(1) x ≧ 1 - SUUGAKU.JP

1
x = 1 で定義された関数
log x
x2
f(x) =
について，以下の問いに答えよ．
(1) x = 1 における f(x) の最大値とそのときの x の値を求めよ．
(2) (1) で求めた x の値を a とする．曲線 y = f(x) と 2 直線 y = 0，x = a で囲まれた図形を D とする．D
の面積を求めよ．
(3) (2) の図形 D を y 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ．
（熊本大学 2016 ）
2
r を正の実数とする．数列 fan g を
an =
Z
n¼
0
e¡rx sin x dx (n = 1; 2; 3; Ý)
と定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1) an+1 ¡ an を求めよ．
(2) fan g の一般項を求めよ．
(3) lim an を r を用いて表せ．
n!1
(4) (3) で求めた r の式を f(r) とおく． lim rf(r) を求めよ．
r!+0
（熊本大学 2015 ）
3
¼
1
(0 < x <
) と直線 y = a の交
sin x cos x
2
点の x 座標を ®; ¯ (® < ¯) とする．以下の問いに答えよ．
a を a > 2 である実数とする．xy 平面上の曲線 C : y =
(1) tan ® および tan ¯ を a を用いて表せ．
(2) C と x 軸，および 2 直線 x = ®，x = ¯ で囲まれた領域を S とする．S の面積を a を用いて表せ．
(3) S を x 軸の周りに回転して得られる立体の体積 V を a を用いて表せ．
（熊本大学 2014 ）
4
a を正の実数とする．xy 平面上の曲線 C : y = eax の接線で，原点を通るものを ` とし，C と ` および y
軸で囲まれた領域を S とする．以下の問いに答えよ．
(1) S を x 軸の周りに回転して得られる立体の体積 V1 を求めよ．
(2) S を y 軸の周りに回転して得られる立体の体積 V2 を求めよ．
(3) V1 = V2 となるときの a の値を求めよ．
（熊本大学 2014 ）
5
半径 1，中心角 µ (0 < µ < ¼) の扇形に内接する円の半径を f(µ) とおく．以下の問いに答えよ．
(1) f(µ) を求めよ．
(2) 0 < µ < ¼ の範囲で f(µ) は単調に増加し，f0 (µ) は単調に減少することを示せ．
(3) 定積分
Z
¼
2
¼
3
f(µ) dµ
を求めよ．
（熊本大学 2013 ）
6
定数 a は 0 < a < 1 をみたすとする．曲線 C : y = (x ¡ 1)2 と C 上の点 (a; (a ¡ 1)2 ) における接線 ` に
ついて，以下の問いに答えよ．
(1) 接線 ` の方程式を求めよ．
(2) 曲線 C と接線 ` および 2 直線 x = 0; x = 1 とで囲まれた 2 つの部分の面積の和 S(a) の最小値とそのと
きの a の値を求めよ．
(3) 曲線 C と 2 直線 x = 0; y = 0 とで囲まれ，接線 ` の上側にある 2 つの部分の面積の和 T(a) の最小値と
そのときの a の値を求めよ．
（熊本大学 2012 ）
7
2 つの関数 f(x) =
Z
x
0
t
e (sin t + cos t) dt と g(x) =
Z
x
0
et (cos t ¡ sin t) dt について，以下の問いに答
えよ．
(1) f(x) と g(x) を求めよ．
(2) f(n) (x) と g(n) (x) をそれぞれ f(x) と g(x) の第 n 次導関数とする．
(a) n = 2 のとき， f(n) (x) および g(n) (x) を，f(n¡1) (x) と g(n¡1) (x) を用いて表せ．
(b) ff(n) (x)g2 + fg(n) (x)g2 を求めよ．
1
P
e2a
の和を求めよ．
(c) 実数 a について，
(n) (a)g2 + fg(n) (a)g2
n=1 ff
（熊本大学 2012 ）
8
正の定数 a に対して，関数 f(x) を
f(x) =
Z
0
¼
2
j sin t ¡ ax cos tj dt
とおく．以下の問いに答えよ．
(1) f(x) を求めよ．
(2) f(x) の最小値とそのときの x の値を求めよ．
（熊本大学 2012 ）
9
xyz 空間内の 3 点 P(0; 0; 1)，Q(0; 0; ¡1)，R(t; t2 ¡ t + 1; 0) を考える．t が 0 5 t 5 2 の範囲を動
くとき，三角形 PQR が通過してできる立体を K とする．以下の問いに答えよ．
(1) K を xy 平面で切ったときの断面積を求めよ．
(2) K の体積を求めよ．
（熊本大学 2011 ）
10 以下の問いに答えよ．
(1) p を 0 でない定数とする．関数 f(x) = ae¡x sin px + be¡x cos px について，f0 (x) = e¡x sin px とな
るように，定数 a; b を定めよ．
Z t2
x
(2) S(t) =
e¡x sin
dx (t Ë 0) とおく．このとき，S(t) を求めよ．
t
0
S(t)
(3) lim
の値を求めよ．
t3
t!0
（熊本大学 2010 ）

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