スライド

v2.0 Aug.2015
1
縦波と横波の違いは？
(実体波)
縦波と横波の簡単な実験
波の進行方向（縦方向）
地震P波（Primary：第1波）
＝縦波（粗密波）
地震S波（Secondary：第2波）
＝横波
2
波の進行方向（縦方向）
縦方向の振動
z
z
z
横方向の
振動
z
http://ja.wikipedia.org/wiki/ より引用
水面波＝横波
音波＝縦波
（空気の粗密）
vc
r
vc
r
r
速度低下
3
Horn antenna
Luneberg lens
Waveguide array
Cellular phone
Aperture
Microwave oven
干渉
誘電体   0  r 波長短縮
屈折
（定在波）
干渉（定在波）
干渉（定在波）
反射
反射
r
電磁波の性質（その２）
焦点
（周波数は一定）
屈折
透過
誘電体層
z
東京理科大学サイエンス夢工房 ``楽しむ物理実験’’ p.42, 朝倉書店より引用
誘電体レンズ
光速、直進
z
電磁波＝横波
電磁波の性質（その１）
0
z
（電磁界は進行方向と垂直）
霜田光一, 伊藤信隆, 中込八郎 ``波動の実験’’ p.24, 講談社より引用
真空
z
回折
r
反射
透過
※ 本来の入射波と別の波が重なることを干渉
と呼び、その干渉縞のことを定在波と呼ぶ
藤田, 電波のお話, ``RFワールド’’, No.2 pp.111-113, CQ出版
吸収
損失
透過
衝立  r  1
r
干渉
（定在波）
干渉
（定在波）
誘電体球
散乱
http://www.cn.kagawa-nct.ac.jp/~kusama/study/cem/fdtd/fdtd_2dtm/fdtd_2dtm.html
4
5
電磁波の性質（その３）
ドップラ (1803-1853) プラハ工科大学（現チェコ工科大学）教授で、
オーストリアの物理学者。二重星の色に関してドップラ効果を論じ、
後に音響現象にも当てはまることを指摘した。
S1の波面
S2の波面
波長が
短くなる
（縮まる）
t
O2
S1
r1
c
v
O1
r  vt  v
 v
f 2  f 0 1  
 c
2015/4/8 朝日新聞より引用
波長が
長くなる
（伸びる）
r1
v
S2
r1
c
ドップラー効果
 v
f1  f 0 1  
 c
重力レンズ効果
マクスウェルの方程式とは？
H3
H1
http://www.astroarts.co.jp/news/2014/10/23quasar/index-j.shtml
http://sendaiuchukan.jp/event/news/2009eclipse/soutaisei/soutaisei.html
7
方程式を解こうとする空間
H3
H5

E2
E3
J1 E1
E4


  E   j H



  H  j E
E3
E6
Wave propagation
E, H に関するベクトル
連立一次偏微分方程式
E5

H2
Electric Source
問．禿び、禿げの意味は？
H4
H6
Wave propagation
方程式を解こうとする空間
一般相対性理論による
空間の歪みのイメージ
（重力場と電磁場の相互作用）
吉村，倉持，安居院，``図解入門よくわかる最新電波と周波数の基本としくみ,’’ pp.65-66, 秀和システム
Magnetic Source
電磁波の性質（その４）
6
ベクトル波動方程式の導出

 D
 H 
t
拡張アンペア
 (1) の法則


B
 E  
t
ファラデーの
 (2) 法則
(1)式の回転をとると、
(2)式の回転をとると、
ベクトル公式と(2)式より、
ベクトル公式と(1)式より、



    H  0   E
t




  B 
2
   H   H  0   
t  t 


磁束密度に関するガウスの法則より、

2 
 2 H   0 0 2 H
t

2 
2
 H   0 0 2 H  0
t


 2 H   2 0 0 H  0

 2
2
 H  k H  0

 j
t
ベクトル磁界波動方程式



    E   0   H
t




  D 
2
   E   E   0 
t  t 

電荷を含まないガウスの法則より、

2 
 2 E   0 0 2 E
t
 

2 
2
 j
 E   0 0 2 E  0
t
t
 

2
2
 E   0 0 E  0

 2
2
E

k
E
0




ベクトル電界波動方程式


8
9
伝搬方向の波動方程式の一般解
デカルト座標
e  cos(kz)  j sin(kz)
  jkz
e  cos(kz)  j sin(kz)
jkz
円筒座標
デカルト座標（時間項含む）
e jkz e j t  cos( t  kz)  j sin( t  kz)
  jkz j t
e e  cos( t  kz)  j sin( t  kz)
後退波
前進波
（平面波）
H n(2) (kr) 第2種n次ハンケル関数
J n (kr) n次ベッセル関数
N n (kr) n次ノイマン関数
円筒座標（時間項含む）
 H n(1) (kr)  J n (kr)  i N n (kr) 後退波
 (2)
 H n (kr)  J n (kr)  i N n (kr) 前進波
（発散円筒波）
hn(2) (kr) 第2種n次球ハンケル関数
jn (kr) n次球ベッセル関数
nn (kr) n次球ノイマン関数
球座標
(1)
 hn (kr)  jn (kr)  i nn (kr)
 (2)
 hn (kr)  jn (kr)  i nn (kr)
後退波
前進波
（発散球面波）
 H n(1) (kr)e j t   J n (kr)  i N n (kr)  e j t
 (2)
j t
j t
 H n (kr)e   J n (kr)  i N n (kr)  e
スカラー波動方程式（デカルト座標）


2 H  k 2 H  0
ベクトル磁界波動方程式
 

 
2
 2  2  2   H x xˆ  H y yˆ  H z zˆ   k  H x xˆ  H y yˆ  H z zˆ   0



x
y
z


 2
2
 Ek E 0
ベクトル電界波動方程式
 2
2
2 
2
 2  2  2   Ex xˆ  E y yˆ  Ez zˆ   k  Ex xˆ  E y yˆ  Ez zˆ   0

x

y

z


2
2
2
スカラー磁界波動方程式
スカラー電界波動方程式
球座標（時間項含む）
 

 
2
 2  2  2  Hx  k Hx  0



x
y
z

 磁界x成分
 2
2
2 
2
 2  2  2  Ex  k Ex  0
 x y z  電界x成分
 hn(1) (kr)e j t   jn (kr)  i nn (kr)  e j t
 (2)
j t
j t
 hn (kr)e   jn (kr)  i nn (kr)  e
 2
2
2 
2
 2  2  2 Hy  k Hy  0
 x y z  磁界y成分
 2
2
2 
2
 2  2  2  Ey  k Ey  0
 x y z  電界y成分
 2
2
2 


Hz  k 2Hz  0
 2
2
2 
 x y z  磁界z成分
 2
2
2 


E  k 2 Ez  0
 2
2
2  z
 x y z  電界z成分
野本, “ワイヤレス基礎理論,” pp. 28-37, 電子情報通信学会, 2003
本郷, “電磁界の基礎と計算法,” pp.21-26, 信山社サイテック, 1993
シェルクノフ, 森脇訳, “電磁波論,” pp. 44-59, 岩波書店, 1962
2
直交した2つの関数をオイラーの公
式で結びつける点で平面波と類似
波動方程式の一般解
2
11
2
y
 2 Ex
 k 2 Ex  0
2
z
Exの一般解は、
Ex  E  e jkz  E  e jkz


j
j Ex
H
yˆ
 E 

 z
一様

0
x
Hyの一般解は、
Hy 
E

e  jkz 
E

e  jkz




0
x
一様
Ex
一様

0
x
x

0
一様 x
z
12
波長と位相速度
簡単のために、z方向に進む平面波でEx成分のみ考えると、
 2
2
2 
2
 2  2  2  Ex  k Ex  0
 x y z 
10
t  t0
t  t 0  t
Re  e jt0 e  j  z 
 cos t0   z 
Re  e j ( t0 t ) e  j  z 
 cos  (t0  t )   z 
z 0  z
A B
C
z
z0

z0  
z
Wave equation
方程式もステップアップ
13
【上級】
情報量・難易度・智慧・厳密性・応用性

 1 2 E
E  2 2  0
c t
The Laplacian of E minus one over c squared times the second
partial of E with respect to t equals zero.
ものには順序。
まず簡単なもの
から、少しずつ
難しいものへ
ラプラス方程式
 2  0
ポアソン方程式
 2  
波動方程式，
ヘルムホルツ方程式
（同次，または斉次）
波動方程式（非同次）
R
ds
いきなり上級者向けの本を読
んでも歯が立ちません。誰で
もやる気を失います。
学生
独立
社会人
親
師匠
16
A, B, C, D, E, F, G をx, yの関数または定数とする未知関数φ(x, y, t)
に関する2階線形偏微分方程式において，
 2
 2
 2


C 2  D
E
 F  G  0
A 2 B
x
xy
y
x
y

E ( x, y, z, t )  Ex xˆ  E y yˆ  Ez zˆ
Ei  Ei ( x, y, z, t )
where i  x, y, z
スカラー形

A( x, y, z, t )  Ax xˆ  Ay yˆ  Az zˆ
スカラー形
生徒


 (r )
偏微分方程式の種類
15

0
 2 Ai  k 2 Ai   J i
where i  x, y, z
小児
V
1
4 0
 2 Ex
 k 2 Ex  0
2
x



2 A  k 2 A   J
d2y
 6x
 2  0
dx 2

dy
 2  
 6x
0
dx
【中級】
【初級】  x  2 y  3

2 x  y  4
x23
幼児
 ( x, y , z )


 2 E   2  E  0


 2 E  k 2 E  0
 1 2 E
E  2 2  0
c t
2
 Ei  k 2 Ei  0
where i  x, y, z



2 A  k 2 A   J
※ 与えられた問題が解けないということは、解読に必要な要素
（パズルのピース）が不足しているだけです。それらを補えるのは
自分です
x2  2 x  3
保江 “数学版これを英語で言えますか？” p.258, BLUE BACKS
電磁気学によく出る偏微分方程式
14
主要部（最高階の項）
※ 2次方程式の一般形
Ax 2  Bxy  Cy 2  Dx
主要部の判別式の値によって，
次の3種類の型に分類される
 B  4 AC  0
 2
 B  4 AC  0
 2
 B  4 AC  0
2
楕円型 (elliptic)
主要部
 Ey  F  0
y 2  4 px
放物線の標準形
2
2
A  0, B  0, C  1
x
y
 2  1 楕円の標準形
2
a
b
A  1, B  0, C  1
放物型 (parabolic) x 2 y 2
 2  1 双曲線の標準形
2
A  1, B  0, C  1
双曲型 (hyperbolic) a b
山崎， ``偏微分方程式の数値解法入門,’’ p.10-13, 森北出版, 1993.
宮腰， ``高校数学＋α,’’ pp.149-160, 共立出版,
2004.
偏微分方程式の例
積分方程式の種類
17
未知関数φ(x) に関する線形積分方程式において，
ラプラス方程式
 2  2

0
x 2 y 2
ポアソン方程式
 2  2

 f  x, y 
x 2 y 2
A  C 1
熱伝導方程式
  2
※ 物理・工学に

t x 2
頻繁に現れるの
波動方程式は、定数係数線
形偏微分方程式
2
 2
2  
v

t 2
x 2
A  1, E  1
山崎， ``偏微分方程式の数値解法入門,’’ p.10-13, 森北出版, 1993.
潮， ``よくわかる微分方程式,’’ p.10-15, 秀和システム, 2007.
B 2  4 AC  4  0
楕円型

b
a
積分範囲が固定（定積分）かつ，
未知関数φ(x)が積分記号の内側
核関数（境界条件が含まれている）
K ( x, t )  (t ) dt  f ( x)
A  C 1
B 2  4 AC  4  0

x
a
A  v 2 , C  1
B  4 AC  4v
b
  K ( x, t )  (t ) dt   ( x)  f ( x)
a
放物型
B 2  4 AC  0
2
楕円型
2
双曲型
積分範囲が固定（定積分）かつ，
未知関数φ(x)が積分記号の内と外
K ( x, t )  (t ) dt  f ( x)
積分範囲の一方が変数かつ，
未知関数φ(x)が積分記号の内側
x
積分範囲の一方が変数かつ，
未知関数φ(x)が積分記号の内と外
  K ( x, t )  (t ) dt   ( x)  f ( x)
a
f(x)=0の場合は同次または，非斉次
ジョージ・アルフケン， ``フーリエ変換と変分法,’’ pp.135-136, 講談社, 2002.
18

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