Sylvester-Schur の定理について
風あざみ
2016/04/11
目次
1
記号の説明編
2
2
Sylvester-Schur の定理とは
2
3
Sylvester-Schur の定理と同値な命題編
3
4
証明の準備編
3
5
証明の準備編 (とくに二項係数に関するもの)
5
6
1, 2, · · · , n の最小公倍数の上界編
6
7
k ≥ 33 のとき、Sylvester-Schur の定理が成り立つことの証明
8
6 ≤ k ≤ 32 のとき、Sylvester-Schur の定理が成り立つことの証明 17
9
k ≤ 5 のとき、Sylvester-Schur の定理が成り立つことの証明
10 参考にしたサイト
11
21
23
1
1
記号の説明編
[x] を x を超えない最大の整数を意味する。
また整数 n と素数 p に対して、n が pl で割り切れ pl+1 で割り切れないとき
l = vp (n) と書くことにする。
また、c < p ≤ d をみたす素数 p の積を以下のように書くことにする。
∏
p
c<p≤d
π(n) を、n 以下の正の整数のうち、素数であるものの個数とする。
1, 2,・
・
・, n の最小公倍数を lcm(1, 2, · · · , n) と書くことにする。
log x は自然対数を意味する。
2
Sylvester-Schur の定理とは
Sylvester-Schur の定理とは以下の命題である。
n ≥ 2k をみたす任意の正の整数 n, k に対して、
隣接する k 個の整数 n, n − 1, · · · , n − k + 1
の素因数の中に k より大きなものが必ず存在する。
2
Sylvester-Schur の定理と同値な命題編
3
命題０：Sylvester-Schur の定理は以下の命題と同値である。
n ≥ 2k をみたす任意の正の整数 n, k に対して、
(n)
k の素因数の中に k より大きなものが必ず存在する。
証明：上記の２つの命題の同値性を示す。
n, n − 1, · · · , n − k + 1 の素因数の中に k より大きな p が存在する。
⇐⇒ n(n − 1) · · · (n − k + 1) の素因数の中に k より大きな p が存在
( )
n
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
する。 ⇐⇒
の素因数の中に k より大
=
k!
k
きな p が存在する。
以上より、命題０はいえた。
□
以降、Sylvester-Schur の定理と同値な以下の命題を示すことにする。
(n)
k
4
の素因数の中に k より大きなものが必ず存在する。
証明の準備編
命題１：x, y を実数とするとき、[x + y] − [x] − [y] = 0, 1 がいえる。
証明：[x + y] − [x] − [y] ＜ (x + y) − (x − 1) − (y − 1) = 2
[x + y] − [x] − [y] ＞ (x + y − 1) − x − y = −1
[x+y]−[x]−[y] は整数だから、[x+y]−[x]−[y] = 0, 1 となる。
□
命題２：素数 p を任意にとる。 このとき、以下が言える。
vp (n!) =
∞
∑
n
[ i]
p
i=1
証明：1 以上 n 以下の整数で vp (m) = i となるものの個数
=(pi の倍数の個数-pi+1 の倍数の個数)・i より
∞
∑
∞
∑ n
n
n
[ i]
vp (n!) =
i・([ i ] − [ i+1 ]) =
p
p
p
i=1
i=1
命題３：任意の 33 以上の整数 k に対して、以下の不等式が成立する。
π(k) ≤
3
k
3
□
証明：k ≥ 49 のとき、1, 25, 35, 49 および、2 以外の偶数や、3 以外の 3 の倍
数は素数ではないので、
k
k
k
π(k) ≤ k − 1 − ([ ] − 1) − ([ ] − 1) + [ ] − 3
2
3
6
k
k
k
k
< k − 1 − ( − 2) − ( − 2) + − 3 =
2
3
6
3
だから正しい。
34 ≤ k ≤ 36 のとき
k
34
π(k) = 11 かつ、 ≥
≥ 11 だから正しい。
3
3
37 ≤ k ≤ 40 のとき
k
37
π(k) = 12 かつ、 ≥
> 12 だから正しい。
3
3
41 ≤ k ≤ 42 のとき
k
41
π(k) = 13 かつ、 ≥
> 13 だから正しい。
3
3
43 ≤ k ≤ 46 のとき
43
k
> 14 だから正しい。
π(k) = 14 かつ、 ≥
3
3
47 ≤ k ≤ 48 のとき
k
47
π(k) = 15 かつ、 ≥
> 15 だから正しい。
3
3
よって命題３はいえた。
□
命題４：n, k, e を n > k > e をみたす正の整数とすると以下がいえる。
n
n−e
>
k−e
k
証明：左辺と右辺との差を取る。
n−e n
(n − k)e
− =
>0
k−e
k
k(k − e)
よって命題４はいえた。
□
4
5
証明の準備編 (とくに二項係数に関するもの)
命題５：n, k を n > k をみたす正の整数とすると以下がいえる。
( )
n
n
> ( )k
k
k
証明：命題４より
( )
n
n−k+1
n
n n−1
· ... ·
> ( )k
= ·
k
k k−1
1
k
よって命題５はいえた。
□
命題６：任意の正の整数 n に対して、 n2 ≤ [ n+1
2 ] がいえる。
証明：n が偶数のとき
n = 2r とかける。(ただし、r は正の整数とする)。
このとき、 n2 = r, [ n+1
2 ] = r だから正しい。
n が奇数のとき
n = 2r − 1 とかける。(ただし、r は正の整数とする)。
このとき、 n2 = r − 1, [ n+1
2 ] = r だから正しい。
以上より命題６はいえた。
□
命題７：n, k を n > k をみたす正の整数、p を素数とする。すると
( )
∞
∑
n
n
k
n−k
vp (
)=
([ i ] − [ i ] − [ i ])
k
p
p
p
i=1
証明：命題２より
( )
∞
∞
∞
∞
∑
∑
∑
∑
n
n
k
n−k
n
k
n−k
vp (
)=
[ i] −
[ i] −
[ i ]=
([ i ] − [ i ] − [ i ])
k
p
p
p
p
p
p
i=1
i=1
i=1
□
i=1
( )
定理８：n, k を n > k をみたす正の整数、p を素数とする。vp ( nk ) = jp , h =
[logp n] とおくと、以下の不等式が言える。
jp ≤ h
pjp ≤ n
証明：i > h のとき、[ pni ] = [ pki ] = [ n−k
pi ] = 0 がいえる。
よって命題１と命題７より
jp =
∞
∑
n
k
n−k
([ i ] − [ i ] − [ i ])
p
p
p
i=1
5
=
h
h
∑
∑
n
k
n−k
([ i ] − [ i ] − [ i ]) ≤
1=h
p
p
p
i=1
i=1
一方、ph ≤ n < ph+1 だから、pjp ≤ ph ≤ n であることがいえる。
よって、定理８がいえた。
以降、簡単のため、vp (
□
(n)
k
) = jp と書くことにする。
命題９：n を 2 以上の正の整数とすると、以下の不等式が成立する。
( )
2n
2n ·
> 4n
n
証明：証明すべき不等式の左辺が 2 以上の数による 2n 個の積になることを
利用する。
( )
2n
2 3 4 5
2n − 2 2n − 1 2n 2n
2n ·
= · · · ···
·
·
·
> 4n
n
1 1 2 2
n−1 n−1 n n
6
1, 2, · · · , n の最小公倍数の上界編
定理１０：n を 41 以上の整数とするとき、以下の不等式が成立する。
)
(
n+1
n
< 22[ 2 ]−3
n+1
[ 2 ]
証明：数学的帰納法を用いて証明する。
n = 41 のとき、
( )
41
= 269128937220, 22·21−3 = 549755813888 より正しい。
21
n = 42 のとき、
( )
42
= 538257874440, 22·21−3 = 549755813888 より正しい。
21
となって定理１０は正しい。
n = 2c − 1, n = 2c のとき
(
)
( )
2c − 1
2c
2c−3
<2
,
< 22c−3
c
c
6
□
が成り立つと仮定する。
n = 2c + 1 のとき
(2c+1)
(2c+1)!
(c+1)!·c!
(2c−1)!
c!·(c−1)!
=
(2c+2)!
(c+1)!·(c+1)!
(2c)!
c!·c!
=
2c + 1 2c
·
< 2 · 2 = 4 より
c+1 c
(
)
(
)
2c + 1
2c − 1
<4·
< 22 · 22c−3 = 22(c+1)−3
c+1
c
c+1
(2c−1
)
c
n = 2c + 2 のとき
(2c+2)
(c+1
) =
2c
c
=
2c + 2 2c + 1
·
< 2 · 2 = 4 より
c+1 c+1
(
)
( )
2c + 2
2c
<4·
< 22 · 22c−3 = 22(c+1)−3
c+1
c
よって、n = 2c + 1, n = 2c + 2 のときも以下の不等式が成立することがい
える。
(
n
)
[ n+1
2 ]
< 22[
n+1
2 ]−3
したがって、定理１０が成り立つことがいえた。
定理１１：n を 2 以上の整数とするとき、以下の不等式が成立する。
(
)
n+1
n
lcm(1, 2, · · · , n) ≤ lcm(1, 2, · · · , [
]) · n+1
2
[ 2 ]
証明：n 以下の素数 p を任意に取る。
ph ≤ n < ph+1 をみたす整数 h をとる。
このとき、vp (lcm(1, 2, · · · , n)) = h となる。
0 < ph ≤
n+1
のとき
2
n+1
])) = h となる。
2
(
)
n+1
n
したがって、vp (lcm(1, 2, · · · , [
]) · n+1 ) ≥ h となる。
2
[ 2 ]
このとき、vp (lcm(1, 2, · · · , [
n+1
< ph ≤ n のとき
2
n
n+1
n
]
命題６より、ph−1 ≤ ≤ ≤ [
p
2
2
n+1
よって、ph−1 ≤ [
] < ph となるから
2
n+1
])) = h − 1 となる。· · · (1)
vp (lcm(1, 2, · · · , [
2
7
□
このとき命題７より、以下の式 (2) がいえる。
(
)
∞
∑
[ n+1 ]
n − [ n+1
n
n
2 ]
([ i ] − [ 2i ] − [
vp ( n+1 ) =
]) · · · (2) [ 2 ]
p
p
pi
i=1
n+1
n+1
n+1 n+1
n+1
ここで、n − [
] <n−(
− 1) =
, [
]≤
2
2
2
2
2
n+1
[ n+1
]
n
−
[
]
n
2
がいえるから h ≥ 1, 0 < 2h ,
< 1 がいえる。
p
p
ph
[ n+1 ]
n − [ n+1
n
2 ]
よって命題１より、[ h ] − [ 2h ] − [
] = 1 がいえる。
p
p
ph
式 (2) から再び命題１より
∞
∑
[ n+1 ]
n − [ n+1
[ n+1 ]
n − [ n+1
n
n
2 ]
2 ]
([ i ] − [ 2i ] − [
]) ≥ [ h ] − [ 2h ] − [
]
i
h
p
p
p
p
p
p
i=1
= 1 がいえる。したがって式 (1) より、
)
(
n+1
n
vp (lcm(1, 2, · · · , [
]) · n+1 ) ≥ h となる。
2
[ 2 ]
n+1 n+1
と
< ph ≤ n のいずれにせよ
2
2
(
)
n+1
n
vp (lcm(1, 2, · · · , n)) ≤ vp (lcm(1, 2, · · · , [
]) · n+1 ) · · · (3)
2
[ 2 ]
上記より、0 < ph ≤
がいえる。任意の素数 p に対して、式 (3) は成立するから (
)
n
n+1
]) · n+1 を割り切ることが lcm(1, 2, · · · , n) は、lcm(1, 2, · · · , [
2
[ 2 ]
言える。つまり定理１１がいえた。
□
定理１２：n を 2 以上の整数とするとき、以下の不等式が成り立つ。
lcm(1, 2, · · · , n) <
4n
2n
証明：数学的帰納法を用いて証明する。
2 ≤ n ≤ 40 のとき
n = 2 のとき
lcm(1, 2) = 2,
42
=4
2·2
n = 3 のとき
lcm(1, 2, 3) = 6,
43
= 10.66 · · ·
2·3
8
n = 4 のとき
44
= 32
2·4
lcm(1, 2, 3, 4) = 12,
n = 5 のとき
45
= 102.4
2·5
lcm(1, 2, · · · , 5) = 60,
n = 6 のとき
lcm(1, 2, · · · , 6) = 60,
46
= 341.33 · · ·
2·6
lcm(1, 2, · · · , 7) = 420,
47
= 1170.28 · · ·
2·7
n = 7 のとき
8 ≤ n ≤ 9 のとき
lcm(1, 2, · · · , 9) = 2520,
48
= 4096
2·8
より lcm(1, 2, · · · , n) ≤ lcm(1, 2, · · · , 9) <
だから、lcm(1, 2, · · · , n) <
4n
がいえる。
2n
4n
48
≤
2·8
2n
10 ≤ n ≤ 11 のとき
lcm(1, 2, · · · , 11) = 27720,
410
= 52428.8
2 · 10
より lcm(1, 2, · · · , n) ≤ lcm(1, 2, · · · , 11) <
だから、lcm(1, 2, · · · , n) <
4n
がいえる。
2n
410
4n
≤
2 · 10
2n
12 ≤ n ≤ 14 のとき
412
= 669050.66 · · ·
2 · 12
4n
412
≤
より lcm(1, 2, · · · , n) ≤ lcm(1, 2, · · · , 14) <
2 · 12
2n
4n
だから、lcm(1, 2, · · · , n) <
がいえる。
2n
lcm(1, 2, · · · , 14) = 360360,
15 ≤ n ≤ 18 のとき
415
= 35791394.13 · · ·
2 · 15
415
4n
より lcm(1, 2, · · · , n) ≤ lcm(1, 2, · · · , 18) <
≤
2 · 15
2n
4n
がいえる。
だから、lcm(1, 2, · · · , n) <
2n
lcm(1, 2, · · · , 18) = 12252240,
9
19 ≤ n ≤ 23 のとき
419
= 7233629130.10 · · ·
2 · 19
419
4n
より lcm(1, 2, · · · , n) ≤ lcm(1, 2, · · · , 23) <
≤
2 · 19
2n
4n
だから、lcm(1, 2, · · · , n) <
がいえる。
2n
lcm(1, 2, · · · , 23) = 5354228880,
24 ≤ n ≤ 29 のとき
424
= 5864062014805.33 · · ·
2 · 24
424
4n
より lcm(1, 2, · · · , n) ≤ lcm(1, 2, · · · , 29) <
≤
2 · 24
2n
4n
だから、lcm(1, 2, · · · , n) <
がいえる。
2n
lcm(1, 2, · · · , 29) = 2329089562800,
30 ≤ n ≤ 40 のとき
430
= 19215358410114116.26 · · ·
2 · 30
430
4n
より lcm(1, 2, · · · , n) ≤ lcm(1, 2, · · · , 40) <
≤
2 · 30
2n
4n
がいえる。
だから、lcm(1, 2, · · · , n) <
2n
lcm(1, 2, · · · , 40) = 5342931457063200,
となって定理１２は正しい。
2 ≤ n < c のとき、定理１２が正しいと仮定する
(ただし、c は 41 以上の整数) とする。
n = c のとき 定理１１より
(
)
c+1
c
lcm(1, 2, · · · , c) ≤ lcm(1, 2, · · · , [
]) · c+1
2
[ 2 ]
(
)
c+1
c
定理１０より c+1 < 22[ 2 ]−3 がいえるから、
[ 2 ]
(
)
c+1
c+1
c
4[ 2 ]
c+1
]) · c+1 < c+1 · 22[ 2 ]−3
lcm(1, 2, · · · , [
2
[ 2 ]
2[ 2 ]
ここで命題６より、
c+1
c+1
42 2 −1
42[ 2 ]−1
4c
=
c+1 ≤ 2 · 2 c
2c
2 · 2[ 2 ]
2
よって n = c のときも、定理１２は正しいことがわかる。
以上より、定理１２は正しいことが示された。
10
□
7
k ≥ 33 のとき、Sylvester-Schur の定理が成り立
つことの証明
命題１３：n, k, u を n > k, u k ≥ 33 をみたす正の整数でかつ以下の条件を
みたすとする。
(n)
k は u より大きな素因数を持たない。
このとき、以下の不等式が言える。
( )
∏
∏
n
p · ... ·
≤ p·
k
√
1<p≤u
1<p≤ n
∏
√
1<p≤ h n
p · ...
証明：u 以下の素数 p を任意に取る。
ph ≤ n < ph+1 をみたす整数 h をとる。
√
√
pw ≤ n ⇐⇒ p ≤ w n と pw > n ⇐⇒ p > w n がいえるから
(ただし、w は 2 以上の整数とする)
∏
∏
∏
p · . . .) = h がいえる。
vp (
p·
p · ... ·
1<p≤u
√
1<p≤ n
1<p≤
√
h
n
一方、定理８より jp ≤ h だから、
∏
∏
∏
j p ≤ vp (
p·
p · ... ·
1<p≤u
√
1<p≤ n
1<p≤
√
h
n
p · . . .)
がいえる、このことは任意の u 以下の素数 p でいえるから、
( )
∏
∏
∏
n
p·
p · ... ·
p · . . . が、
で割り切れる。
k
√
√
h
1<p≤u
1<p≤ n
1<p≤
n
したがって、命題１３がいえた。
□
命題１４：整数 n, k が、n > k ≥ 33 をみたす正の整数で、かつ以下の条件
をみたすとする。
(n)
k は k より大きな素因数を持たない。
このとき、以下の不等式が言える。
2
k > n3
( )
証明： nk の素因数 p を任意に取る。このとき、p ≤ k が言えることに注意す
ると、命題３および定理８より
( )
∏
k
n
=
pjp ≤ nπ(k) ≤ n 3
k
1<p≤k
( )
n
n
一方、命題５より、
> ( )k がいえるから
k
k
11
n
2k
3
2
< k k よって、k > n 3 がいえた。
以上より、命題１４は示された。
□
2
定理１５：整数 n, k が、n > k, k > n 3 , k ≥ 33 をみたす正の整数とする。
このとき、以下の不等式が言える。
∏
∏
∏
p·
p · ... ·
√
1<p≤ n
1<p≤k
1<p≤
√
h
p · ... <
n
4k √n
·4
2k
証明：命題１４より、2 以上の任意の整数 l に対して、
√
√
1
2
1
l
k = k l > n 3l ≥ n 2l−1 = 2l−1 n
がいえるから、定理１２より
∏
∏
4k
p·
p · ... ·
>
2k
√
1<p≤k
≥
∏
即ち、
1<p≤ k
∏
p·
1<p≤k
1<p≤
∏
∏
√
3
1<p≤k
∏
1<p≤
∏
p·
1<p≤
p · ... ·
n
1<p≤
√
3
≤
∏
1<p≤
√
1<p≤[ n]+1
√
[ n]+1
√
4
p·
n
n
1<p≤
√√
p · ...
k
p · ...
n
∏
1<p≤
∏
1<p≤
√
2h−1
p · ... ·
がいえる。一方、定理１２より
∏
∏
∏
p·
p · ... ·
√
1<p≤ n
√
h
√
n
√
n
p · ... <
2h−1
p · ...
2h
∏
p · ... ·
[ n]+1
1<p≤
√
√
4
√
≤ 4[ n] ≤ 4 n
2([ n] + 1)
∏
∏
即ち、
p·
p · ... ·
4k
· · · (1)
2k
√
h √
p · ...
[ n]+1
<
√
1<p≤ n
√
1<p≤ 2 n
∏
√
1<p≤ 2h n
√
p · ... < 4
n
· · · (2)
がいえる。また式 (1) と式 (2) より、以下がわかる。
∏
∏
∏
4k √n
p·
p · ... ·
p · ... <
·4
2k
√
√
h
1<p≤k
1<p≤ n
1<p≤
n
となることがいえる。以上より、定理１５はいえた。
□
定理１６：整数 n, k が、n > k ≥ 33 をみたす正の整数で、かつ以下の条件
をみたすとする。
(n)
k は k より大きな素因数を持たない。
このとき、以下の不等式が言える。
( )
n
4k √n
·4
<
2k
k
12
証明：
(n)
k
は k より大きな素因数を持たないから命題１３より、
( )
∏
∏
∏
n
≤
p·
p · ... ·
p · . . . · · · (3)
k
√
√
h
1<p≤k
1<p≤ n
1<p≤
n
2
命題１４より、k > n 3 がいえるから、定理１５より
∏
1<p≤k
p·
∏
√
1<p≤ n
p · ... ·
∏
1<p≤
√
h
n
p · ... <
4k √n
· 4 · · · (4)
2k
となることがいえる。したがって、式 (3) と式 (4) より、以下が言える。
( )
n
4k √n
<
·4
k
2k
以上より、定理１６は正しいことが示された。
□
ここで、x の値を下回らない最小の整数を {x} とおくことにする。
命題１７：整数 n, k が、n ≥
373
100 k,
k ≥ 33 をみたすとき、Sylvester-Schur
の定理は成り立つ。
証明：Sylvester-Schur の定理は成り立たないと仮定する。
( )
n
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
=
k
k!
( 373 )
373
{ 100
k} · ({ 373
k}
− 1) · . . . · ({ 373
{ 100 k}
100
100 k} − k + 1)
≥
=
k
k!
また、命題５および命題９より
( 373 ) ( ) 373
{ k} { 373
k} − 1
{ 373 k} − k + 1
{ 100 k}
2k
=
· 100
· 100
· . . . · 100
k
k
2k
2k − 1
k+1
373
k} k
4k { 100
4k 373 k
·(
) ≥
·(
) よって、定理１６より 2k
2k
2k 200
4k 373 k
4k √n
·(
) <
· 4 がいえる。
2k 200
2k
√
√
√
373 k
373
) < 4 n = 22 n 即ち、k log
< 2 n log 2 がいえる。
よって、(
200
200
√
2
2
n log 2
ここで、命題１４より k > n 3 がいえるから、n 3 < 2
log 373
200
log 2 6
373
すなわち、n < (2
373 ) = 121.09 · · · がいえるが、n ≥ 100 k ≥ 123.09
log 200
>
となるから不合理。以上より、命題１７はいえた。
13
□
命題１８：整数 n, k が、329
100 k ≤ n <
373
100 k,
k ≥ 33 をみたすとき、Sylvester-
Schur の定理は成り立つ。
証明：Sylvester-Schur の定理は成り立たないと仮定する。
( )
n
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
=
k!
k
( 329 )
329
{ 329
k}
·
({
k}
− 1) · . . . · ({ 329
{ 100 k}
100
100 k} − k + 1)
≥ 100
=
k
k!
また、命題５および命題９より
( 329 ) ( ) 329
{ 329 k} − k + 1
{ k} { 329
k} − 1
{ 100 k}
2k
=
· 100
· 100
· . . . · 100
k
k
2k
2k − 1
k+1
k}
4k { 329
4k 329 k
· ( 100 )k ≥
·(
) よって、定理１６より 2k
2k
2k 200
4k 329 k
4k √n
·(
) <
· 4 がいえる。
2k 200
2k
√
√
√
329 k
329
よって、(
) < 4 n = 22 n 即ち、k log
< 2 n log 2 がいえる。
200
200
√
100
100
n log 2
n がいえるから、 n < 2
ここで、k >
329
373
373
log 200
log 2 373 2
329
すなわち、n < (2
329 · 100 ) = 107.92 · · · がいえるが、n ≥ 100 k
log 200
>
≥ 108.57 となるから不合理。以上より、命題１８はいえた。
□
≤ n < 329
100 k, k ≥ 33 をみたし、かつ Sylvester-Schur
の定理をみたさない正の整数とする。このとき n ≤ 333 がいえる。
命題１９：n, k を
267
104 k
証明：n の上界を算出する。
( )
n
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
=
k
k!
( 267 )
267
267
{ 267
{ 104 k}
104 k} · ({ 104 k} − 1) · . . . ({ 104 k} − k + 1)
=
≥
k!
k
また、命題５および命題９より
( 267 ) ( ) 267
{ k} { 267
k} − 1
{ 267 k} − k + 1
{ 104 k}
2k
=
· 104
· 104
· . . . 104
k
k
2k
2k − 1
k+1
k}
4k 267 k
4k { 267
· ( 104 )k ≥
·(
) よって、定理１６より 2k
2k
2k 208
4k 267 k
4k √n
·(
) <
· 4 がいえる。
2k 208
2k
√
√
√
267 k
267
) < 4 n = 22 n 即ち k log
< 2 n log 2 がいえる。
よって、(
208
208
>
14
√
100
100
n log 2
n がいえるから、 n < 2
329
329
log 267
208
log 2 329 2
·
すなわち、n < (2
) = 333.60 · · · がいえる
100
log 267
208
ここで、k >
以上より、命題１９はいえた。
□
命題２０：x ≥ 1 のとき下記の関数は単調増加である。
f1 (x) =
4x
x
証明：f1 (x) を x で微分すると
f1′ (x) = 4x ·
x log 4 − 1
log 4 − 1
log 4 − log 3
≥ 4x ·
> 4x ·
>0
x2
x2
x2
よって x ≥ 1 のとき f1′ (x) > 0 がいえる。このことは f1 (x) が x ≥ 1 のとき、
単調増加であることを示している。
□
命題２１：x ≥ 4 のとき下記の不等式が言える。
x3
− 1 − x2 > 0
3
証明：関数 f2 (x) を以下のように取る。
f2 (x) =
x3
− 1 − x2
3
x > 2 のとき、f2 (x) を x で微分すると f2′ (x) = x2 − 2x = x(x − 2) > 0 がい
える。よって x > 2 のとき f2 (x) が単調増加であることがいえる。
したがって、x ≥ 4 のとき、f2 (x) ≥ f2 (4) = 13
3 > 0 がいえる。
以上より、命題２１は正しいことが示された。
□
命題２２：n, k を n ≥ 2k をみたし、かつ Sylvester-Schur の定理をみたさな
(n)
n
k の素因数 p を任意に取ると、p ≤ 3 とな
い正の整数とする。このとき、
る。
証明：命題２２が成立しないと仮定する。
n
となる。また、p は明らかに n 以下である。
3
また、命題２１の仮定より、p ≤ k がいえる。
( )
n
このとき、p ≤ k ≤ n − k < n < 3p だから、vp (
)≤2−2=0
k
( )
n
よって、
が p で割り切れないことがいえるが、これは不合理。
k
このとき、p >
15
以上より、命題２２はいえた。
命題２３：n, k を 2k ≤ n <
267
104 k,
□
k ≥ 50 をみたし、かつ Sylvester-Schur
の定理をみたさない正の整数とする。このとき n ≤ 334 がいえる。
証明：n の上界を算出する。
( )
( )
2k · (2k − 1) · . . . (k + 1)
n
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
2k
≥
=
=
k
k!
k!
k
( )
k
2k
4
がいえる。
また命題９より
>
k
2k
( )
n
の素因数 p を任意にとる。このとき、命題２２より、任意の
k
( )
n
n
の素因数 p に対して、p ≤ がいえるから、命題１４より
k
3
( )
∏
∏
∏
n
p · ...
p·
p · ... ·
≤
k
√
√
n
h
1<p≤[ 3 ]
1<p≤ n
1<p≤
n
1
3
n ≥ 4.64158 · · · > 4 だから、命題２１より n >
2
n
n
n
≥ [ ] > − 1 > n3
3
3
3
n
かつ [ ] ≥ 33 だから、定理１５より
3
n
∏
∏
∏
4[ 3 ] √
p · ... ·
p · ... < n · 4 n
p·
2[ 3 ]
√
√
n
h
1<p≤[ 3 ]
1<p≤ n
1<p≤
n
[n
3]
n
n
√
√
√
4
43
3 43
ここで命題２０より、 n · 4 n ≤ n · 4 n ≤ ·
·4 n
2[ 3 ]
23
2 2k
n
がいえるから、以上の議論より
√
4k
3 43
< ·
·4 n
2k
2 2k
3 n √n
3 89k √
· 4 3 · 4 < · 4 104 · 4 n
2
2
5n
15k
3 √n
したがって、4 89 < 4 104 < · 4
2
√
√
n
3
即ち、 log 2 < 2 n log 2 + log < 2 n log 2 + log 2
8.9
2
√
2
2
よって、n < (8.9 + 8.9 + 8.9) = 334.40 · · · がいえる。
よって、4k <
以上より、命題２３はいえた。
2k ≤ n <
267
104 k,
□
33 ≤ k ≤ 49 の場合は、n <
267
104
· 49 = 125.79 · · · となるこ
とを考慮すると、命題１６、命題１７、命題１８、命題１９、命題２３より、
n ≥ 335 のとき、Sylvester-Schur の定理が成り立つことがわかる。
16
命題２４：n, k を 2k ≤ n ≤ 334, k ≥ 33 をみたすとき、Sylvester-Schur の
定理は成り立つ。
証明：61 から 334 までの素数列、61, 89, 113, 139, 167, 199, 229, 257, 283, 313
を考えれば明らかである。
□
以上より k ≥ 33 のとき、Sylvester-Schur の定理は成り立つことがいえた。
8
6 ≤ k ≤ 32 のとき、Sylvester-Schur の定理が成
り立つことの証明
命題２５：任意の 6 以上 7 以下の整数 k に対して、以下の不等式が成立
する。
4k
7
π(k) ≤
任意の 8 以上 14 以下の整数 k に対して、以下の不等式が成立する。
π(k) ≤
k
2
また、任意の 15 以上 19 以下の整数 k に対して、以下の不等式が成立する。
π(k) ≤
8k
19
また、任意の 20 以上 22 以下の整数 k に対して、以下の不等式が成立する。
π(k) ≤
2k
5
また、任意の 23 以上 28 以下の整数 k に対して、以下の不等式が成立する。
π(k) ≤
9k
23
また、任意の 29 以上 32 以下の整数 k に対して、以下の不等式が成立する。
π(k) ≤
10k
31
証明：k = 6 のとき
πk
3
4
π(k) = 3 かつ、 = = 0.5 < だから正しい。
k
6
7
k = 7 のとき
4
πk
π(k) = 4 かつ、 = = 0.571 · · · だから正しい。
k
7
17
8 ≤ k ≤ 10 のとき
πk
1
π(k) = 4 かつ、 ≤ = 0.5 だから正しい。
k
2
11 ≤ k ≤ 12 のとき
πk
5
1
π(k) = 5 かつ、 ≤
= 0.454 · · · < だから正しい。
k
11
2
13 ≤ k ≤ 14 のとき
πk
6
1
π(k) = 6 かつ、 ≤
= 0.461 · · · < だから正しい。
k
13
2
15 ≤ k ≤ 16 のとき
πk
6
8
π(k) = 6 かつ、 ≤
= 0.4 <
だから正しい。
k
15
19
17 ≤ k ≤ 18 のとき
7
8
πk
= 0.411 · · · <
だから正しい。
π(k) = 7 かつ、 ≤
k
17
19
k = 19 のとき
πk
8
π(k) = 8 かつ、 =
= 0.421 · · · だから正しい。
k
19
20 ≤ k ≤ 22 のとき
πk
2
π(k) = 8 かつ、 ≤ だから正しい。
k
5
23 ≤ k ≤ 25 のとき
πk
9
π(k) = 9 かつ、 ≤
= 0.391 · · · だから正しい。
k
23
26 ≤ k ≤ 28 のとき
πk
9
11
π(k) = 9 かつ、 ≤
= 0.346 · · · <
だから正しい。
k
26
31
29 ≤ k ≤ 30 のとき
πk
10
11
π(k) = 10 かつ、 ≤
= 0.344 · · · <
だから正しい。
k
29
31
18
31 ≤ k ≤ 32 のとき
πk
11
π(k) = 11 かつ、 =
= 0.354 · · · だから正しい。
k
31
よって命題２５はいえた。
□
命題２６：n, k を n ≥ 2k, 6 ≤ k ≤ 7 をみたし、かつ Sylvester-Schur の定理
をみたさないとする。このとき、以下の不等式が言える。
4
k > n7
同様に、n ≥ 2k, 8 ≤ k ≤ 14 をみたし、かつ Sylvester-Schur の定理をみた
さないとする。このとき、以下の不等式が言える。
1
k > n2
同様に、n, k を n ≥ 2k, 15 ≤ k ≤ 19 をみたし、かつ Sylvester-Schur の定理
をみたさないとする。このとき、以下の不等式が言える。
11
k > n 19
同様に、n, k を n ≥ 2k, 20 ≤ k ≤ 22 をみたし、かつ Sylvester-Schur の定理
をみたさないとする。このとき、以下の不等式が言える。
3
k > n5
同様に、n, k を n ≥ 2k, 23 ≤ k ≤ 25 をみたし、かつ Sylvester-Schur の定理
をみたさないとする。このとき、以下の不等式が言える。
14
k > n 23
同様に、n, k を n ≥ 2k, 26 ≤ k ≤ 32 をみたし、かつ Sylvester-Schur の定理
をみたさないとする。このとき、以下の不等式が言える。
20
k > n 31
証明：k の値で場合分けをする。
6 ≤ k ≤ 7 のとき
( )
n
の素因数 p を任意に取る。
k
このとき、p ≤ k が言えるので、命題２５および定理８より
( )
∏
4k
n
=
pjp ≤ nπ(k) ≤ n 7
k
1<p≤k
19
( )
n
n
一方、命題５より、
> ( )k がいえるから
k
k
n
4k
7
4
< k k よって、k > n 7 がいえた。
8 ≤ k ≤ 14 のとき
( )
n
の素因数 p を任意に取る。
k
このとき、p ≤ k が言えるので、命題２５および定理８より
( )
∏
k
n
pjp ≤ nπ(k) ≤ n 2
=
k
1<p≤k
( )
n
n
一方、命題５より、
> ( )k がいえるから
k
k
k
1
n 2 < k k よって、k > n 2 がいえた。
15 ≤ k ≤ 19 のとき
( )
n
の素因数 p を任意に取る。
k
このとき、p ≤ k が言えるので、命題２５および定理８より
( )
∏
8k
n
=
pjp ≤ nπ(k) ≤ n 19
k
1<p≤k
( )
n
n
一方、命題５より、
> ( )k がいえるから
k
k
n
11k
19
11
< k k よって、k > n 19 がいえた。
20 ≤ k ≤ 22 のとき
( )
n
の素因数 p を任意に取る。
k
このとき、p ≤ k が言えるので、命題２５および定理８より
( )
∏
2k
n
=
pjp ≤ nπ(k) ≤ n 5
k
1<p≤k
( )
n
n
一方、命題５より、
> ( )k がいえるから
k
k
n
3k
5
3
< k k よって、k > n 5 がいえた。
23 ≤ k ≤ 25 のとき
( )
n
の素因数 p を任意に取る。
k
このとき、p ≤ k が言えるので、命題２５および定理８より
( )
∏
9k
n
=
pjp ≤ nπ(k) ≤ n 23
k
1<p≤k
( )
n
n
一方、命題５より、
> ( )k がいえるから
k
k
n
14k
23
14
< k k よって、k > n 23 がいえた。
20
26 ≤ k ≤ 32 のとき
( )
n
の素因数 p を任意に取る。
k
このとき、p ≤ k が言えるので、命題２５および定理８より
( )
∏
11k
n
pjp ≤ nπ(k) ≤ n 31
=
k
1<p≤k
( )
n
n
一方、命題５より、
> ( )k がいえるから
k
k
n
20k
31
20
< k k よって、k > n 31 がいえた。
以上より、命題２６は示された。
□
7
7
命題２６より、6 ≤ k ≤ 7 のとき、n < k 4 ≤ 7 4 = 30.12 · · ·
8 ≤ k ≤ 14 のとき、n < k 2 ≤ 142 = 196
19
19
23
23
15 ≤ k ≤ 19 のとき、n < k 11 ≤ 19 11 = 161.71 · · ·
5
5
20 ≤ k ≤ 22 のとき、n < k 3 ≤ 22 3 = 172.73 · · ·
23 ≤ k ≤ 25 のとき、n < k 14 ≤ 25 14 = 197.97 · · ·
31
31
26 ≤ k ≤ 32 のとき、n < k 20 ≤ 32 20 = 215.26 · · ·
がいえるので、以下の命題２７がなりたつことがわかる
命題２７：n, k を 6 ≤ k ≤ 32, 2k ≤ n ≤ 215 をみたすとき、Sylvester-Schur
の定理は成り立つ。
証明：11 から 215 までの素数あるいは 37 以上の素因数を持つ整数からなる
数列 11, 17, 23, 29, 31, 37, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 73, 79, 83, 89, 94, 97, 103, 109
113, 118, 122, 127, 131, 134, 139, 142, 146, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 183
188, 193, 199, 202, 206, 211 を考えれば明らかである。
9
□
k ≤ 5 のとき、Sylvester-Schur の定理が成り立
つことの証明
正の整数 n に対して、D(n) を n の素因数全体からなる集合とする。
命題２８：a, b を次のような正の整数とする。
D(a) の元 p を任意に取るとき、a は p2 で割り切れ、b は p2 で割り切れない。
このとき、任意の正の整数 m に対して、am + b は D(a) の元以外の素因数を
持つ。
21
証明：b が p で割り切れないとき
D(a) の元 p を任意にとる。このとき、am + b ≡ b (mod p) がいえるから
am + b は p で割り切れない。したがって、am + b は D(a) の元以外の素因数
q を持つことがいえる。
b が p で割り切れるとき
D(a) の元 p を任意にとる。a, b は正の整数 s, t を用いて a = ps, b = pt と
かける。このとき、s は p で割り切れ、t は p で割り切れないことに注意す
る。sm + t ≡ t
(mod p) がいえるから、sm + t は p で割り切れない。し
たがって、sm + t は D(a) の元以外の素因数 q を持つことがいえる。また、
am+b = p(sm+t) だから、q は am+b の素因数でもある。いずれにせよ、am+b
は D(a) の元以外の素因数 q を持つことがいえた。
□
k = 1 の場合は、明らかに Sylvester-Schur の定理が成り立つ。
命題２９：k = 2 のとき、Sylvester-Schur の定理が成り立つ。
証明：n, n − 1 のいずれかは奇数であるから、奇数の方が題意をみたすこと
は明らかである。
□
命題３０：k = 3, 4 のとき、Sylvester-Schur の定理が成り立つ。
証明：集合 {n − 2, n − 1, n} から任意に n′ をとる。
n′ を 36 で割ったときの余りを考える。命題２８を考慮すると、n′ が 2, 3 以
外の素因数を持たない可能性があるのは、n′ を 36 で割ったときの余りが 4, 9
で割り切れる場合、即ち n′ が 4, 9 で割り切れる場合のみである。
ここで、n−2, n−1, n には 4, 9 の倍数が高々1 個しかないから、集合 {n−2, n−
1, n} には、2, 3 以外の素因数を持つ数、即ち題意をみたす整数が少なくとも 1
つあることがいえた。
□
命題３１：k = 5 のとき、Sylvester-Schur の定理が成り立つ。
証明：集合 {n − 4, n − 3, n − 2, n − 1, n} から任意に n′ をとる。
n′ を 900 で割ったときの余りを考える。命題２８を考慮すると、n′ が 2, 3, 5
以外の素因数を持たない可能性があるのは、n′ を 900 で割ったときの余りが
4, 9, 25 で割り切れる場合、即ち n′ が 4, 9, 25 で割り切れる場合のみである。
ここで、n − 4, n − 3, n − 2, n − 1, n には 9, 25 の倍数が高々1 個、そして 4 の
倍数は高々2 個しかないから、集合 {n − 4, n − 3, n − 2, n − 1, n} には 2, 3, 5
以外の素因数を持つ数、即ち題意をみたす整数が少なくとも 1 つあることが
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いえた。
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参考にしたサイト
http://www.renyi.hu/~p_erdos/1934-01.pdf
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