8 6月9日

6月9日
8
8.1
授業のまとめ
補題 8.1 p ∈ Z は素数とする. f, g ∈ Z[X] について f g ∈ (p) なら f ∈ (p) または g ∈ (p) である.
定義 8.2 f が Z 上既約多項式であるとは，すなわち f = gh ⇒ g または f が Z[X] の可逆元が成立つことをいう．
定義 8.3 (原始多項式) Z[X] の元 f = an X n + · · · + a1 X + a0 が原始多項式とは, gcd(a0 , a1 , · · · , an ) = 1 であることを
いう. Z[X] の既約元は, 必ず原始多項式であることに注意. （逆はもちろん成り立たない. )
補題 8.4 f, g ∈ Z[X], g は原始多項式とする. f = gh なる h ∈ Q[X] が存在すれば, h ∈ Z[X] である.
8.2
宿題
宿題 8.5 次の命題を証明せよ．f ∈ Z[X] が Z 上既約なら, f は Q 上既約である. （ヒント：f = gh なる g, h ∈ Q[X] で
Q[X] の非可逆元が存在したとする．αg ∈ Z[X] なる整数 α をなるべく小さく取り，原始多項式に帰着せよ．
）
宿題 8.6 Z[X] における素因数分解について，次の定理を証明しよう．
f ∈ Z[X] に対し, Z[X] の既約元（＝素数，既約な原始多項式) p1 , · · · , pn ∈ Z[X] (Z 上既約多項式) が存在して,
f = p1 · · · pn
となる. 既約元 q1 , · · · , qm ∈ Z[X] が
p1 · · · pn = q1 · · · qm
をみたせば, n = m かつ, 適切に並べ替えれば, 各 i = 1, · · · , n に対して ci pi = qi なる Z[X] の可逆元 ci が存在する.
1. Q[X] では素因数分解が可能なので, f = φ1 · · · φn なる Q[X] の既約元 φ1 , · · · , φn が存在する. 適当な αi ∈ Q と
原始多項式 fi ∈ Z に対して φi = αi fi とする．α = α1 · · · αn とおく．以下を示せ．
(1) fi は Z[X] の既約元である.
(2) αf1 · · · fn−1 ∈ Z[X].
(3) α ∈ Z.
(4) f は Z[X] における既約元の積として表せる.
2. 素数 p1 , · · · , pm , q1 · · · , qr と Z 上既約な原始多項式 f1 , · · · , fn , g1 , · · · , gs が p1 · · · pm f1 · · · fn = q1 · · · qr g1 · · · gs を
みたすとする. 以下を示せ．
(1) f1 , · · · , fn , g1 , · · · , gs は Q[X] の既約元である.
(2) n = s かつ並べ替えて fi = ci gi なる ci ∈ Q − {0} が存在する.
(3) ci ∈ Z.
(4) ci は ±1.
37
(5) 簡単のため fi = gi
(1 ≥ i ≥ n) とすると, m = r, 並べ替えて pj = ±qj .
宿題 8.7 次の多項式は Q 上で既約か.
1. X 4 + 2
2. X 4 − 2
3. X 4 + 4
4. X 4 − X + 1
宿題 8.8 次の多項式は既約か.
1. X 3 − X + 2 ∈ Z3 [X] （ヒント:可約だとすれば？）
2. X 3 − X + 2 ∈ Z5 [X]
3. X 3 − X + 2 ∈ Z[X] （ヒント：
（1）, (2) との関連を考えてみよう．
）
4. X 3 − X + 2 ∈ Q[X]
38

Download Report