解析 II 中間テスト（2015 年 6 月 15 日） 1 枚目 学籍番号 氏名 点数 平均点 35.93 点 最高点 100 点 1 次の 問題 に関する 回答 は間違っている. どこが間違っているか指摘し，正しい解答を作成せよ(注 1) . (15 点) x 2 y2 問題 極限 lim が存在するかどうか調べ，存在する場合は極限値を求めよ. (x,y)→(0,0) x2 + y4 √ 2 y2 x3 x 回答 曲線 y = x に沿って (x, y) を原点に近づけると, xx2 +y 4 = x2 +x2 = 2 → 0 ((x, y) → (0, 0) のとき) とな √ 2 y2 x2 ×4x 4x3 4 る. 一方, 曲線 y = 2 x に沿って (x, y) を原点に近づけると, xx2 +y 4 = x2 +4x2 = 5x2 = 5 x → 0 ((x, y) → (0, 0) の とき) となる. したがって, 2 通りの近づけ方をした時に同じ値に近づくことがわかるため, 極限値は 0, すな x2 y2 = 0 となる. わち, lim (x,y)→(0,0) x2 + y4 √ 2 y2 x2 ×4x 4x3 4 解答例 曲線 y = 2 x に沿って (x, y) を原点に近づけると, xx2 +y 4 = x2 +16x2 = 17x2 = 17 x → 0 ((x, y) → (0, 0) のとき) が正しい(注 2) . また, 2 通りの近づけ方をした時に同じ値に近づくだけでは他の近づき方を考慮して いないので極限があるともないとも言えない. したがって，つぎのように修正する. ヒントにある不等式から, 0≤ はさみうちの原理から, x 2 y2 x 2 y2 ≤ = y2 → 0 x 2 + y4 x2 lim (x,y)→(0,0) x 2 y2 = 0. x 2 + y4 ((x, y) → (0, 0) のとき). x 2 − y2 が存在するかどうか調べ, 存在する場合はその極限値を求めなさい.(10 点) (x,y)→(0,0) x2 + y2 2 2 2 解答例 直線 y = 0 ( x 軸 ) に沿って (x, y) を原点に近づけると, xx2 −y = xx2 = 1 に近づく. 一方, 直線 x = 0 ( +y2 2 極限 lim −y −y y 軸 ) に沿って (x, y) を原点に近づけると, xx2 +y 2 = y2 = −1 に近づく. 2 通りの近づけ方をした時に異なる値 x 2 − y2 は存在しない. に近づくので, 極限 lim (x,y)→(0,0) x2 + y2 2 2 2 ヒント： 不等式 x2 + y4 ≥ x2 が成り立つ. ここは単なる出題者の計算ミスです. この部分を指摘してくれていれば 3 点，指摘していなくても本質ではないので減点は しないことにします. (注 1) (注 2) 3 関数 f (x, y) = cos(x + y) について以下の問いに答えなさい.(30 点) (1) f x (0, 0) と fy (0, 0) を求めよ. (2) f (x, y) の剰余項を含めて 2 次までの有限テイラー展開を求めなさい. (3) f (x, y) は原点において全微分可能であることを示しなさい. (4) 曲面 z = f (x, y) 上の点 (0, 0, 1) における接平面の方程式を求めなさい. 解答例 (1) f x (x, y) = − sin(x + y), fy (x, y) = − sin(x + y) より, f x (0, 0) = fy (0, 0) = 0. (2) テイラーの定理から, f (x, y) = f (0, 0) + x f x (0, 0) + y fy (0, 0) + 1 2 (x f xx (θx, θy) + 2xy f xy (θx, θy) + y2 fyy (θx, θy) 2! をみたす 0 < θ < 1 が存在する. f xx (x, y) = f xy (x, y) = fyy (x, y) = − cos(x + y) であるので, 1 f (x, y) = 1 − (x + y)2 cos θ(x + y) 2 (0 < θ < 1) と展開される. (3) (2) の結果から, 1 (h, k) = f (h, k) − f (0, 0) − h f x (0, 0) − k fy (0, 0) = − (h + k)2 cos θ(h + k) 2 をみたす 0 < θ < 1 が存在する. h = r cos ϕ, k = r sin ϕ とおくと(注 3) , (h, k) 1 r2 (cos ϕ + sin ϕ)2 cos θ(h + k) = − 0≤√ ≤ 2r → 0 h2 + k2 2 r (r → 0 のとき). (h, k) = 0 となるので, f (x, y) は原点で全微分可能である. √ (h,k)→(0,0) h2 + k2 (4) z − 1 = f x (0, 0)x + fy (0, 0)y = 0 より, z = 1 である. はさみうちの原理より, (注 3) lim | cos ϕ + sin ϕ| ≤ 1 + 1 = 2, | cos θ(h + k)| ≤ 1 を用いて評価をする. 解析 II 中間テスト（2015 年 6 月 15 日） 2 枚目 学籍番号 氏名 4 f (x, y) は C 2 級関数であるとする. x = eu cos v, y = eu sin v のとき, zuu + zvv = (x2 + y2 )(z xx + zyy ) が成り 立つことを確かめなさい. ただし, zuu = (z xx eu cos v + z xy eu sin v)eu cos v + z x eu cos v + (zyx eu cos v + zyy eu sin v)eu sin v + zy eu sin v であることは確かめずに使用して良いものとする. (20 点) 解答例 連鎖律より, zv = z x xv + zy yv . さらに連鎖律を用いて v で偏微分すると, zvv = (z xx xv + z xy yv )xv + z x xvv + (zyx xv + zyy yv )yv + zy yvv = (z xx (−eu sin v) + z xy eu cos v)(−eu sin v) + z x (−eu cos v) + (zyx (−eu sin v) + zyy eu cos v)eu cos v + zy eu (− sin v) となる(注 4) . 問題文にある zuu と足し合わせると, zuu + zvv = z xx e2u (cos2 v + sin2 v) + zyy e2u (cos2 v + sin2 v) = e2u (z xx + zyy ). 一方, x2 + y2 = e2u であるので, zuu + zvv = (x2 + y2 )(z xx + zyy ) が得られる. 5 f (x, y) = x3 + 3x2 + 6xy + 2y2 の極値をすべて求めなさい. (15 点) 解答例 はじめに, 極値をとる点の候補を求める. そのためには, 2 0 = f x (x, y) = 3x + 6x + 6y ➀ 0 = fy (x, y) = 6x + 4y = 0 ➁ を解けばよい. ➀ より y = − 23 x. これを ➀ に代入すると x(3x − 3) = 0 となる. よって, 極値をとる点の候補 は (x, y) = (0, 0), (1, − 23 ) である. 次に, 極値の判定を行う. f xx (x, y) = 6x + 6, f xy (x, y) = 6, fyy (x, y) = 4 であるから, D(x, y) = 36 − 4(6x + 6) = 12(1 − 2x). (i) D(0, 0) = 12 > 0 より f (0, 0) は極値ではない. (ii) D(1, − 23 ) = −12 < 0 および f xx (1, − 23 ) = 12 > 0 より, f (1, − 23 ) = − 21 は極小値となる. (注 4) 問題文にある zuu も同様にして計算されたものである. xy(2x2 +xy+y2 ) ((x, y) , (0, 0) のとき) x2 +2y2 6 f (x, y) = に対して, fyx (0, 0) を求めよ. (10 点) 0 ((x, y) = (0, 0) のとき) f (0, h) − f (0, 0) 0−0 解答 fy (0, 0) = lim = lim = 0. h→0 h→0 h h f (h, k) − f (h, 0) h(2h2 + hk + k2 ) 2h3 また, h , 0 に対して, fy (h, 0) = lim = lim = 2 = 2h. k→0 k→0 k h2 + 2k2 h fy (h, 0) − fy (0, 0) 2h よって, fyx (0, 0) = lim = lim = 2. h→0 h→0 h h
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