第 6 章関数の凹凸. 極値と増減

第 6 章関数の凹凸. 極値と増減
本章においては, 関数の凹凸, 極値と増減について考察する. それ
によって, 関数のグラフの凹凸, 極値と増減についての幾何学的特
徴について考察する.
6.1 関数の凹凸
本節においては関数の凹凸の概念について考察する.
一般に, 平面 R2 の集合 D が凸集合であるということは, D の中
の任意の 2 点 x, y を結ぶ線分が D に含まれることであると定義
する.
いま, r 1 = t (x1 , y1 ), r 2 = t (x2 , y2 ) と表すとき, 2 点 r 1 と r 3 を
結ぶ線分 r 1 r 2 上の点 r = t (x, y) は, 条件式
x = (1 − λ)x1 + λx2 , y = (1 − λ)y1 + λy2 , (0 ≤ λ ≤ 1) (6.1.1)
によって表される.
このとき, 集合 D が凸集合であるための必要十分条件は, 任意の
2 点 r 1 = t (x1 , y1 ), r = t (x2 , y2 ) ∈ D に対し, 条件 0 ≤ λ ≤ 1 を満
たすすべての λ に対し, 式 (6.1.1) によって定められる点 r = t (x, y)
が D に属することである.
閉区間 [a, b] において定義された関数 y = f (x) が凸関数である
とは, 集合
D = {(x, y); f (x) ≤ y, a ≤ x ≤ b}
(6.1.2)
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が凸集合であることと定義する.
このとき, 閉区間 [a, b] において定義された関数 y = f (x) が凸
関数であるための必要十分条件は, 曲線 y = f (x) 上の任意の 2 点
(x1 , f (x1 )) と (x2 , f (x2 )) を結ぶ線分が集合 D に属することである.
したがって, 関数 y = f (x), (x ∈ [a, b]) が凸関数であるための
必要十分条件は, [a, b] の任意の 2 点 x1 , x2 , (x1 < x2 ) に対し, 不
等式
f (ξ) ≤ f (x1 ) +
f (x2 ) − f (x1 )
(ξ − x1 ), (ξ ∈ [x1 , x2 ])
x2 − x1
(6.1.3)
が成り立つことである.
いま, ξ ∈ [x1 , x2 ] を, パラメーター λ, (0 ≤ λ ≤ 1) を用いて,
ξ = (1 − λ)x1 + λx2
(6.1.4)
と表すとき, 式 (6.1.3) は, 不等式
f ((1 − λ)x1 + λx2 ) ≤ (1 − λ)f (x1 ) + λf (x2 ), (0 ≤ λ ≤ 1) (6.1.5)
と同値である.
関数 y = f (x) が凸関数であることを, 関数 y = f (x) は下に凸で
あるということがある. このことを, 関数 y = f (x) は上に凹である
ことがある. このとき, 曲線 y = f (x) は下に凸であるという. ある
いは, 曲線 y = f (x) は上に凹であるという.
また, 関数 y = f (x) が凹関数であるということは, 集合
D = {(x, y); y ≤ f (x), a ≤ x ≤ b}
が凸集合であることと定義する. 関数 y = f (x) が凹関数であるこ
とを, y = f (x) は上に凸であるということがある. これは, また,
関数 y = f (x) が下に凹であるということもある. このとき, 曲線
y = f (x) は上に凸であるという. あるいは, 曲線 y = f (x) は下に凹
であるという.
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定理 6.1.1 閉区間 [a, b] において定義された関数 y = f (x) が
凸関数であるとすると, 開区間 (a, b) において, 次の (1)∼(4) が成
り立つ:
(1) y = f (x) は連続である.
(2) 右微分係数 f+′ (x) と左微分係数 f−′ (x) が存在する.
(3) 不等式 f−′ (x) ≤ f+′ (x) が成り立つ.
(4) f+′ (x) と f−′ (x) は非減少である.
系 6.1.1 関数 y = f (x) は, 閉区間 [a, b] において連続で, 開区
間 (a, b) において微分可能であるとする. このとき, 次の (1) と (2)
は同値である:
(1) 関数 y = f (x) が閉区間 [a, b] において凸関数である.
(2) 導関数 f ′ (x) は開区間 (a, b) において非減少である. すなわち,
x1 , x2 ∈ (a, b) に対し, x1 < x2 であるならば, f ′ (x1 ) ≤ f ′ (x2 )
が成り立つ.
定理 6.1.2 関数 y = f (x) は, 閉区間 [a, b] において連続で, 開
区間 (a, b) において微分可能であるとする. このとき, 次の (1) と
(2) は同値である:
(1) y = f (x) は凸関数である.
(2) y = f (x) のグラフが, 各点 x ∈ [a, b] における y = f (x) の
接線の上側にある. すなわち, 任意点 c ∈ (a, b) に対して, 不
等式
f (x) ≥ f (c) + f ′ (c)(x − c), (a ≤ x ≤ b)
が成り立つ.
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注意 6.1.1 定理 6.1.2 において, 関数 y = f (x) のグラフと各
点 c ∈ (a, b) における y = f (x) の接線との交わりが接点のみであ
るならば, 関数 y = f (x) は狭義の凸関数であるという. すなわち,
y = f (x) が狭義の凸関数であるための条件は, 任意の c ∈ (a, b) に
対し, 不等式
f (x) > f (c) + f ′ (c)(x − c), (a ≤ x ≤ b, x ̸= c)
が成り立つことである.
注意 6.1.2 系 6.1.1 においては, (a, b) における f ′ (x) の存在を
仮定しただけで, f ′ (x) の連続性は仮定されていない. しかし, f ′ (x)
が非減少であるから, x ∈ (a, b) において,
f±′ (c) = lim f ′ (x), (複号同順)
x→c± 0
が成り立つ. ゆえに, x ∈ (a, b) において, f ′ (x) が連続であること
がわかる.
定理 6.1.3 関数 f (x) は閉区間 [a, b] において連続で, 開区間
(a, b) において 2 回微分可能であるとする. このとき, 関数 f (x) が
凸関数であるための必要十分条件は, x ∈ (a, b) において, f ′′ (x) ≥ 0
が成り立つことである. 特に, x ∈ (a, b) において, f ′′ (x) > 0 が成
り立つならば, 関数 f (x) は狭義の凸関数である.
点 c において微分可能な関数 f (x) が点 c において下に凸である
ということは, 点 c の十分小さな近傍において, 不等式
f (x) > f (c) + f ′ (c)(x − c), (x ̸= c)
が成り立つことであると定義する.
また, 上と同様に, 関数 f (x) が点 c において上に凸であるという
ことは, 点 c の十分小さな近傍において, 不等式
f (x) < f (c) + f ′ (c)(x − c), (x ̸= c)
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が成り立つことであると定義する.
点 c において微分可能な関数 f (x) に対し, 点 (c, f (c)) が変曲点で
あるということは, 十分小さな正の数 δ > 0 に対し, (c − δ, c) にお
いて下に凸で, (c, c + δ) において上に凸であるか, または (c − δ, c)
において上に凸で, (c, c + δ) において下に凸であるかいずれかが成
り立つことであると定義する.
関数 f (x) が点 c の近傍において 2 回微分可能であるとき, 点
(c, f (c)) が変曲点であるならば, f ′′ (c) = 0 が成り立つ. しかし,
この逆は一般には成り立たない. すなわち, f ′′ (c) = 0 であったとし
ても, 点 (c, f (c)) が変曲点であるとは限らない.
一般に, 高次導関数を用いて曲線の凹凸を判定できる. これに関
して次の定理が成り立つ.
定理 6.1.4 n ≥ 2 であるとし, 関数 f (x) が x = c のある近傍
において n 回微分可能であって, f (n) (x) は点 c において連続である
とする. さらに, 条件
f ′′ (c) = f ′′′ (c) = · · · = f (n−1) (c) = 0, f (n) (c) ̸= 0
が成り立っているとする. このとき, 次の (1), (2) が成り立つ:
(1) n が偶数である場合には, 次の (i), (ii) が成り立つ:
(i) f (n) (c) > 0 であるならば, f (x) は点 c において下に凸
である.
(ii) f (n) (c) < 0 であるならば, f (x) は点 c において上に凸
である.
(2) n が奇数である場合には, 点 (c, f (c)) は変曲点である.
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6.2 極値と増減
本節においては, 関数の極値と増減について考察する.
関数 f (x) が点 x0 において極小であるということは, 十分小さな
正の数 δ > 0 に対し,
0 < |x − x0 | < δ ならば, f (x) − f (x0 ) > 0
が成り立つことであると定義する. このとき, f (x0 ) は極小値である
という.
同様に, 関数 f (x) が点 x0 において極大であるということは, 十
分小さな正の数 δ > 0 に対し,
0 < |x − x0 | < δ ならば, f (x) − f (x0 ) < 0
が成り立つことであると定義する. このとき, f (x0 ) は極大値である
という.
f (x0 ) が極値であるということは, f (x0 ) が極小値であるか極大値
であることと定義する.
f (x0 ) が弱い意味の極小値であるということは, x0 の十分小さな
近傍において, 不等式
f (x) ≥ f (x0 )
が成り立つことと定義する.
同様に, f (x0 ) が弱い意味の極大値であるということは, x0 の十
分小さな近傍において, 不等式
f (x) ≤ f (x0 )
が成り立つことと定義する.
定理 6.2.1 関数 f (x) は点 x0 のある近傍において定義されてい
るとする. このとき, 次の (1)∼(3) が成り立つ:
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(1) f (x) が点 x0 において微分可能で, f (x0 ) が極値であるなら
ば, f ′ (x0 ) = 0 が成り立つ.
(2) f (x) は点 x0 において連続で, x0 を除く x0 の近傍において
微分可能であって, f ′ (x) が点 x0 において符号が変わるなら
ば, f (x0 ) は極値である.
(3) f (x) は点 x0 のある近傍において微分可能で, f ′ (x0 ) = 0 で
あるとする. さらに, f ′′ (x0 ) が存在するとき, 次の (i), (ii) が
成り立つ:
(i) f ′′ (x0 ) > 0 ならば, f (x0 ) は極小値である.
(ii) f ′′ (x0 ) < 0 ならば, f (x0 ) は極大値である.
f (x) が点 x0 において微分可能であるとき, f (x0 ) が停留値で, 点
x0 が停留点であるということは, f ′ (x0 ) = 0 が成り立つことである
と定義する. f ′ (x0 ) = 0 であるという条件は f (x0 ) が極値であるこ
との必要条件であるが, 逆は必ずしも成り立たない.
f ′ (c) = 0 の場合も含めて, 一般に高次導関数を用いて f (c) が極値
であるかどうかの判定ができる. これに関して次の定理が成り立つ.
定理 6.2.2 n ≥ 2 であるとし, 関数 f (x) が点 c のある近傍にお
いて n 回微分可能で f (n) (x) は点 c において連続であるとする. さ
らに, 条件
f ′ (c) = f ′′ (c) = · · · = f (n−1) (c) = 0, f (n) (c) ̸= 0
が成り立つとする. このとき, 次の (1), (2) が成り立つ:
(1) n が奇数である場合には, 次の (i), (ii) が成り立つ:
(i) f (n) (c) > 0 ならば, f (x) は点 c において増加の状態に
ある.
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(ii) f (n) (c) < 0 ならば, f (x) は点 c において減少の状態に
ある.
(2) n が偶数である場合には, 次の (i), (ii) が成り立つ:
(i) f (n) (c) > 0 ならば, f (c) は極小値である.
(ii) f (n) (c) < 0 ならば, f (c) は極大値である.
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