物理学試験解答例（2015 年度前期） 2015/8/27 [問題 1 ] (1) 速度の y

物理学試験解答例（2015 年度前期）
2015/8/27
この解説では、重力加速度 g の値は g = 9.800 m/s2 としており、また、数値は有効数字４桁で解答しております。
[問題 1 ]
(1) 速度の y 方向成分 vy は任意の時間 t において、
vy = v0 sin θ − gt
最高点では速度の y 方向成分は 0 となるので最高点に到達する時間を tm とすると
v0 sin θ − gtm = 0.
故に、
tm =
v0 sin θ
g
(2) 物体が地表面に落下する時間は物体が最高点に到達する時間の２倍となる。この時間の
間に x 方向に等速度運動で移動した距離が落下点であるので、その水平距離は
l = v0 cos θ × 2tm = v0 cos θ ×
2v0 sin θ
g
ここで、214 頁 (A.2) 式において α = β = θ とおいて得られる関係式より
sin 2θ = 2 sin θ cos θ
であるので、
l = v0 cos θ ×
2v0 sin θ
v 2 sin 2θ
= 0
g
g
(3) θ = 45◦ のとき sin 2θ = sin 90◦ = 1 の最大値をとるので、前問の l は最大値 l =
v02
と
g
なる。
1
(4) 投げ上げた時のエネルギーは mv02 。落下直前のエネルギーはこの 92% に減っている
2
ので、落下直前の物体の速度を vs とすると、エネルギーの関係から
1
1
mv 2 = 0.92 × mv02
2 s
2
これを解いて
vs =
√
0.92v0 = 0.9592v0
[問題 2 ]
(1) 角速度は 1 秒間に回転する角度 (通常ラジアンで）である。1 回転は角度で 2π [rad] で
あるから、ω = 8π [rad/s]。
(2) 等速円運動の加速度は a = rω 2 = 4.5 × 10−2 × (8π)2 = 28.42 m/s 。その方向は向心
2
力の方向。すなわち、常に回転中心を向く方向。
1
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2015/8/27
(3) 張力 T を角速度を用いて表すと T = mrω 2 。従って、最大張力 Tmax となる角速度の最
2
大値 ωmax は、Tmax = mrωmax
の関係式で決まる。これを ωmax について解いて、
√
Tmax
ωmax =
mr
限界回転数 n と ωmax とは n = ωmax /2π の関係が成り立つので
√
Tmax
1
n=
×
mr
2π
ところで、この糸は 1.3 kgW=1.3 × 9.8 = 12.74 N の力で切れる。言い換えれば、切れ
る限界張力 Tmax =12.74 N。従って、これらの数値を代入して計算すると、
√
12.74
1
n=
×
= 24.45 rps
0.012 × 0.045 2π
整数の回転数として最大 24 rps までは切れない。
(4) 糸が切れると物体に働く力はなくなるので、慣性の法則によりそれまでの運動方向（円
運動の軌道の接線方向）に飛んでいく。
[問題 3 ]
2π
= 17.95 rad/s.
T
(2) バネの変位の一般式はテキスト (4.14) 式より x(t) = x0 cos ωt である。これを微分する
と速度 v(t) が求まる。すなわち、
(1) 題意より 1 周期は T = 0.35 s. 従って、角速度 ω =
v(t) =
dx
d
= (x0 cos ωt) = −x0 ω sin ωt
dt
dt
これより最大速度は vmax = x0 ω = 0.03 × 17.95 == 0.5385 m/s
(3) 同様に加速度は速度を時間について微分すれば求まり、
a(t) =
dv
= −x0 ω 2 cos ωt
dt
2
これより最大加速度は amax = x0 ω 2 = 0.03 × 17.952 = 9.666 m/s .
(4) バネの復元力により、復元力 0 の自然長の位置を通過するとき重りの慣性により釣り合
いの位置を通り過ぎてしまう。そこでバネはまた自然長の位置にバネを戻そうとするが
また、慣性により行き過ぎてしまう。これの繰り返しで振動現象となる。
[問題 4 ]
(1) mv0
(2) 弾丸がめり込んだブロックの速度を V とすると、運動量保存則より
mv0 = (m + M )V
これを解いて
V =
2
m
v0
m+M
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2015/8/27
(3) 衝突前の全運動エネルギー Ebef ore は
Ebef ore =
1
mv 2
2 0
衝突後の全運動エネルギーは Eaf ter は
Eaf ter =
1
1
(m + M )V 2 = (m + M )
2
2
(
m
v0
m+M
)2
=
m2
v2
2(m + M ) 0
失われたエネルギーは
∆Ek = Ebef ire −Eaf ter =
(
)
1
m2
1
m
mM
mv02 −
v02 = mv02 1 −
=
v2
2
2(m + M )
2
m+M
2(m + M ) 0
(4) 衝突後、2 物体 (弾丸とブロック) は一体となって動くので相対速度は 0。従って、定義
(P65) より, この衝突は、衝突係数 0 の完全非弾性衝突となっている.。この衝突として
はエネルギー損失が最大の衝突となる。
[問題 5 ] Q [C] の点電荷から距離 r だけ離れている点における電位 φ(r) [V] は (8.14) 式で与えら
れる。これを用いる。なぜ、そのような式となるかは [具体例 11] をよく読むこと。
Qa
2 × 10−12
= 8.9876 × 109 ×
= 3.596 × 10−2 V。
rB
0.5
Qa
2 × 10−12
(2) φC = k
= 8.9876 × 109 ×
= 1.798 × 10−2 V。
rC
1
(1) φB = k
(3) BC 間の電圧を VBC とすると、VBC = φB − φC = 3.596 × 10−2 − 1.798 × 10−2 =
1.798 × 10−2 V。
(4) 1 C の電荷が 1 V の電位差の 2 点間で有する位置エネルギーの違いは 1 J である。電子
がクーロン力により A 点に向かって C 点から B 点に向かって移動していくとき、電子
の電荷は素電荷 e = 1.6022 × 10−19 C であるので、eVBC [J] のエネルギーを得る。こ
れは電子の運動エネルギーとして形をかえるので B 点を通過するときの電子の速度を
v [m/s] とすると、
1
me v 2 = eVBC
2
これを v について解き、素電荷、電子の質量の数値（巻末定数表にあり。あるいは関数
電卓に記憶されている）を代入すると
√
√
2eVBC
2 × 1.6022 × 10−19 × 1.798 × 10−2
v=
=
= 7.952 × 104 m/s
me
9.1094 × 10−31
3

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