Aufgabe 2 Aufgabe 2: • Aufgabenstellung Um die Unsicherheit des Messergebnisses zu verringern, wird häufig die Berechnung eines Mittelwertes einer Reihe von Messwerten einer Messgröße angewandt. Bestimmen Sie für untenstehende Messreihe den Mittelwert, die Standardabweichung der Einzelmessung und die Standardabweichung des Mittelwertes. 5,22 5,31 6,1 Mittelwert, Standardabweichung, systematischer Fehler, zufälliger Fehler 4,99 4,52 5,47 5,99 5,64 4,86 5,02 Was beschreibt die Standardabweichung des Mittelwertes? Was sagt die Standardabweichung über die Abweichung des Mittelwerts vom wahren Wert aus? Besteht ein Zusammenhang zwischen der Standardabweichung und dem maximal möglichen Fehler? Wie macht sich ein systematischer Fehler bei wiederholten Messungen bemerkbar? Wie kann ein systematischer Fehler erkannt werden? Aufgabe 2 • Aufgabenstellung • Mittelwert und Standardabweichung Aufgabe 2 Bestimmen Sie für untenstehende Messreihe den Mittelwert, die Standardabweichung der Einzelmessung und die Standardabweichung des Mittelwertes. 5,22 5,31 6,1 Mittelwert: 4,99 4,52 5,47 5,99 5,64 4,86 5,02 x= 1 n ∑ xi n i=1 Empirische Standardabweichung der Einzelmessung: = 5,312 ≈ 5,31 1 n 2 σ= ∑ ( xi − x ) n − 1 i =1 = 0,4991 ≈ 0,50 Standardabweichung des Mittelwertes / Standardfehler: vollständiges Messergebnis: σn = σ n = 0,1578 ≈ 0,16 x = (5,31 ± 0,16 ) (Standardabweichung vom Mittelwert bei 10 Messungen) Was beschreibt die Standardabweichung des Mittelwertes? • Aufgabenstellung • Mittelwert und Standardabweichung • Fragenteil - Die Unsicherheit des Mittelwertes einer Messreihe. Was sagt die Standardabweichung über die Abweichung des Mittelwerts vom wahren Wert aus? - nichts, da mögliche systematische Fehler unbekannt sind. Besteht ein Zusammenhang zwischen der Standardabweichung und dem maximal möglichen Fehler? - nein, da mögliche systematische Fehler unbekannt sind. Wie macht sich ein systematischer Fehler bei wiederholten Messungen bemerkbar? - er tritt bei allen Messungen auf und kann daher aus wiederholten Messungen nicht erkannt werden. Wie kann ein systematischer Fehler erkannt werden? - Messung eines Normals - Messung mit einer anderen allgemein anerkannten Methode (z.B. zertifiziert durch PTB, NIST) - Analyse des Messgeräts. 1 Aufgabe 3 • Aufgabenstellung Mit einem Infrarot-Absorptionsphotometer kann die Konzentration eines Gases gemessen werden. Die Intensität I elektromagnetischer Strahlung nach Transmission einer Gasschicht der Dicke l und der Konzentration c ist durch I = I 0 e −ε ⋅c⋅l gegeben. Hier ist I0 die Intensität der Strahlung vor Eintritt in die Gasschicht und ε der Absorptionskoeffizient der Moleküle des Gases. Aufgabe 3: Quelle I0 I(l) Gas Detektor l Gemessen wird die Transmission T = I / I0 (Zunächst wird eine Messung ohne Gas durchgeführt). • Leiten sie eine Skalengleichung c = f(T, l,ε) für einen direktanzeigenden Infrarotanalysator her (Hinweis: Berechnen sie zunächst T). Fehlerfortpflanzung • Durch zufällige Fehler kann mit einem existierenden Analysator die Transmission T mit der Standardabweichung ΔT gemessen werden. Leiten Sie Gleichungen für den absoluten Fehler Δ c = f(T, Δ T, l, ε) und den relativen Fehler Δ c/c = f(T, Δ T, l, ε) der Konzentrationsmessung her! • Für ein Gasgemisch wird der Absorptionskoeffizient mit ε = 0,010 ± 0,001 (ppm m)-1 angegeben. (1 ppm = 1*10-6) Die Länge der Probeküvette l (Dicke der Gasschicht) sei l = 1 m. Gemessen wird eine Transmission von T = 0,90 ± 0,01. Geben Sie das Messergebnis für die Konzentration c (in ppm) des Gases in der Küvette an! Aufgabe 3 • Aufgabenstellung • Lambert-BeerGesetz I : Intensität am Ort x c : Konzentration absorbierender Teilchen Aufgabe 3 ⇒ I ( x ) = I 0 ⋅ e −ε ⋅c⋅l • Leiten sie eine Skalengleichung c = f(T, l,ε) für einen direktanzeigenden Infrarotanalysator her (Hinweis: Berechnen sie zunächst T). T= I ( x ) = I 0 ⋅ e −ε ⋅c⋅l Gas I0 Quelle • Aufgabenstellung • Lambert-BeerGesetz • Skalengleichung I(l) ⇒ I I0 T = e −ε ⋅c⋅l Detektor ln(T ) = −ε ⋅ c ⋅ l l I0 c= I(l) 0 − ln(T ) ε ⋅l l 2 Aufgabe 3 • Aufgabenstellung • Lambert-BeerGesetz • Skalengleichung • absoluter und relativer Fehler Aufgabe 3 • Durch zufällige Fehler kann mit einem existierenden Analysator die Transmission T mit der Standardabweichung ΔT gemessen werden. Leiten Sie Gleichungen für den absoluten Fehler Δ c = f(T, Δ T, l, ε) und den relativen Fehler Δ c/c = f(T, Δ T, l, ε) der Konzentrationsmessung her! Wenn alle Größen fehlerbehaftet sind: 2 c= 2 1 ln (T ) ln (T ) ∆c = ⋅ ∆T + 2 ⋅ ∆ε + ⋅ ∆l 2 T ⋅ε ⋅ l ε ⋅l ε ⋅l Wenn nur T eine Standardabweichung ∆T besitzt: ∆c = ∆T T ⋅ε ⋅l • Für ein Gasgemisch wird der Absorptionskoeffizient mit ε = 0,010 ± 0,001 (ppm m)-1 angegeben. (1 ppm = 1*10-6) Die Länge der • Aufgabenstellung Probeküvette l (Dicke der Gasschicht) sei l = 1 m. Gemessen wird eine • Lambert-BeerTransmission von T = 0,90 ± 0,01. Geben Sie das Messergebnis für die Gesetz Konzentration c (in ppm) des Gases in der Küvette an! • Skalengleichung • absoluter und relativer Fehler • Messergebnis 2 2 2 2 − ln(T ) ε ⋅l ⇒ c = 10,54 ppm 1 ln (T ) ln(T ) ∆c = ⋅ ∆T + 2 ⋅ ∆ε + ⋅ ∆l ⋅4 l 2 43 T ⋅ε ⋅l ε ⋅l 1ε42 4 2 2 =0 1 ln (T ) = ⋅ ∆T + 2 ⋅ ∆ε = 1,531 ppm T ⋅ε ⋅ l ε ⋅l Relativer Fehler: ∆c ∆T = c − ln(T ) ⋅ T Messergebnis: c = (10,5 ± 1,5) ppm (2 signifikante Stellen der Standardabweichung!) 3
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