(1) 関数 f(x) = x が x = 0

1
以下の問いに答えよ．
(1) 関数 f(x) = x が x = 0 において微分可能でないことを微分の定義に基づいて示せ．
(2) y = x x のグラフの概形を描け．
(3) m は自然数とする．関数 g(x) = xm x が x = 0 において微分可能であるか微分可能でないかを理由を
つけて答えよ．
（大阪府立大学 2014 ）
2
p
定数 c は 1 < c < 2 をみたすとし，0 5 x < 1 で定義された 2 つの関数
C
f(x) = x +
1 ¡ x2 ;
C
g(x) = cf(x) ¡ x 1 ¡ x2
を考える．g(x) の導関数を g0 (x) と表す．
(1) f(x) の最大値と最小値を求めよ．また，それらを与える x の値も求めよ．
(2) g0 (x) = h(x)(c ¡ f(x)) をみたす関数 h(x) を求めよ．
(3) g(x) の最大値を求めよ．ただし，最大値を与える x の値を求める必要はない．
（大阪府立大学 2014 ）
3
x = 0 で定義された関数
1
fn (x) = xa ¡ xa+ n
を考える．ただし，a は正の実数とし，n は自然数とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) 区間 [0; 1] において，fn (x) の最大値を与える x の値を xn とおく．xn を求めよ．
(2) 極限 lim xn を求めよ．
n!1
（大阪府立大学 2014 ）
4
p
2 つの曲線 C1 : y = log x および C2 : y = ax を考える．ただし，a は正の定数である．このとき，以下
の問いに答えよ．
(1) 曲線 C1 上の点 (t; log t) における接線 `1 の方程式，および曲線 C2 上の点 (s;
p
as) における接線 `2 の
方程式を求めよ．ただし，t > 0; s > 0 である．
(2) 曲線 C1 と曲線 C2 の両方に接する直線が存在しないための a の値の範囲を求めよ．
（大阪府立大学 2013 ）
5
以下の問いに答えよ．
(1) a; c を実数の定数とする．a > 0 のとき，方程式 2x3 ¡ 3ax2 = c の相異なる実数解の個数を求めよ．
(2) 3 次関数 y = x3 ¡ 3x のグラフを G とする．x 座標が正である座標平面上の点 P(a; b) を通る G の接線
が 3 本存在するための，a; b の条件を求めよ．
（大阪府立大学 2013 ）
6
2
a を正の定数とする．実数の変数 x の関数 f(x) = (x + a)e2x について，以下の問いに答えよ．
2
(1) 一階導関数 f0 (x) はある多項式 g(x) により f0 (x) = g(x)e2x と表され，二階導関数 f00 (x) はある多
2
項式 h(x) により f00 (x) = h(x)e2x と表される．g(x); h(x) を求めよ．
(2) 関数 f(x) が極大値と極小値をもつための a の値の範囲を求めよ．
(3) a が (2) で求めた範囲にあるとする．関数 f(x) が極大値をとる x の値を ® とし，極小値をとる x の値を
¯ とする．このとき，f00 (°) = 0 となる ° が ® と ¯ の間に存在することを示せ．
（大阪府立大学 2012 ）
7
Za
¼
0<a<
とし，f(t) =
sin x ¡ sin t dx とおく．また，f(t) の 0 < t < a における最小値を
2
0
g(a) とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) 0 < t < a のとき，f(t) を求めよ．
(2) g(a) を求めよ．
g(a)
(3) lim
を求めよ．
a2
a!+0
（大阪府立大学 2016 ）
8
実数全体を定義域とする関数 f(x); g(x) をそれぞれ
f(x) = ex ;
g(x) =
ex+1 + e¡x¡1
2
で定める．曲線 y = f(x) 上の点 (t; et ) における法線に関して，直線 x = t を対称移動した直線を ` と
する．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) ` の方程式を求めよ．
(2) ` は曲線 y = g(x) に接することを示し，その接点の x 座標を求めよ．
(3) (2) で求めた接点を P とする．` と曲線 y = f(x)，および P を通り y 軸に平行な直線で囲まれた部分の
面積を S(t) とする．t が実数全体を動くとき，S(t) の最小値を求めよ．
（大阪府立大学 2015 ）
9
0 < x 5 2¼ において定義された関数 h(x) =
sin x
について，以下の問いに答えよ．
x
(1) h(x) の最小値を与える x がただ一つ存在することを示せ．
(2) h(x) の最小値を与える x の値を b とおく．次の定積分を求めよ．
Z
b
¼
(3) b は
x2 h(x) dx
3
17
¼<b<
¼ をみたすことを示せ．
12
2
（大阪府立大学 2014 ）
10 関数 fn (x) (n = 1; 2; Ý) を
f1 (x) = x;
e
fn (x) = x +
2
Z
1
0
fn¡1 (t)ex¡t dt
(n = 2; 3; Ý)
によって定める．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) f2 (x) を求めよ．
Z1
(2) an =
fn (t)e¡t dt とおく．n = 2 のとき，an を an¡1 で表せ．
0
(3) fn (x) を求めよ．
（大阪府立大学 2013 ）

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