, ob es sich um echte
Schnittpunkte oder Berü hrpunkte handelt.
10.4 Tragen Sie den Graphen von g fü r −4,5 ≤
≤4,5 in die Zeichnung von 9.3 ein.
6.8
Weitere Aufgaben
6.8.1
Aufgabe 1
1.1.0
Gegeben ist die Schar der Funktionen
: ↦
−
+3 −3
mit = ℝ und ∈ ℝ. Die zugehö rigen Graphen in einem kartesischen Koordinatensystem werden mit
bezeichnet.
1.1.1
Zeigen Sie, dass
1.1.2
Stellen Sie den Funktionsterm
1.1.3
Geben Sie die Anzahl, Vielfachheit und Lage der Nullstellen in Abhä ngigkeit von
an.
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=
eine Nullstelle jeder Funktion
ist.
als Produkt von Linearfaktoren dar.
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Ganzrationale Funktionen vierten Grades
Analysis
I. Algebraische Grundlagen der reellen Analysis
Seite 24 von 30
1.1.4
+ 3 betrachtet.
Nun wird = 0 gesetzt, also die Funktion mit
=
Erstellen Sie fü r − 3 ≦ ≦ 1 eine Wertetabelle und zeichnen Sie den Graphen
.
Maßstab auf beiden Achsen: 1 LE ≙ 2 cm.
1.2.0
Der Punkt " −1; #$ des Graphen
bildet den Scheitel einer Parabel %, die die
y-Achse im Punkt & 0; 1,5 schneidet.
1.2.1
Erstellen Sie den zur Parabel % gehö rigen Funktionsterm ' .
Ergebnis: '
= − 0,5
1.2.2
Berechnen Sie die Koordinaten sä mtlicher Schnittpunkte des Graphen
der Parabel %.
1.2.3
Ermitteln Sie die Nullstellen der Funktion ' und zeichnen Sie die Parabel % im
angegebenen Bereich in Ihr Diagramm von 1.1.4.
−
+ 1,5
mit
Lö sung:
1.1.1
=
−
1.1.2
=
−
1.1.3
= 0;
1.1.4
∙
+3
+3
−3 ∙
−3
−
+3
∙
−
+3 −3
=
−3
= 0 ⇒ Behauptung
=
∙
−
∙
+3
=
=0
=−3
1. Fall:
= 0:
/
2. Fall:
= − 3:
/
3. Fall:
sonst:
∈ ℝ ∖ 3−3; 04:
=
=
=0
=−3
=−3
=0
=
=0
=−3
doppelte Nullstelle
einfache Nullstelle
genau zwei Nullstellen
doppelte Nullstelle
einfache Nullstelle
genau zwei Nullstellen
genau drei einfache Nullstellen
+3
–3
0
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–2,5
3,125
–2
4
–1,5
3,375
–1
2
–0,5
0,625
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0
0
0,5
0,875
1
4
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1.2.1
'
=5
(1)
(2)
(3)
' 0 = 1,5 ;
89
= −1;
:
' −1 =
−1 = 2 ;
+6 +7
(2)
'
= − 0,5
='
1.2.2
Analysis
I. Algebraische Grundlagen der reellen Analysis
Seite 25 von 30
−
;
7 = 1,5
6 = 25
5−6+7 =2
5 − 25 + 1,5 = 2
− 5 = 0,5
5 = − 0,5
6 = 2 ∙ − 0,5 = − 1
+ 1,5
+ 3 = − 0,5 − + 1,5
+ 3,5 + − 1,5 = 0
=−1
.(x3+3,5x2+
x-1,5):(x+1)=x2+2,5x-1,5
3
2
-(x +
x )
2,5x2+
x
2
-(2,5x +2,5x)
-1,5x-1,5
(-1,5x-1,5)
0
/
=
8 ,<±√?, <@?
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=
8 ,<± ,<
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Analysis
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Seite 26 von 30
= = 0,5
=−3
# =
# =
# =
1.2.3
'
'
−1 = 2
0,5 = 0,875
−3 = 0
=0;
–3
0
− 0,5 − + 1,5 = 0
+2 −3= 0
+3 ∙ −1 =0
C =−3
< =1
–2,5
0,875
–2
1,5
–1,5
1,875
–1
2
–0,5
1,865
0
1,5
0,5
0,875
1
0
Zeichnung
6.8.2
Aufgabe 2
2.1.0
Gegeben ist die Schar von Funktionen
1
f a : x ֏ ⋅ ( x3 − 2ax 2 + a 2 x )
12
mit D = ℝ und a ∈ ℝ . Die zugehörigen Graphen in einem kartesischen Koordinatensystem werden mit Ga bezeichnet.
2.1.1
Bestimmen Sie die Lage und Vielfachheit der Nullstellen von f a in Abhängigkeit
von a .
2.1.2
Berechnen Sie nun die Werte für a , so dass der Graph Ga durch den Punkt
P ( 3; 2, 25) verläuft.
1
⋅ ( x 3 − 12 x 2 + 36 x ) .
12
2.2.0
Für a = 6 ergibt sich der Funktionsterm f 6 ( x ) =
2.2.1
Geben Sie die Nullstellen der Funktion f 6 an und interpretieren Sie die graphische
Bedeutung der Vielfachheit dieser Nullstellen.
2.2.2
Erstellen Sie eine Wertetabelle für 0 ≤ x ≤ 8 mit der Schrittweite ∆ x = 1 und zeichnen Sie den Graphen G0 .
(Maßstab auf beiden Achsen: 1 LE =ˆ 1 cm )
2.3.0
Eine Parabel P verläuft durch den Koordinatenursprung und besitzt die Scheitelkoordinaten S ( 3;3) .
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Ganzrationale Funktionen vierten Grades
Analysis
I. Algebraische Grundlagen der reellen Analysis
Seite 27 von 30
2.3.1
Erstellen Sie die Funktionsgleichung p ( x ) der Parabel P .
2.3.2
Ermitteln Sie die Koordinaten sämtlicher Schnittpunkte der Parabel P mit dem Graphen G0 .
2.3.3
Zeichnen Sie die Parabel P in das unter 2.2.2 erstellte Koordinatensystem.
Lösung:
2.1.1
fa ( x ) = 0 ;
x3 − 2ax 2 + a 2 x = 0
x ⋅ ( x 2 − 2ax + a 2 ) = 0
2
x ⋅( x − a) = 0
x1 = 0
x2/3 = a
2.1.2
1. Fall:
a =0:
x1/2/3 = 0
dreifache Nullstelle
2. Fall:
a ≠ 0:
x1 = 0
einfache Nullstelle
x2/3 = a
zweifache Nullstelle
f a ( 3) = 2, 25 ;
1
⋅ ( 33 − 2a ⋅ 32 + a 2 ⋅ 3) = 2, 25
12
27 − 18a + 3a 2 = 27
a 2 − 6a + 9 = 9
a 2 − 6a = 0
a ⋅ ( a − 6) = 0
a1 = 0
a2 = 6
2.2.1
2.2.2
f6 ( x ) = 0 ;
f6 ( x ) =
x
f6 ( x )
x1 = 0
einfache Nullstelle mit VZW
x2/3 = 6
zweifache Nullstelle ohne VZW
1
⋅ ( x 3 − 12 x 2 + 36 x )
12
0
0
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1
2,08
2
2,67
3
2,25
4
1,33
5
0,42
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6
0
7
0,58
8
2,67
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2.3.1
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Analysis
I. Algebraische Grundlagen der reellen Analysis
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p ( x ) = ax 2 + bx + c
(1)
(2)
(3)
p ( 0) = 0 ;
c=0
−b
=3 ;
2a
p ( 3) = 3 ;
b = − 6a
9a + 3b + c = 3
9a − 18a = 3
− 9a = 3
1
a=−
3
 1
b = − 6⋅ −  = 2
 3
(2)
1
p ( x ) = − x2 + 2x
3
2.3.2
f6 ( x ) = p ( x ) ;
1
1
⋅ ( x3 − 12 x 2 + 36 x ) = − x 2 + 2 x
12
3
x3 − 12 x 2 + 36 x = − 4 x 2 + 24 x
x3 − 8 x 2 + 12 x = 0
x ⋅ ( x3 − 8 x 2 + 12 x ) = 0
x ⋅ ( x 2 − 8 x + 12 ) = 0
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Analysis
I. Algebraische Grundlagen der reellen Analysis
Seite 29 von 30
x ⋅ ( x − 2) ⋅ ( x − 6) = 0
x1 = 0 ;
y1 = f 6 ( 0 ) = 0
x2 = 2 ;
y2 = f 6 ( 2 ) =
8
≈ 2, 67
3
y3 = f 6 ( 6 ) = 0
x3 = 6 ;
2.3.3
1
p ( x ) = − x2 + 2x
3
x
p ( x)
0
0
1
1,67
2
2,67
3
3
4
2,67
5
1,67
6
0
7
8
–2,33 –5,33
Zeichnung
6.8.3
Aufgabe 3
1.0
Gegeben ist die Funktionenschar
1
f k : x ֏ − ⋅ x3 + ( 4 − 4k ) x 2 + ( 3k 2 − 15k + 3) x − 9k
9
mit D = ℝ und k ∈ ℝ . Die zugehörigen Graphen in einem kartesischen Koordinatensystem werden mit Gk bezeichnet.
(
)
1.1
Zeigen Sie: Alle Funktionen f k besitzen die Nullstelle x0 = − 3 .
1.2
Untersuchen Sie in Abhängigkeit von k die Funktion f k auf Anzahl, Lage und Vielfachheit der Nullstellen.
1.3
Bestimmen Sie den Wert von k so, dass der Graph Gk punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung verläuft.
2.0
Nun wird die Funktion f1 mit f1 ( x) = −
2.1
Geben Sie die Nullstellen der Funktion f1 an.
2.2
Erstellen Sie eine Wertetabelle mit der Schrittweite Δx = 0,5 und zeichnen Sie den
Graphen G1 für − 4 ≤ x ≤ 4 .
Größe des Koordinatensystems: − 4 ≤ x ≤ 4 ; − 4 ≤ y ≤ 7 .
Maßstab auf beiden Achsen: 1 LE ≙ 1 cm.
3.0
Der Graph H einer ganzrationalen Funktion vierten Grades enthält die Punkte
A ( −1; 4 ) und B ( 2;6, 25 ) . Er verläuft symmetrisch zur y-Achse und schneidet diese
1 3
x + x betrachtet.
9
bei y = 2, 25 .
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Ganzrationale Funktionen vierten Grades
Analysis
I. Algebraische Grundlagen der reellen Analysis
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3.1
Erstellen Sie den zum Graphen H gehörenden Funktionsterm h( x) .
( Ergebnis: h ( x ) = − 0, 25 ⋅ ( x
4
− 8x2 − 9)
3.2
Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion h.
3.3
Zeichnen Sie den Graphen h für − 3 ≤ x ≤ 3 mithilfe bekannter Ergebnisse und einer
Wertetabelle in Schritten von Δx = 0,5 in das Koordinatensystem von 2.2 ein.
4
Berechnen Sie die Koordinaten sämtlicher Schnittpunkte der Graphen G1 und H.
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