東大直前練習用問題

入学試験問題 ๓
数学 (理科)
(配点 120 点)
平成 27 年 2 月 24 日 14 時 – 16 時 30 分
注意事項
1. 試験開始の合図があるまで, この問題冊子を開いてはいけません。
2. この問題冊子は全部で 20 ページあります。落丁, 乱丁または印刷不鮮明の箇
所があったら, 手を挙げて監督者に知らせなさい。
3. 解答には, 必ず黒色鉛筆 (または黒色シャープペンシル) を使用しなさい。
4. 2 枚の解答用紙が渡されますが, 青色刷りの第 1 解答用紙には, 第 1 問∼第 3
問について, 茶色刷りの第 2 解答用紙には, 第 4 問∼第 6 問について解答しな
さい。
5. 解答用紙の指定欄に, 受験番号 (表面 2 箇所, 裏面 1 箇所), 科類, 氏名を記
入しなさい。指定欄以外にはこれらを記入してはいけません。
6. 解答は, 必ず解答用紙の指定された箇所に記入しなさい。
7. 解答用紙の解答欄に, 関係ない文字, 記号, 符号などを記入してはいけません。
また, 解答用紙の欄外の余白には, 何も書いてはいけません。
8. この問題冊子の余白は, 計算用紙に使用してもよいが, どのページも切り離し
てはいけません。
9. 解答用紙は, 持ち帰ってはいけません。
10. 試験終了後, 問題冊子は持ち帰りなさい。
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2
計算用紙
(切り離さないで用いよ。)
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3
第 1 問
xy 平面上に曲線 C : y = x2 と C 上の相異なる 3 点 A(1, 1), P(α, α2 ), Q(β, β 2 )
がある。ただし, α < β とする。2 点 P, Q が
̸
PAQ = 90◦ を満たしながら動くとき
以下の問いに答えよ。
(1) PQ の中点を M とするとき, M の軌跡を求めよ。
(2) 点 M の y 座標が最小のときの点 P, Q の座標を求めよ。
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4
計算用紙
(切り離さないで用いよ。)
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5
第 2 問
数列 {an } の第 n + 1 項 an+1 は次のように第 n 項 an から決まる。
 a
n

( an が 3 の倍数のとき)

 3
an+1 =
an − 1 ( an を 3 で割ると 1 余るとき)


 a + 1 ( a を 3 で割ると 2 余るとき)
n
n
また, a を正の整数として a1 = a のとき, an = 1 となる最小の自然数 n を f (a)
とし, f (a) = k となる a の個数を xk とする。
(1) xk+2 を xk+1 , xk で表せ。
(2) xn を求めよ。
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6
計算用紙
(切り離さないで用いよ。)
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7
第 3 問
xy 平面上に 4 点 P(cos θ, 0), Q(p, q), R(r, s), S(0, sin θ) を頂点とする正方形 PQRS
>
>
>
>
< π
がある。ただし, 0 <
= θ = 2 , p = 0, q = 0, r = 0, s = 0 とする。また, θ が 0 から
π
まで変化したときの頂点 Q, R の軌跡をそれぞれ CQ , CR とおく。以下の問いに
2
答えよ。
(1) p, q, r, s を θ の式で表せ。
(2) CQ , CR , x 軸, y 軸で囲まれる部分を D とするとき, D の面積を求めよ。
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8
計算用紙
(切り離さないで用いよ。)
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9
第 4 問
正六角形の頂点に 1 から 6 までの番号を順につける。また, n 個のサイコロを振り,
出た目を番号とするすべての頂点にしるしをつけるものとする。このとき, しるしの
ついた三点を頂点とする直角三角形が存在する確率を pn とする。
(1) p3 , p4 を求めよ。
(2) lim
n→∞
1
log(1 − pn ) を求めよ。
n
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10
計算用紙
(切り離さないで用いよ。)
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11
第 5 問
2 つの数列 {an }, {bn } は, a1 = b1 = 1 および, 関係式
an+1 = 2an bn , bn+1 = 2an2 + bn2
を満たすものとする。このとき次の問いに答えよ。
(1) n >
= 3 のとき, an は 3 で割り切れるが, bn は 3 で割り切れないことを示せ。
(2) n >
= 2 のとき, an と bn は互いに素であることを示せ。
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12
計算用紙
(切り離さないで用いよ。)
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13
第 6 問
底面の半径 1, 高さ
√
6 の円柱がある。この円柱の上底面上に点 P, 下底面上に点
√
Q がある。2 点 PQ が PQ = 2 2 となるように動くとき線分 PQ の通過する部分の
体積を求めよ。
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14
計算用紙
(切り離さないで用いよ。)
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15
計算用紙
(切り離さないで用いよ。)
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16
計算用紙
(切り離さないで用いよ。)
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17
計算用紙
(切り離さないで用いよ。)
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18
計算用紙
(切り離さないで用いよ。)
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19
計算用紙
(切り離さないで用いよ。)
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20
東大入試模擬問題解答
第1問
xy 平面上に曲線 C : y = x2 と C 上の相異なる 3 点 A(1, 1), P(α, α2 ),
Q(β, β 2 ) がある。ただし, α < β とする。2 点 P, Q が ̸ PAQ = 90◦ を満たしな
がら動くとき以下の問いに答えよ。
(1) PQ の中点を M とするとき, M の軌跡を求めよ。
(2) 点 M の y 座標が最小のときの点 P, Q の座標を求めよ。
ᚐ‒‒ሉ
(1) ̸ PAQ = 90◦ であることから,
α2 − 1 β 2 − 1
·
= −1
α−1
β−1
(α + 1)(β + 1) = −1
㻽
······ ⃝
1
αβ + α + β + 2 = 0
が成り立つ.
㻹
一方, M(X, Y ) とおくと,
X=
α+β
α2 + β 2
, Y =
2
2
㻼
㻭
であるから,
······ ⃝
2
α + β = 2X
(α + β) − (α + β )
2
2
(2X) − 2Y
=
2
= 2X 2 − Y
2
2
2
αβ =
······ ⃝
3
これらを ⃝
1 に代入して,
(2X 2 − Y ) + 2X + 2 = 0
∴ Y = 2X 2 + 2X + 2
······ ⃝
4
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また, ⃝,
2 ⃝
3 を満たす異なる実数 α, β が存在する実数 X, Y の条件は, 2 次方
程式
t2 − 2Xt + (2X 2 − Y ) = 0
······ ⃝
5
が異なる 2 実数解をもつことであり, これは,
21
D
= X 2 − (2X 2 − Y ) > 0
4
∴ Y > X 2
であるが, ⃝
4 はこれを満たす. (2X 2 + 2X + 2 = X 2 + (X + 1)2 + 1 > X 2 )
また, ⃝
\ 1, β =
\ 1),
5 が 1 を解にもたないことから (∵ α =
1 − 2X + (2X 2 − Y ) =
\ 0
2
Y =
\ 2X − 2X + 1
である. 2X 2 + 2X + 2 = 2X 2 − 2X + 1 を解くと, X = −
1
である.
4
以上より, 点 M の軌跡は,
1
となるから, ここ
4
では X =
\ −
曲線 y = 2x2 + 2x + 2 (
x=
\ −
1
4
)
· · · · · · (答)
である.
(
)2
1
3
(2) 放物線の方程式は, y = 2 x +
+
となるから, 点 M の y 座標が最小
2
2
(
)
1 3
になるのは, (x, y) = − ,
のときで, このとき,
2 2
(
)2
1
3
α + β = −1, αβ = 2 −
−
= −1
2
2
となるから, α, β は, 2 次方程式
t2 + t − 1 = 0
の 2 解である. これを解いて,
√
−1 ± 5
t=
2
したがって,
(
(
√ )
√ )
√
√
−1 − 5 3 + 5
−1 + 5 3 − 5
P
,
, Q
,
2
2
2
2
· · · · · · (答)
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22
第2問
数列 {an } の第 n + 1 項 an+1 は次のように第 n 項 an から決まる。
 a
n

( an が 3 の倍数のとき)


3
an+1 =
an − 1 ( an を 3 で割ると 1 余るとき)


 a + 1 ( a を 3 で割ると 2 余るとき)
n
n
また, a を正の整数として a1 = a のとき, an = 1 となる最小の自然数 n を
f (a) とし, f (a) = k となる a の個数を xk とする。
(1) xk+2 を xk+1 , xk で表せ。
(2) xn を求めよ。
ᚐ‒‒ሉ
(略解) (1) f (a) = k となる a の集合を Ak とし, Ak の要素で 3 の倍数である要素の個
数を yk , 3 の倍数以外の要素の個数を zk とおくと, xk = yk + zk であり,
yk+1 = yk + zk
zk+1 = 2yk
が成り立つ。ここから,
(答)
xk+2 = xk+1 + 2xk
を得る。
(2) xn =
2n − (−1)n
3
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23
第3問
xy 平面上に 4 点 P(cos θ, 0), Q(p, q), R(r, s), S(0, sin θ) を頂点とする正方形
>
>
>
< π
>
PQRS がある。ただし, 0 <
= θ = 2 , p = 0, q = 0, r = 0, s = 0 とする。また, θ
π
が 0 から
まで変化したときの頂点 Q, R の軌跡をそれぞれ CQ , CR とおく。
2
以下の問いに答えよ。
(1) p, q, r, s を θ の式で表せ。
(2) CQ , CR , x 軸, y 軸で囲まれる部分を D とするとき, D の面積を求めよ。
ᚐ‒‒ሉ
y
㻾
㻿
㻽
x
㻻㻼
(
)
− cos θ
であるから,
sin θ
−→ −→ −→
OQ = OP + PQ
(
) (
)
cos θ
sin θ
=
+
0
cos θ
(
)
cos θ + sin θ
=
cos θ
−
→
(1) PS =
よって,
p = cos θ + sin θ, q = cos θ
一方,
· · · · · · (答)
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−→ −→ −→
OR = OS + SR
(
) (
)
0
sin θ
=
+
sin θ
cos θ
24
(
=
sin θ
sin θ + cos θ
)
よって,
· · · · · · (答)
r = sin θ, s = sin θ + cos θ
(2) Q(x, y) とおくと,
{
x = cos θ + sin θ
y = cos θ
である.
dx
dy
= − sin θ + cos θ,
= − sin θ
dθ
dθ
···
π
4
···
dx
dθ
+
0
−
dy
dθ
−
θ
(x, y)
(0)
(1, 1)
↘
(π)
2
−
(
√
1
2, √
2
)
↙
(1, 0)
となるから, 点 Q の軌跡は次のようになる.
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同様に, R(x, y) とおくと,
{
x = sin θ
y = sin θ + cos θ
25
であるから, R の軌跡は次のようになる.
したがって, 次の図の斜線部の面積を求めるとよい.
π < < π
< π
求める面積は, Q の軌跡の 0 <
= θ = 4 の部分を (x1 , y1 ), 4 = θ = 2 の部分
を (x2 , y2 ), R の座標を (x3 , y3 ) とおくと,
∫ 1
∫ √2
∫ √2
y3 dx3 +
y2 dx2 −
y1 dx1
∫
0
1
π
2
=
(sin θ + cos θ) cos θ dθ +
0
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1
∫
π
4
cos θ(− sin θ + cos θ) dθ
0
26
∫
−
∫
π
2
=
π
4
cos θ(− sin θ + cos θ) dθ
π
2
{(sin θ + cos θ) cos θ + cos θ(− sin θ + cos θ)} dθ
0
∫
π
2
=
(1 + cos 2θ) dθ
0
=
π
2
· · · · · · (答)
[ 注 ] Q の軌跡の方程式は x2 −2xy+2y 2 = 1, R の軌跡の方程式は 2x2 −2xy+y 2 = 1
である. 次の図のようになる.
Q の軌跡
R の軌跡
第4問
正六角形の頂点に 1 から 6 までの番号を順につける。また, n 個のサイコロ
を振り, 出た目を番号とするすべての頂点にしるしをつけるものとする。このと
き, しるしのついた三点を頂点とする直角三角形が存在する確率を pn とする。
(1) p3 , p4 を求めよ。
(2) lim
n→∞
1
log(1 − pn ) を求めよ。
n
1987 年第 6 問
ᚐ‒‒ሉ
(1) p3 =
1
11
, p4 =
3
18
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8 · 3n − 9 · 2n
である。ここから,
6n
1
log(1 − pn ) = − log 2
lim
n→∞ n
(2) 1 − pn =
を得る。
27
· · · · · · (答)
第5問
2 つの数列 {an }, {bn } は, a1 = b1 = 1 および, 関係式
an+1 = 2an bn , bn+1 = 2an2 + bn2
を満たすものとする。このとき次の問いに答えよ。
(1) n >
= 3 のとき, an は 3 で割り切れるが, bn は 3 で割り切れないことを
示せ。
(2) n >
= 2 のとき, an と bn は互いに素であることを示せ。
ᚐ‒‒ሉ
(1) (I) a1 = b1 = 1 より,
a2 = 2a1 b1 = 2, b2 = 2a12 + b12 = 3
a3 = 2a2 b2 = 2 · 2 · 3 = 12
b3 = 2a22 + b22 = 2 · 22 + 32 = 17
であるから, a3 は 3 の倍数であり, b3 は 3 の倍数ではない。
(II) ak が 3 の倍数であり, bk は 3 の倍数ではないとする。
このとき,
ak = 3l, bk = 3m ± 1 (l, m は整数)
とおくと,
ak+1 = 2ak bk = 2 · 3l(3m ± 1) = 6l(3m ± 1)
bk+1 = 2ak2 + bk2 = 2(3l)2 + (3m ± 1)2
= 18l2 + (9m2 ± 6m + 1)
= 3(6l2 + 3m2 ± 2m) + 1 (以上, 複号同順)
より, ak+1 は 3 の倍数で bk+1 は 3 の倍数ではない。
以上より, 数学的帰納法から, 3 以上のすべての自然数 n に対して, an は 3
の倍数であり, bn は 3 の倍数ではない。 ■
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(2) b1 = 1 は奇数, bk+1 = 2ak2 + bk2 より bk が奇数であれば bk+1 も奇数である。
したがって, 数学的帰納法より, すべての自然数 n に対し, bn は奇数である。
次に, n >
= 2 のとき an と bn が互いに素であることを数学的帰納法で示す.
28
(I) a2 = 2, b2 = 3 より a2 と b2 は互いに素である.
(II) ak と bk は互いに素であるとする。
ここで, ak+1 と bk+1 は互いに素でないとする。このとき, ak+1 と bk+1 は素
数の公約数をもつから, それを p とおくと, bk+1 は奇数であることから p >
=3
であり,
ak+1 = pa, bk+1 = pb (a, b は整数)
とおける. これを ak+1 = 2ak bk に代入すると,
pa = 2ak bk
となるから, p >
= 3 も考えて ak , bk の少なくとも一方は p の倍数である. 仮に
ak が p の倍数であるとして, ak = pc (c は整数) とおくと, bk+1 = 2a2k + b2k よ
り
pb = 2(pc)2 + bk2
bk2 = p(b − 2pc2 )
より,
bk2 は p の倍数
p は素数だから,
bk は p の倍数
となり, これは ak と bk が互いに素であることに反する。
次に, bk が p の倍数であるとする bk = pd (d は整数)
とおくと bk+1 = 2ak2 + bk2 より,
pb = 2ak2 + (pd)2
∴ 2ak2 = p(b − d2 )
よって, 2ak2 は p の倍数であるが, p は p >
= 3 を満たす素数であったから, ak が
p の倍数となる. しかしこれは, ak と bk が互いに素であることに反する。
以上より, ak+1 と bk+1 は互いに素である。
これで, 数学的帰納法より n >
= 2 を満たすすべての自然数 n に対し, an と
bn が互いに素であることが示された。 ■
[注]
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(2) では, n = 1 でも an と bn は互いに素であるから, 「n >
= 1 に対し an と bn は
互いに素である」ことを示してもよい。
29
底面の半径 1, 高さ
√
第6問
6 の円柱がある. この円柱の上底面上に点 P。下底面上に
√
点 Q がある。2 点 PQ が PQ = 2 2 となるように動くとき線分 PQ の通過す
る部分の体積を求めよ。
ᚐ‒‒ሉ
点 P から下底面におろした垂線の足を P′ とすると
√ √
√
√
QP′ = (2 2)2 − ( 6)2 = 2
である。
[1]
下底面の中心を O とすると
π
̸ QOP′ =
2
である. したがって線分 PQ の通過部分を K とおくと K の外側の面は xyz 空間に
おいて 2 点
√
A(1, 0, 0), B(0, 1, 6)
を両端とする線分 AB を z 軸のまわりに回転させたときに通過する曲面と一致する。
√
6 で囲まれた部分の体積を V1 とする。
(
)
k
k
線分 AB と平面 z = k の交点を R 1 − √ , √ , k とおくと R と z 軸の距離
6
6
は
√(
)2 (
)2
k
k
1− √
+ √
6
6
この曲面と 2 平面 z = 0, z =
であるから
∫
V1 =
0
=
√
6
{(
)2 (
)2 }
k
k
π
1− √
+ √
dk
6
6
√
2 6
π
3
となる。
[2]
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30
線分 PQ が円柱の中心軸を含む平面上にある
とき, 右の図の太線内は通過しない。
√
√ √
この太線内は, 底円の半径 2−1, 高さ 6− 3
の円すいであるから, この円すい一つあたりの
体積 V2 は
√
√
1 √
π( 2 − 1)2 × ( 6 − 3)
3
√
3 √
=
π( 2 − 1)3
3
√
3 √
=
(5 2 − 7)π
3
V2 =
である。
以上より, 求める体積を V とおくと
)
(
14 √
8√
6+
3 π
V = V1 − 2V2 = −
3
3
· · · · · · (答)
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31

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