Aufgabe 2

Aufgabe 2
Aufgabe 2:
• Aufgabenstellung
Um die Unsicherheit des Messergebnisses zu verringern, wird häufig die
Berechnung eines Mittelwertes einer Reihe von Messwerten einer
Messgröße angewandt.
Bestimmen Sie für untenstehende Messreihe den Mittelwert, die
Standardabweichung der Einzelmessung und die Standardabweichung des
Mittelwertes.
5,22 5,31 6,1
Mittelwert,
Standardabweichung,
systematischer Fehler,
zufälliger Fehler
4,99 4,52 5,47 5,99 5,64 4,86 5,02
Was beschreibt die Standardabweichung des Mittelwertes?
Was sagt die Standardabweichung über die Abweichung des Mittelwerts
vom wahren Wert aus?
Besteht ein Zusammenhang zwischen der Standardabweichung und dem
maximal möglichen Fehler?
Wie macht sich ein systematischer Fehler bei wiederholten Messungen
bemerkbar?
Wie kann ein systematischer Fehler erkannt werden?
Aufgabe 2
• Aufgabenstellung
• Mittelwert und
Standardabweichung
Aufgabe 2
Bestimmen Sie für untenstehende Messreihe den Mittelwert, die
Standardabweichung der Einzelmessung und die Standardabweichung des
Mittelwertes.
5,22 5,31 6,1
Mittelwert:
4,99 4,52 5,47 5,99 5,64 4,86 5,02
x=
1 n
∑ xi
n i=1
Empirische Standardabweichung
der Einzelmessung:
= 5,312 ≈ 5,31
1 n
2
σ=
∑ ( xi − x )
n − 1 i =1
= 0,4991 ≈ 0,50
Standardabweichung des
Mittelwertes / Standardfehler:
vollständiges Messergebnis:
σn =
σ
n
= 0,1578 ≈ 0,16
x = (5,31 ± 0,16 )
(Standardabweichung vom Mittelwert
bei 10 Messungen)
Was beschreibt die Standardabweichung des Mittelwertes?
• Aufgabenstellung
• Mittelwert und
Standardabweichung
• Fragenteil
- Die Unsicherheit des Mittelwertes einer Messreihe.
Was sagt die Standardabweichung über die Abweichung des Mittelwerts
vom wahren Wert aus?
- nichts, da mögliche systematische Fehler unbekannt sind.
Besteht ein Zusammenhang zwischen der Standardabweichung und dem
maximal möglichen Fehler?
- nein, da mögliche systematische Fehler unbekannt sind.
Wie macht sich ein systematischer Fehler bei wiederholten Messungen
bemerkbar?
- er tritt bei allen Messungen auf und kann daher aus wiederholten
Messungen nicht erkannt werden.
Wie kann ein systematischer Fehler erkannt werden?
- Messung eines Normals
- Messung mit einer anderen allgemein anerkannten Methode
(z.B. zertifiziert durch PTB, NIST)
- Analyse des Messgeräts.
1
Aufgabe 3
• Aufgabenstellung
Mit einem Infrarot-Absorptionsphotometer kann die Konzentration eines Gases
gemessen werden. Die Intensität I elektromagnetischer Strahlung nach Transmission
einer Gasschicht der Dicke l und der Konzentration c ist durch
I = I 0 e −ε ⋅c⋅l
gegeben. Hier ist I0 die Intensität der Strahlung vor Eintritt in die Gasschicht und ε
der Absorptionskoeffizient der Moleküle des Gases.
Aufgabe 3:
Quelle
I0
I(l)
Gas
Detektor
l
Gemessen wird die Transmission T = I / I0 (Zunächst wird eine Messung ohne Gas
durchgeführt).
• Leiten sie eine Skalengleichung c = f(T, l,ε) für einen direktanzeigenden
Infrarotanalysator her (Hinweis: Berechnen sie zunächst T).
Fehlerfortpflanzung
• Durch zufällige Fehler kann mit einem existierenden Analysator die Transmission T
mit der Standardabweichung ΔT gemessen werden. Leiten Sie Gleichungen für
den absoluten Fehler Δ c = f(T, Δ T, l, ε) und den relativen Fehler
Δ c/c = f(T, Δ T, l, ε) der Konzentrationsmessung her!
• Für ein Gasgemisch wird der Absorptionskoeffizient mit ε = 0,010 ± 0,001 (ppm
m)-1 angegeben. (1 ppm = 1*10-6) Die Länge der Probeküvette l (Dicke der
Gasschicht) sei l = 1 m. Gemessen wird eine Transmission von T = 0,90 ± 0,01.
Geben Sie das Messergebnis für die Konzentration c (in ppm) des Gases in der
Küvette an!
Aufgabe 3
• Aufgabenstellung
• Lambert-BeerGesetz
I : Intensität am Ort x
c : Konzentration absorbierender Teilchen
Aufgabe 3
⇒
I ( x ) = I 0 ⋅ e −ε ⋅c⋅l
• Leiten sie eine Skalengleichung c = f(T, l,ε) für einen direktanzeigenden
Infrarotanalysator her (Hinweis: Berechnen sie zunächst T).
T=
I ( x ) = I 0 ⋅ e −ε ⋅c⋅l
Gas
I0
Quelle
• Aufgabenstellung
• Lambert-BeerGesetz
• Skalengleichung
I(l)
⇒
I
I0
T = e −ε ⋅c⋅l
Detektor
ln(T ) = −ε ⋅ c ⋅ l
l
I0
c=
I(l)
0
− ln(T )
ε ⋅l
l
2
Aufgabe 3
• Aufgabenstellung
• Lambert-BeerGesetz
• Skalengleichung
• absoluter und
relativer Fehler
Aufgabe 3
• Durch zufällige Fehler kann mit einem existierenden Analysator die
Transmission T mit der Standardabweichung ΔT gemessen werden.
Leiten Sie Gleichungen für den absoluten Fehler Δ c = f(T, Δ T, l, ε) und
den relativen Fehler Δ c/c = f(T, Δ T, l, ε) der Konzentrationsmessung her!
Wenn alle Größen fehlerbehaftet sind:
2
c=
2
 1
  ln (T )
  ln (T )

∆c = 
⋅ ∆T  +  2 ⋅ ∆ε  + 
⋅ ∆l 
2
 T ⋅ε ⋅ l
  ε ⋅l
  ε ⋅l

Wenn nur T eine Standardabweichung ∆T besitzt:
∆c =
∆T
T ⋅ε ⋅l
• Für ein Gasgemisch wird der Absorptionskoeffizient mit ε = 0,010 ±
0,001 (ppm m)-1 angegeben. (1 ppm = 1*10-6) Die Länge der
• Aufgabenstellung
Probeküvette l (Dicke der Gasschicht) sei l = 1 m. Gemessen wird eine
• Lambert-BeerTransmission von T = 0,90 ± 0,01. Geben Sie das Messergebnis für die
Gesetz
Konzentration c (in ppm) des Gases in der Küvette an!
• Skalengleichung
• absoluter und
relativer Fehler
• Messergebnis
2
2
2
2
− ln(T )
ε ⋅l
⇒
c = 10,54 ppm
 1
  ln (T )
  ln(T )

∆c = 
⋅ ∆T  +  2 ⋅ ∆ε  + 
⋅ ∆l 
⋅4
l 2 43
 T ⋅ε ⋅l
  ε ⋅l
 1ε42

4
2
2
=0
 1
  ln (T )

= 
⋅ ∆T  +  2 ⋅ ∆ε  = 1,531 ppm
 T ⋅ε ⋅ l
  ε ⋅l

Relativer Fehler:
∆c
∆T
=
c
− ln(T ) ⋅ T
Messergebnis: c = (10,5 ± 1,5) ppm
(2 signifikante Stellen der Standardabweichung!)
3

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