微分方程式、差分方程式、g-差分方程式の多項式解 ∼ Risa/Asirを用い

微分方程式、差分方程式、q-差分方程式の多項式解
∼ Risa/Asir を用いて計算しよう ∼
勝島義史 (東大数理)
可積分系ウィンターセミナー 2015
KKR 湯沢ゆきぐに
2015 年 2 月 2 日
今回の目標
• 線形の常微分方程式, 差分方程式, q-差分方程式について, 多項式解の
存在する条件を考える.
• 計算機を用いて解の構成を実演する.
1. 微分方程式の場合
以下の方程式を考える.
N
∑
dn f
Lf (x) =
an (x) n (x) = 0.
dx
n=0
(1)
ここで, an (x) は多項式
an (x) =
Nn
∑
an,k xk ∈ C[x]
k=0
とする. このとき, 微分作用素 L の単項式 xj への作用を考えると
(2)
Lxj =
N
∑
pn (j)an (x)xj−n
(3)
n=0
となる. ここで, pn (j) は xj を n 回微分したものの係数
{
pn (j) =
j(j − 1) · · · (j − n + 1) (j ≥ n),
0
(j < n)
である. 微分方程式の多項式解については, 以下が知られている.
(4)
∆ = {(n, k) ∈ N2 |an,k ̸= 0} とし, 整数 M を
M = max {k − n} ∈ Z
(5)
(n,k)∈∆
と取る.
bL (ν) =
N
∑
an,n+M pn (ν)
(6)
n=0
とする. このとき, J 次以下の多項式の空間を VJ として
事実 1 bL (ν) = 0 の自然数根のうち, 最大のものを ν0 とすると,
Ker(L : C[x] → C[x]) ∼ Ker(L : Vν0 → Vν0 +M )
が成り立つ. (線形同型, というよりも, 同値という方が気分が良い.)
(7)
ようは, 多項式解を見つけるには, bL を求めて, その自然数根を計算すれ
ば, あとは有限次元の空間で, 線形写像の様子を見ればよい. 具体的には,
Vν0 の基底を {1, x, . . . , xν0 } と取り, Vν0 +M の基底を {1, x, . . . , xν0 +M }
と取り, L の表現行列の基本変形を適当に計算すれば良い.
L(1, x, . . . , xν0 ) = (1, x, . . . , xν0 +M )AL
AL
−→
(8)
(階段行列)
行基本変形
解の次元は, AL のランク r が ν0 以下の場合, dim(Ker) = ν0 + 1 − r とわ
かる. r = ν0 + 1 の時は, 多項式解は存在しない.
計算代数キタコレ (ktkr)！
同様なことを, 差分方程式, q-差分方程式についても考えてみよう.
2. q-差分方程式の場合
σq : f (x) 7→ f (qx), q は不定元, とする. 考える線形 q-差分方程式を
Lq f (x) =
N
∑
an (x)σqn f (x) = 0
(9)
n=0
とする. ここで an (x) は,
an (x) =
Nk
∑
an,k xk ∈ C[x, q]
(10)
k=0
の形であるとする. σq は, ある意味でオイラーオペレータのような振る舞い
をする. つまり,
σq xj = q j xj
(11)
と, 単項式の次数は変えないで, ちょっと (x に関して) 定数倍する役割
を果たす. ここで, M = maxn Nn = max{k|an,k ̸= 0} とし, bL (Λ) =
∑N
n=0
an,M Λn とすると, 以下が成り立つ.
事実 2 bL (Λ) = 0 の根 Λj (q), j = 1, . . . , N を考える. Λj (q) = q νj とな
る νj ∈ N の最大値 maxj νj を ν0 と書くと,
Ker(Lq : C(q)[x] → C(q)[x]) ∼ Ker(Vν0 → Vν0 +M )
(12)
となる. ここで Vj は C(q) 係数の, j 次以下の x の多項式の空間を表す.
結局有限次元の線形代数で片がつく (もっとも, 代数方程式 bL (Λ) = 0 の根
の計算が大変なことになっているが).
3. 差分方程式 (+1) の場合
線形差分方程式
Lf (x) =
N
∑
an (x)σ n f (x) = 0,
(13)
n=0
σ : f (x) 7→ f (x + 1),
an (x) =
Nn
∑
an,k xk ∈ C[x]
k=0
を考える. 方程式の degree を
M=
max
n=0,1,...,N
degx (an (x))
(14)
とする. 差分方程式 (13) の決定多項式 D(Λ) を
D(Λ) =
N
∑
an,M Λn
(15)
n=0
とすると, 以下が成り立つ.
事実 3 差分方程式 (13) の多項式解の次元を d ≥ 1 とする. このとき,
D(Λ) は Λ = 1 を根にもち, その重複度は d 以上である. 特に, 多項式解が
存在しないならば, D(1) ̸= 0 である.
決定方程式 D(Λ) = 0 の Λ = 1 での重複度を m とする. このとき,
事実 4 差分作用素 L =
∑N
n=0
n
n
an (x)σ に現れる作用素 σ を
∑m
np dp
p=0 p! dxp
に置き換えた, 微分作用素 L̃ を考える. 作用素 L̃ について, bL̃ = 0 を考え,
その最大の自然数根を ν とする. 微分作用素 L̂ を, L の σ n を
∑ν
n p dp
p=0 p! dxp
に置き換えたものとして定める. このとき,
Ker(L : C[x] → C[x]) ∼ Ker(L̂ : C[x] → C[x])
(16)
が成立する.
差分方程式の多項式解の空間を, 微分方程式の多項式解の空間で書き換えら
れた. あとは事実 1 をもとに計算すれば, 差分方程式の多項式解が求まる.
4. Risa/Asir を用いた多項式解の計算
私のホームページの, Risa/Asir 練習場
http :// www . ms .u - tokyo . ac . jp /~ katsushi / Ris a _As i r_ r e n s h u . html
に置いてある, q-pol.rr を Risa/Asir で読み込んで使う. 使う関数は
• kt difkerpol(L,X,Dx) 微分方程式 Lf (x) = 0 の多項式解の空間の
基底を与える. L は考える微分作用素, X は独立変数, Dx は微分作
用素
d
dx .
• kt qkerpol(L,X,Q,S) q-差分方程式 Lf (x) = 0 の多項式解の空間
の基底を与える. L は考える q-差分作用素, X は独立変数, Q は不定
元 (q など), S は q-シフトのシンボル (sq に対応するもの).
• kt difckerpol(L,X,Dx,S) 差分方程式 Lf (x) = 0 の多項式解の空
間の基底を与える. L は考える差分作用素, X は独立変数, Dx は X
に関する微分作用素のシンボル, S は +1 のシフト作用素.
例
超幾何微分方程式
[
]
d2
d
x(1 − x) 2 + {γ − (α + β + 1)x}
− αβ f (x) = 0
dx
dx
(17)
は, 例えば β が負の整数の場合, 多項式解を持つ. ここでは, β = −3 として
多項式解を計算する.
注 1 計算は多項式環の中で行う. Risa/Asir は多項式を決められた順序で
勝手に並べ変える. 微分作用素は “正規化” された形で入力することが望ま
しい. 微分作用素の各項は, an (x) × (σ n or
dn
dxn )
の形であると仮定して解
を構成している. 例えば, Risa/Asir では s ∗ x = x ∗ s と解釈されるが, 差
分作用素環の計算では σx = (x + 1)σ となる. σx について考えたければ
(x + 1) ∗ s または s ∗ (x + 1) と書くべきである. 差分作用素のかけ算は, 定
義すればできるが, まだ作っていない.
注 2 q-pol.rr には, 行基本変形や, 微分または差分作用素の表現行列を求
める関数を定義してある (Risa/Asir にもこのような関数は組み込まれてい
るが, 変形したものを元の行列と同じにする仕様があって, 使いにくい). マ
ニュアルはまだ作っていない.
今後の予定: サマーセミナーでは差分作用素の Addition のようなものを定義した
が, まだ Risa/Asir で計算するまでに至っていない (やればできる).
差分方程式で, middle convolution に対応するものを作りたいが, 試
作品の意味付けがまだできていない. 差分方程式の代数的な解析をも
う少し考えていきたい.
参考文献
•「D 加群と計算数学（すうがくの風景）」大阿久俊則, 2002 年, 朝倉
書店.
常微分方程式の多項式解の計算はこの本を参考にした.

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