1.3 Fehlerbetrachtung, Kalibrierung Wiederholung von einzelnen

1.3 Fehlerbetrachtung, Kalibrierung
1
2
Wiederholung von einzelnen Messungen
1.3.1 Genauigkeit und Statistische Beschreibung und Analyse von Messungen
• Ergebnis einer Messung ist lediglich Schätzwert für
den wahren Wert einer Messgröße
• Messabweichung (Fehler) ε: Differenz zwischen
Messwert und wahrem Wert:
Ergebnis der Messung
Signal Output S
800
ε = xMess − xWahr
• Ziele:
• Minimierung der Messabweichung (Unsicherheit)
• Abschätzung der Messabweichung (Unsicherheit)
Zufälliger Fehler
Systematischer Fehler (Bias)
400
“Wahrer” Wert
(Referenzwert)
200
0
• Abschätzung der Messunsicherheit ist
Voraussetzung für Entscheidungen, die auf
Messwerten beruhen sollen
}
600
0
10
20
30
40
50
Measurement
Messung
3
4
Genauigkeit
Genauigkeit
• Genauigkeit: Richtigkeit und Präzision
• Richtigkeit
• Ausmaß der Annäherung des Erwartungswertes des
Ermittlungsergebnisses an den Bezugswert (wahren Wert)
• Systematische Fehler (Messabweichungen)
• Präzision
• Ausmaß der gegenseitigen Annäherung voneinander unabhängiger
Ermittlungsergebnisse bei mehrfacher Anwendung eines
festgelegten Ermittlungsverfahrens unter vorgegebenen
Bedingungen
• Zufällige Fehler
Gute Richtigkeit
Gute Präzision
Schlechte Richtigkeit
Gute Präzision
Mögliche Verbesserung:
Kalibrierung
Gute Richtigkeit
Schlechte Richtigkeit
Schlechte Präzision Schlechte Präzision
Mögliche Verbesserung:
Mittelung
5
6
Darstellung von Messungen in einem
Histogramm
Frequency
Häufigkeit
Darstellung von Messungen in einem
Histogramm
Zufällige Fehler:
Messungen streuen um Mittelwert
1000
500
0
98
100
102
104
Systematischer
Fehler
“Wahrer” (Referenz)
xref
Wert
(im Allgemeinen unbekannt)
x=
n
∑x
i =1
106
108
X
Mittelwert: Ergebnis der Messung
i
n
7
Größen zur Beschreibung einer Verteilung
8
Größen zur Beschreibung einer Verteilung (II)
• Streuungsmaße
• Position:
• Mittelwert
n
x=
∑x
i =1
i
n
n : Anzahl der Messungen
xi : Ergebnis der Messung (Zufallsgröße) i
x : Mittelwert
• Median
• Bei einer nach Größe sortierten Folge von Messwerten („geordnete
Stichprobe“) ist der Median der Wert, der in der Mitte liegt (bei einer
geraden Anzahl von Messwerten das arithmetische Mittel der
beiden mittleren Werte).
• Modalwert, Modus
• Spannweite: Differenz zwischen dem größten (Maximum)
und dem kleinsten Wert (Minimum)
n
• Varianz, Standardabweichung
2
∑ ( xi − x )
Varianz einer Grundgesamtheit: s 2 = i =1
n
Standardabweichung
der Grundgesamtheit:
s = s2
• Wenn von Stichprobe (Messungen) auf Grundgesamtheit
geschlossen werden soll:
n
Varianz (empirische):
σ =
2
• Der häufigste Wert einer Häufigkeitsverteilung
∑ ( xi − x )2
i =1
n −1
n
Standardabweichung (empirische): σ
=
∑ (x − x)
i =1
i
n −1
2
σ =s
n
n −1
Frequency
Häufigkeit
Darstellung von Messungen in einem
Histogramm (II)
9
• Viele Ergebnisse von Experimenten können durch
Glockenkurve beschrieben werden
• N →∞, Breite der Klassen → 0:
Standardabweichung
(Maß für zufällige Fehler)
1000
n
σ=
500
0
∑ (x − x)
i =1
10
Die Normalverteilung
2
i
• Histogramm → Wahrscheinlichkeitsverteilung → Wahrscheinlichkeitsdichte
n −1
• Gauß- oder Normalverteilung
(Wahrscheinlichkeitsdichte)
98
“Wahrer” (Referenz)
Wert (im Allgemeinen
unbekannt)
100
102
104
Systematischer
Fehler
xref
x=
n
∑ xi
106
108
−
1
p ( x, µ , σ ) =
e
σ 2π
X
Mittelwert: Ergebnis der Messung
i =1
( x − µ )2
2σ 2
µ : Mittelwert
σ : Standardabweichung
n
11
12
Normalverteilung
• Andere Wahrscheinlichkeitsverteilungen:
Die NormalVerteilung
•
•
•
•
Binomialverteilung
Poissonverteilung
Gleichmäßige Verteilung
…
• Normal/Gauss – Verteilung liegt am häufigsten vor
Gründe:
• Zentraler Grenzwertsatz:
Die (normierte) Summe einer großen Zahl von unabhängigen, identisch
verteilten Zufallsvariablen ist annähernd (standard)normalverteilt.
• Normalverteilung ist Näherung der Binomialverteilung für große N (und
p = 1-q ≈ 0.5)
13
14
Die Normalverteilung
Abweichungen
• Bei Zufallsvariable (Messung), die der
Normalverteilung folgt:
P( µ − σ ≤ x ≤ µ + σ ) =
µ +σ
∫ p(x, µ , σ )dx = 0.683
µ −σ
P ( µ − 2σ ≤ x ≤ µ + 2σ ) =
Probability Density
• Wahrscheinlichkeit ist durch Integral über
Wahrscheinlichkeitsdichte gegeben:
Bezeichnung
Wahrscheinlicher ± 0.67σ
Fehler
0.5
0
Standardabweichung
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
Variable X
µ + 2σ
∫ p(x, µ ,σ )dx = 0.954
P ( µ − 3σ ≤ x ≤ µ + 3σ ) =
∫ p(x, µ , σ )dx = 0.997
µ −3σ
Probability Density
µ − 2σ
µ + 3σ
Bereich
Wahrscheinlichkeit,
dass Abweichung
kleiner ist
Wahrscheinlichkeit,
dass Abweichung
größer ist
0.5
0.5
±σ
0.68
0.32
± 3σ
0.997
0.003
± 6σ
0.999999998
≈10-9
0.5
0
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
Variable X
15
16
Fehlerfortpflanzung
• Fortpflanzung der Unsicherheit für zufällige Fehler
(Abweichungen):
• Messergebnis u ist Funktion mehrerer gemessener Größen
u = f (x, y,..)
• Aufgabe: Abschätzung der Unsicherheit der berechneten
Größe
• Lösungsansatz: Betrachtung einer Näherung erster
Ordnung
• Voraussetzung: Abweichungen (Fehler) sind unkorreliert
• Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz:
2
⎡ ∂u ⎤
⎡ ∂u ⎤ ⎡ ∂u ⎤
su = ⎢ s x ⎥ + ⎢ s y ⎥ + ... + ⎢ s z ⎥
x
y
∂
∂
⎣ ∂z ⎦
⎦ ⎣
⎣
⎦
2
2
Fehlerfortpflanzungsgesetz (I)
Betrachtung einer aus zwei (mit Unsicherheiten behafteten)
Messgrößen berechneten Größe u:
u = f ( x, y )
Mittelwerte und Abweichungen:
u = u + ∆u
x = x + ∆x
y = y + ∆y
Taylor-Reihe (Totales Differential):
u + ∆u = f ( x , y ) +
⇒
∂u
∂u
∆x +
∆y
∂x
∂y
Abweichung (Subtraktion des Mittelwerts u = f ( x , y ) )
∆u =
∂u
∂u
∆x + ∆y
∂x
∂y
Gleichung (1)
17
18
Fehlerfortpflanzungsgesetz (II)
Fehlerfortpflanzungsgesetz (III)
Berechnung der Varianz su2 von u bei n Messungen:
su
2
1
=
n
=
∑ (u
1
n
i
− u)
su
i = 1...n
2
2
⎛ ∂u ⎞
=⎜ ⎟
⎝ ∂x ⎠
∑
⎛ ∆xi 2 ⎞
⎜
⎟ ⎛ ∂u ⎞ 2
⎜ i
⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜ n ⎟⎟ ⎝ ∂y ⎠
⎝14243⎠
s 2
x
2
i
∑ ∆u
2
i
∑
⎛ ∆yi 2 ⎞
⎜
⎟
⎜ i
⎟
⎜⎜ n ⎟⎟
⎝14243⎠
s 2
y
i
ui: Ergebnis der Messung (und Berechnung) i.
2
Einsetzen von Gleichung (1):
1 ⎛ ∂u
∂u
⎞
2
⇒ su = ∑ ⎜ ∆xi + ∆yi ⎟
n i ⎝ ∂x
∂y
⎠
⎧
1 ⎪⎪
= ⎨
n⎪
⎪⎩
⎛ ∂u
⎞
2
i
⎞
i
i
⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂u ⎞
⇒ su = ⎜ s x ⎟ + ⎜ s y ⎟
⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠
2
⎛ ∂u
2
Berechnung der Standardabweichung:
Größen unkorreliert
∑ ⎜⎝ ∂x ∆x ⎟⎠ +∑ ⎜⎜⎝ ∂y ∆y ⎟⎟⎠
i
2
⎛ ∂u ⎞ 2 ⎛ ∂u ⎞ 2
= ⎜ ⎟ sx + ⎜ ⎟ s y
⎝ ∂x ⎠
⎝ ∂y ⎠
2
644
4=
70444
8⎫
+2
⎪⎪
∂u ∂u
∑ ∂x ∂y ∆x ∆y ⎬
i
i
i
2
⎪
⎭⎪
Standardabweichung des Mittelwerts
19
Standardabweichung des Mittelwerts
Standardfehler
• Empirische Standardabweichung beschreibt
Unsicherheit bei einer einzelnen Messung
• Messergebnis wird durch Berechnung des
Mittelwerts ermittelt
• Aufgabe: Quantifizierung der Unsicherheit des
Mittelwerts, des Standardfehlers
Standardfehler: Herleitung (I)
• Fehlerfortpflanzungsgesetz für n Variablen x1..xn
(Hier andere Bezeichnung statt x,y,…)
⎛ ∂u ⎞
⎜⎜
σ i ⎟⎟
⎠
i =1 ⎝ ∂xi
n
∑
σu =
2
u = f ( x1 , x2 ,..xn )
• Mittelwert:
u=
∑x
i
n
=
x1 + x2 + x3 .... + xn
n
• Betrachtung der Einzelmessungen x1,x2,.. als unabhängige
Variablen mit gleicher Standardabweichung σ
σ 1 = σ 2 = σ 3 =... = σ
20
Standardabweichung des Mittelwerts
21
Standardabweichung des Mittelwerts
Standardfehler: Herleitung (II)
(Standardfehler)
• Die Standardabweichung des Mittelwerts σn (Standardfehler)
aus n Messungen ist durch
• Anwendung des Fehlerfortpflanzungsgesetzes
• Mit ∂x = 1
(gilt für alle xi) folgt:
∂xi n
2
2
2
2
⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞
⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞
σ u = ⎜ σ 1 ⎟ + ⎜ σ 2 ⎟ + ..... = ⎜ σ ⎟ + ⎜ σ ⎟ + .....
⎝n ⎠ ⎝n ⎠
⎝n ⎠ ⎝n ⎠
σn =
(σ 1 = σ 2 = .. = σ )
• Also folgt bei n Variablen
⎛1 ⎞
⎝n ⎠
2
σ u = n⎜ σ ⎟ =
σ2
n
=
22
σ
n
σ
n
gegeben. (σ
n wurde in der Herleitung als σu bezeichnet, um
Verwechselungen mit σi (i=1..n) zu vermeiden)
• Sehr wichtiges Ergebnis: Die Unsicherheit einer Messung
lässt sich durch wiederholte Messungen verringern (dies ist
ein wichtiger Grund, warum Mittelwert berechnet wird!)
• Aber: Verbesserung ist durch Wurzelfunktion gegeben
• ⇒ Verringerung der Unsicherheit um z.B. Faktor 10 erfordert 100-fache
Anzahl von Messungen ⇒ Zeit, Kosten
• Und: Systematische Fehler werden nicht verringert
• Ausblick: Angabe von Konfidenzintervall mit t-Faktor (siehe
z.B. DIN 1319)
Fehlerfortpflanzung für systematische
Fehler
• Auswirkung von systematischen Fehlern kann durch
direktes Einsetzen in die Gleichung betrachtet
werden
• Andere Möglichkeit: Totales Differential
u = f ( x1 , x2 ..xn )
∂u
∂u
∂u
∆u =
∆x1 +
∆x2 ... +
∆x n
∂x1
∂x2
∂xn
23
Eliminierung von systematischen Fehlern
(Praktisch)
• Identifikation von systematischen Fehlern:
• Messung eines Normals
• Messung der Messgröße mit zertifizierter Methode (z.B.
zertifiziert durch PTB, NIST)
• Analyse des Messgeräts
• Eliminierung von systematischen Fehlern:
• Kalibrierung
• Nachträgliche rechnerische Korrektur
24
25
26
Zusammenfassung
Vollständiges Messergebnis
• Rundung des Mittelwerts auf ein oder zwei Stellen der
Standardabweichung
• Empirische Standardabweichung:
n
Standardabweichung
σ1 =
der Einzelmessung:
∑ ( xi − x ) 2
i =1
n −1
x = (x ± σ )
n : Anzahl der Messungen
xi : Messwert der Messung i
x : Mittelwert
Standardabweichung des Mittelwerts (Standardfehler):
σn =
• Abhängig von der Art der Messung wird die
Standardabweichung der Einzelmessung genutzt oder die
Standardabweichung des Mittelwerts
σ1
• Zusätzlich: Angabe der Art der Standardabweichung (z.B.
Standardabweichung des Mittelwerts) und der Anzahl der
Messungen
n
• Fehlerfortpflanzungsgesetz für n Variablen x1..xn
u = f ( x1 , x2 ,..xn )
σu =
⎛ ∂u ⎞
⎜⎜
σ i ⎟⎟
⎠
i =1 ⎝ ∂xi
n
∑
•
•
•
•
2
Beispiel: Messung der Länge l
Aus 10 Messungen berechneter Mittelwert: l = 10,51342 µm
Standardabweichung des Mittelwerts σ n = 1,52783 µm
Messergebnis: l = (10,5 ± 1,5) µm ,10 Messungen,
Standardabweichung des Mittelwerts
27
1.3.2 Kalibrierung
• Kalibrierung
• Tätigkeit zur Ermittlung des Zusammenhangs zwischen
den ausgegebenen Werten eines Messgerätes oder einer
Messeinrichtung oder den von einer Maßverkörperung oder
von einem Referenzmaterial dargestellten Werten und den
zugehörigen, durch Normale festgelegten Werten einer
Messgröße unter vorgegebenen Bedingungen
• Nicht zu verwechseln mit der Eichung, die nur von den dafür
zuständigen Behörden vorgenommen werden darf (z.B. PTB)
28
Kalibrierung (Praktisch)
• Erster Schritt: Messungen von Normalen (bekannte
Messgrößen)
• Zweiter Schritt: Bestimmung des Zusammenhang zwischen
Messgröße X und gemessenem Signal S, der
Kalibrierfunktion:
• S = f (X)
• Dritter Schritt: Berechnung der “Skala”, der gemessenen
Größe als Funktion des Signals S
• X = f(S)
29
Beispiel: Kalibrierung
Berechnung der Kalibrierfunktion und der
Analysefunktion
30
2000
• Detektor (z.B. Photoionisationsdetektor PID):
I / pA
1500
• Bekannt: Signal (Strom I) ist lineare Funktion der
Konzentration c
1000
500
0
• Erster Schritt: Messung von bekannten Proben (Normale)
0
5
10
15
20
25
30
35
c / ppm
• Ergebnis:
Konzentration
• Zweiter Schritt: Berechnung der Kalibrierfunktion
I( c ) m. c b
Strom
c / ppm
I / pA
10
501
30
1501
• Dritter Schritt: Berechnung der „Skala“ (Analysenfunktion)
c( I )
I
b
m
31
32
Lineare Regression
Lineare Regression
• Messungen zur Kalibrierung enthalten Unsicherheit
• Berechnung der Kalibrierfunktion mit der Methode
der kleinsten Quadrate
80
• Signal S ist mit Unsicherheit behaftet
• Ziel: Lineare Funktion f(x) finden, die Messungen am besten
approximiert, d.h. Bestimmung von a, b:
60
80
y = a +b⋅ x
40
• Definition: Residuum R für
Messung i
20
Ri = yi − (a + b ⋅ xi )
0
2
4
6
Messgröße X
8
10
12
40
20
• Minimierung von [R ] = ∑ R
2
0
60
Signal S
Signal S
• Annahme: Normal (Messgröße) ist bekannt
2
i
i
0
0
2
i = 1 .. n;
n: Anzahl Messungen
4
6
Messgröße X
8
10
12
33
34
Lineare Regression
Lineare Regression
• Partielle Ableitungen
([
[ ]
• Lineares Gleichungssystem (a and b sind Variablen,
[..] sind Koeffizienten)
])
∂R
∂ ( y − (a + b ⋅ x ))
=
∂a
∂a
∂ y 2 − 2a[ y ] − 2b[xy ] + na 2 + 2ab[x] + b 2 x 2
=
= −2[ y ] + 2na + 2b[x]
∂a
2
2
([ ]
[ ])
⇒ [ y ] − na − b[x ] = 0
• Berechnung von a und b
Ableitung = 0 bei Minimum
[ ] ([ ]
[ ])
a=
∂ R 2 ∂ y 2 − 2a[ y ] − 2b[xy ] + na 2 + 2ab[x ] + b 2 x 2
=
= −2[xy ] + 2a[x ] + 2b x 2
∂b
∂b
[ ]
2
⇒ [xy ] − a[x ] − b x = 0
[ ]
Ableitung = 0 bei Minimum
[ y ][x 2 ]− [x][xy ]
2
n[x 2 ]− [x ]
n[xy ] − [x][ y ]
2
n x 2 − [x]
b=
[ ]
• Polynome und andere Linearkombinationen von
Funktionen können analog zur Approximation
eingesetzt werden
Zwei Gleichungen für a und b
35
36
Lineare Regression
Korrelation
• Abweichung der gemessenen yi von Regressionsfunktion:
σ y2 =
[R ]
2
σy =
Standardfehler:
n−2
[R ]
2
n−2
• Varianz der Steigung (Fehlerfortpflanzung)
σ b2 =
σ y2
[(x − x ) ]
2
x : Mittelwert
(Erinnerung: [ ]: Summe)
• Varianz von a σ a2 =
σ y2 [x 2 ]
[
n (x − x )
2
]
• Um Wertepaare (xi,yi) auf eine lineare Abhängigkeit
hin zu untersuchen, kann der Korrelationskoeffizient r
berechnet werden
r=
n[xy ] − [x ][ y ]
[ ]
n x 2 − [x ]
2
[ ]
n y 2 − [y]
2
• Wertebereich: -1 ≤ r ≤ 1
• Unabhängige Größen:
(Erinnerung: [ ] = Summe über i)
r=0
• Umkehrschluss nicht möglich: Aus r = 0 folgt lediglich, dass
kein linearer Zusammenhang besteht
• Linear abhängige Größen:
r = ±1
37
38
Korrelation
r = 0,85
y
y
r=0
Normale für Kalibrierungen
x
x
r = -0,998
Aber: Korrelation
ist nicht gleich
Kausalität
y
y
r = 0,998
x
J. G. Webster (Editor): “The Measurement,
Instrumentation, and Sensors
Handbook” CRC Press, 1999.
x
39
40
1.4. Messprotokoll
Bedeutung von Normalen (Standards)
Enthält alle Informationen, die für Bestimmung
des Messwertes notwendig sind und die Fehlerbetrachtung
Wiederholbarkeit
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
J. G. Webster (Editor): “The Measurement,
Instrumentation, and Sensors
Handbook” CRC Press, 1999.
Aufgabenstellung mit Erläuterung
Ort, Datum, Uhrzeit, Name
Beschreibung des Messverfahrens
Typenbezeichnung, Seriennummer der Prüflinge
Schaltbild, evtl. Leitungsführung
Messergebnisse, Tabellen - graphische Darstellung
Zusammenfassung, kritische Diskussion
41
Darstellung der Messwerte
U
(V)
4
U=f (I)
3,5
Durch Regression
ermittelte Funktion
zur Approximation
der Messung
3
2,5
2
1,5
Wenn möglich:
Fehlerbalken
1
0,5
0
1
2
3
I (mA)

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