第7回

物理学演習 IIB 問題 No.7 (物理数学 II)
2015 年 11 月 16 日
1. ルジャンドル陪関数 Pl m (x) と球面調和関数 Yl m (θ, ϕ) は,
1
1
dl+m
(1 − x2 ) 2 m l+m (x2 − 1)l ,
l!
dx
√
2l + 1 (l − m)! m
Yl m (θ, ϕ) = (−1)m
Pl (cos θ) eimϕ
4π (l + m)!
Pl m (x) =
2l
(1)
(2)
(l = 0, 1, 2, · · · ; m = −l, −l + 1, · · · , l − 1, l)
によって定義される。
(a) l = 0, 1, 2 の場合の Plm (x) と Yl m (θ, ϕ) をすべて求めよ。
(b) ベクトル r = (x, y, z) の成分は, 極座標 (r, θ, ϕ) を使って,
x = r sin θ cos ϕ,
y = r sin θ sin ϕ,
z = r cos θ
(3)
と表せる。x, y, z を, Ylm (θ, ϕ) (l = 1; m = −1, 0, 1) の線形結合として表せ。
[補足] 2 階のテンソル
1
Tij = ri rj − δij r2
3
(i, j = 1, 2, 3)
(r1 = x, r2 = y, r3 = z, r2 = x2 + y 2 + z 2 ) は, Tij = Tji ,
∑3
i=1
(4)
Tii = 0 を満たすので, その独
立な成分は 5 個である。問 (b) のベクトルの場合と同様に, この 5 個の独立な成分を, Ylm (θ, ϕ)
(l = 2; m = −2, −1, 0, 1, 2) の線形結合として表すことができる。
2. 球面調和関数の性質
Ylm (θ, ϕ)∗ = (−1)m Yl−m (θ, ϕ)
Ylm (π − θ, ϕ + π) = (−1)l Ylm (θ, ϕ)
(5)
を証明せよ。
3. ルジャンドル陪関数の漸化式
[
]
√
d
+ mx Pl m (x) =
(1 − x2 )
1 − x2 Pl m+1 (x)
dx
[
]
√
d
(1 − x2 )
− mx Pl m (x) = −(l + m)(l − m + 1) 1 − x2 Pl m−1 (x)
dx
(6)
から, 微分方程式
[
(1 − x2 )
]
d2
d
m2
−
2x
+
l(l
+
1)
−
Pl m (x) = 0
dx2
dx
1 − x2
を導け。
1
(7)
4. ルジャンドル陪関数の漸化式 (6) を使って, 球面調和関数が漸化式
(
)
√
∂
∂
iϕ
e
+ i cot θ
Yl m (θ, ϕ) =
(l − m)(l + m + 1) Yl m+1 (θ, ϕ)
∂θ
∂ϕ
(
)
√
∂
∂
e−iϕ −
+ i cot θ
Yl m (θ, ϕ) =
(l + m)(l − m + 1) Yl m−1 (θ, ϕ)
∂θ
∂ϕ
(8)
を満たすことを示せ。また, ルジャンドル陪関数の微分方程式 (7) を使って, 球面調和関数が微
分方程式
[
]
∂2
∂
1 ∂2
+ cot θ
+
+ l(l + 1) Ylm (θ, ϕ) = 0
∂θ2
∂θ sin2 θ ∂ϕ2
(9)
を満たすことを示せ。
5. 量子力学における角運動量は, 演算子 L̂ = r̂ × p̂ = −iℏ r × ∇ で表される。その成分は,
(
)
(
)
(
)
∂
∂
∂
∂
∂
∂
L̂x = −iℏ y
−z
, L̂y = −iℏ z
−x
, L̂z = −iℏ x
−y
(10)
∂z
∂y
∂x
∂z
∂y
∂x
である。
(a) L̂± = L̂x ± iL̂y とおくとき, L̂+ , L̂− , L̂z を極座標 (r, θ, ϕ) を使って表わせ。
(b) 球面調和関数 Yl m (θ, ϕ) が
L̂+ Yl m (θ, ϕ) =
L̂− Yl m (θ, ϕ) =
√
√
(l − m)(l + m + 1) ℏ Yl m+1 (θ, ϕ),
(l + m)(l − m + 1) ℏ Yl m−1 (θ, ϕ),
L̂z Yl m (θ, ϕ) = mℏ Yl m (θ, ϕ)
(11)
を満たすことを示せ。
2
6. (a) 量子力学における角運動量の大きさの 2 乗 L̂ = (L̂x )2 + (L̂y )2 + (L̂z )2 が,
)
1(
L̂+ L̂− + L̂− L̂+ + (L̂z )2
2
(12)
L̂ Yl m (θ, ϕ) = l(l + 1)ℏ2 Yl m (θ, ϕ)
(13)
2
L̂ =
と書けることを示せ。
(b) (11), (12) を使って,
2
が成り立つことを示せ。
2
[補足] 問題 5 (a) の結果を使って, L̂ の具体的な形を求めると,
[ 2
]
2
∂
∂
1 ∂2
L̂ = −ℏ2
+
cot
θ
+
∂θ2
∂θ sin2 θ ∂ϕ2
(14)
となり, (13) は (9) と同じ式である。また, 極座標で表したラプラシアン ∆ は,
∆=
∂2
2 ∂
1 1 2
+
−
L̂
∂r2
r ∂r r2 ℏ2
と書ける。
2
(15)
7. 3 次元球対称ポテンシャル中の量子力学的粒子を考える。束縛状態のエネルギー固有関数は, 3
次元極座標 (r, θ, ϕ) (0 ≤ r < ∞, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ ϕ < 2π) を使って,
ψ(r) = R(r) Ylm (θ, ϕ)
(16)
と表すことができる。ここで, R(r) は動径座標 r を変数とするある関数であり, Ylm (θ, ϕ) (l =
0, 1, 2, · · · ; m = −l, −l + 1, · · · , l − 1, l) は角度座標 θ, ϕ を変数とする球面調和関数である。波
動関数 (16) に対する位置ベクトル r = (x, y, z) = (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ) の期待値
∫
( 3
)
⟨r⟩ = d3 r r |ψ(r)|2
d r = drdθdϕ r2 sin θ
(17)
を求めよ。ただし,
∫
a≡
∞
0
とおく。（ヒント：(5) の下の式を使え。）
3
dr r3 |R(r)|2
(18)

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