平 成 2 6 年 度 修 士 論 文 要 旨 ヒューマン・ロボティクス領域 6625009 漆原 巧治 Acrobot の重心角に着目した出力零化と完全な線形化に関する研究 1 序論 3 入力の数が一般化座標数よりも少ないシステムは劣駆動 システムと呼ばれている.劣駆動システムの代表例として 2 リンク劣駆動ロボットが大きく取り上げられている [1]. 山 北ら [2] は,第 1 関節を非駆動,第 2 関節を駆動関節とす る 2 リンクロボットいわゆる Acrobot に対し重心角に着目 した出力零化制御を行い,Acrobot の運動量が一定のとき, 制御則の特異点曲線を示しているが,制御中にその角運動 量が変化するため,制御則の特異点曲線を示すことは困難 である. 一方,完全な線形化ができない Acrobot に対して,斎藤 ら [3] は時間軸変換を用いることで,重心角を出力とした Acrobot の完全な線形化が可能なことを示している.しか し入力変換に存在しうる特異点については言及していない. そこで本研究では,Acrobot の重心角に着目した出力零 化と完全な線形化について研究を行い,その制御則に存在 する特異点曲線について解析する.出力零化における結果 については紙面の都合上,本論を参照されたいが,本稿で は,Acrobot の時間軸変換を用いた完全な線形化について の結果を示す. 2 時間軸変換を用いた完全な線形化 完全な線形化とは,非線形系を非線形の状態変数変換と 入力変換によって線形系に変換し,線形制御理論で得られ た成果を利用しようとするものである [1]. しかし,完全な 線形化が可能な条件は非常に厳しく,その適用できない例 は多く,Acrobot もその一つである.ここでは,非線形系 である Acrobot に対して時間軸変換を用いることで完全な 線形化 [3] を行う. 状態変数を x = [x1 , x2 , x3 , x4 ]T = [q1 , q2 , q̇1 , q̇2 ]T と定 義すると,式 (1) は次式で表わされる. ẋ = f (x) + g(x)u (2) 実際の時間軸 t に対して,新たな時間軸 τ を dt = s(x) = M11 (q) dτ (3) と定義する [3].ただし M11 は M 行列の (1, 1) 成分である. 式 (2) は式 (3) を用いて次式に書き直せる. dx = s(x)f (x) + s(x)g(x)u dτ 準備知識 (4) 次に出力関数は次式で表される. ∫ q2 M12 (λ) σ(x) = q1 + dλ M11 (λ) 0 Fig. 1 に示す Acrobot を考える. (5) ここで式 (5) は重心角 [1] と呼ばれるもので,Acrobot 全体 の重心回りの回転角速度を積分したものである.式 (5) を 用いて,新たな状態変数 z = [z1 , z2 , z3 , z4 ]T を次式で定 義する. zi = Li−1 sf σ ; i = 1, · · · , 4 ただし,Lsf σ は Lie 微分 (sf に沿った σ の微分) を表す. 新たな入力を v とし,入力変換を u= v − Lsf z4 Lsg z4 (6) とすると,時間軸を τ , 入力を v ,状態変数を z とするシス テムは次式で表せる [3]. dz = Az + N v dτ Fig. 1: Acrobot Acrobot の運動方程式は次のように表せる. M (q)q̈ + H(q, q̇) + G(q) = Bu T (1) T ただし,B = [0 , 1] ,q = [q1 , q2 ] を表し, [ ] α1 + α2 + 2α3 cos q2 α2 + α3 cos q2 M (q) = α2 + α3 cos q2 α2 [ ] −α3 (2q̇1 + q̇2 ) q̇2 sin q2 H(q) = 2 α3 q̇1 sin q2 [ ] −β1 sin q1 − β2 sin (q1 + q2 ) G(q) = −β2 sin (q1 + q2 ) である. ここで, 2 2 α1 = m1 lc1 + m2 l1 + I1 2 α2 = m2 lc2 + I2 , α3 = m2 l1 lc2 β1 = (m1 lc1 + m2 l1 )g, β2 = m2 lc2 g g は重力加速度である. 0 0 A= 0 0 4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 , N = 0 1 0 1 (7) (8) 特異点の解析 入力変換 (6) において Lsg z4 (q) = 0 となる特異点が存在 するかについて解析する.まず, Lsg z4 (q) = − 3 M11 Λ(q) |M (q)| (9) が得られる.ただし, Λ(q) = β1 cos q1 (α2 + α3 cos q2 ) −β2 (α1 + α3 cos q2 ) cos (q1 + q2 ) +2α3 sin q2 (β1 sin q1 + β2 sin (q1 + q2 )) (10) であり,α1 , α2 , α3 , β1 , β2 は機械パラメータによって決まる 正の定数である.ここで Acrobot は M11 > 0 であるので Λ(q) = 0 のとき,Lsg z4 = 0 が成り立つ.次に,式 (??) を sin q1 , cos q1 についてまとめると次式が得られる. π/2 (11) q1 [rad] Λ(q) = Γ(q2 ) sin q1 + Ψ(q2 ) cos q1 π ただし, Γ(q2 ) = (3α3 β2 cos q2 + 2α3 β1 + α1 β2 ) sin q2 0 −π/2 (12) Ψ(q2 ) = −3α3 β2 cos2 q2 + (α3 β1 − α1 β2 ) cos q2 + (α2 β1 + 2α3 β2 ) −π −π (13) −π/2 0 q2 [rad] π/2 π これより次の定理が得られる. 定理 機械パラメータが (α1 − α3 ) β2 = (α3 − α2 ) β1 (14) Fig. 2: Curves of singular points not satisfy equation 14th を満たさないとき,式 (6) は次式の特異点を持つ. q1 = kπ − tan−1 Ψ(q2 ) Γ(q2 ) π (15) π/2 Ψ(q2 ) kπ − tan−1 , q2 ̸= (2n + 1)π Γ(q2 ) q1 = 任意値, q2 = (2n + 1)π q1 [rad] ただし,k = 0, ±1, ±2, .... 機械パラメータが式 (14) を満 たすとき,式 (6) は次式の特異点を持つ. 0 −π/2 (16) −π −π ただし,n = 0, ±1, ±2, .... 証明 Γ(q2 ) = 0 かつ Ψ(q2 ) = 0 が成り立つための必要十 分条件は式 (14) かつ cos q2 = −1 が成り立つことである こと [4] から,機械パラメータが式 (14) を満たさないとき, Λ(q) = 0 は sin(q1 − ϕ) = 0 と等価である.ただし,ϕ は式 (15) の右辺である.以下は,機械パラメータが式 (14) を満 たすとする.cos q2 = −1, すなわち,q2 = (2n + 1)π, 成立 する場合と成立しない場合を分けて考えると,式 (6) は式 (16) の特異点を持つことが示せる. 注:式 (14) を満たす Acrobot はその Up–Down あるいは Down–Up 平衡点における線形近似モデルが不可制御であ る.また, 定理から,機械パラメータに依存せず,式 (6) に 以下の特異点が存在することがいえる. { q1 = (2ξ + 1)π/2, ξ = 0, ±1, ±2, ... (17) q2 = ηπ, η = 0, ±1, ±2, ... 5 数値例 ここで,定理で示した特異点曲線を図に示す.まず,Acrobot の機械パラメータが,式 (14) を満たさない場合の 特異点曲線,式 (15) を Fig. 2 に示す.機械パラメータは Spong[5] の値として次のような値を用いた.m1 = 1.0 kg, m2 = 1.0 kg,l1 = 1.0 m,l2 = 2.0 m,lc1 = 0.5 m, lc2 = 1.0 m,I1 = 1/12 kg・m2 , I2 = 1/3 kg・m2 次に,機械パラメータが,式 (14) を満たさない場合の 特異点曲線,式 (16) を Fig. 3 に示す.このような機械パ ラメータとして論文 [4] を参考にし次のような値を用いた. m1 = 1.0 kg,m2 = 1.0 kg,l1 = 6.0 m,l2 = 2.0 m,lc1 = 3.0 m,lc2 = 1.0 m,I1 = 3.0 kg・m2 , I2 = 1/3 kg・m2 Fig. 2,Fig. 3 より2種類の特異点曲線が共に真上平衡 点を挟む形で特異点曲線が存在していることがわかる.し たがって特異点曲線の外側からの真上平衡点への安定化制 御を行う場合特異点曲線に触れる.また,内側からでも真 上平衡点への安定化制御において特異点曲線に触れないと は言えないので,数値シミュレーションによる検証等が必 要である.数値シミュレーションの結果については本論を 参照されたい. −π/2 0 q2 [rad] π/2 π Fig. 3: Curves of singular points satisfy equation 14th 6 結論 本研究では,時間軸変換を用いた Acrobot の完全な線形化 において,その入力変換における特異点について,Acrobot の 2 つのリンク角度と機械パラメータによる特異点曲線を 解析的に与えた.また,数値例を用いて機械パラメータ条 件 (14) を満たす場合,満たさない場合の特異点曲線につい て図示し,その特異点曲線について考察を述べた.さらに, 特異点曲線の安定化制御における影響を調べるために数値 シミュレーションによる検証を行った. 参考文献 [1] 美多勉. 非線形制御入門 - 劣駆動ロボットの技能制御 論. 昭晃堂, 2000. [2] M. Yamakita, T. Yonemura, Y. Michitsuji, and Z. Luo. Stabilization of acrobat robot in upright position on a horizontal bar. In Proceedings of the 2002 IEEE International Conference on Robotics and Automation, Vol. 3, pp. 3093–3098, 2002. [3] A. Saito, K. Sekiguchi, and M. Sampei. Exact linearization by time scale transformation based on relative degree structure of single-input nonlinear systems. In Proceedings of the 49th IEEE Conference on Decision and Control, pp. 5408–5413, 2010. [4] 忻, 兼田. エネルギー制御法による劣駆動ロボットの振 り上げ制御とその動きの解析: Acrobot の場合. 計測自 動制御学会論文集, Vol. 42, No. 4, pp. 411–420, 2006. [5] M. W. Spong. The swing up control problem for the Acrobot. IEEE Control Systems Magazine, Vol. 15, No. 1, pp. 49–55, 1995.
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