統計学I レポート課題1

統計学 I レポート課題１
学籍番号：
氏名：
提出期限は、５月３日。
問題. (1) 2 つの事象 A, B ⊂ Ω に対して、P (A)、P (B) と P (A ∩ B) を用いて以下の
各事象の確率を表せ．ただし Ac と B c は余事象で Ā や B̄ とも書く。
(1) Ac ∪ B c
(2) Ac ∩ B c (3) A ∪ B c
(2) 学生 2 人があるサークルのオリエンテーションに参加した。サークルの幹事は、2
人のうち少なくとも 1 人はこのサークルに入会してほしいと思っている。各学生が入
会する確率を 0.4 とし、2 名とも入会する確率を 0.1 とすれば、この幹事の希望がかな
う確率はどのくらいか。
(3) 箱 a には白玉が 5 個、赤玉が 4 個、箱 b には白玉が 7 個、赤玉が 5 個、箱 c には白
玉と赤玉がそれぞれ 4 個ずつ入っている。箱 a から１個、箱 b から１個取り出して箱
c に入れた後、箱 c から１個取り出すとき、それが赤玉である確率を求めよ。
解答. (1)
P (Ac ∪ B c ) = P ((A ∩ B)c ) = 1 − P (A ∩ B)
P (Ac ∩ B c ) = P ((A ∪ B)c ) = 1 − P (A ∪ B) = 1 − P (A) − P (B) + P (A ∩ B)
P (A ∩ B c ) = P (A) − P (A ∩ B)
(2) A を学生 1 人が入会する事象とし、B をもう 1 人が入会する事象とする。少なく
とも 1 人が入会する事象は A ∪ B だから、加法定理を用いて
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = 0.4 + 0.4 − 0.1 = 0.7.
(3) 箱 a から赤玉が出る事象を A、箱 b から赤玉の出る事象を B 、箱 c から赤玉ので
る事象を C とする。このとき
C = {(A ∩ B) ∩ C} ∪ {(A ∩ B c ) ∩ C} ∪ {(Ac ∩ B) ∩ C} ∪ {(Ac ∩ B c ) ∩ C}
で右辺の {} で括った 4 つの事象は排反するから条件付き確率を用いて
P (C) =P (A ∩ B)P (C | A ∩ B) + P (A ∩ B c )P (C | A ∩ B c ) + P (Ac ∩ B)P (C | Ac ∩ B)
+ P (Ac ∩ B c )P (C | Ac ∩ B c ).
1
ここで A, B は独立であるから、A, B c 、Ac , B 、Ac , B c の各組の 2 つの事象も独立とな
る。従って
4 5
6
· , P (C | A ∩ B) =
9 12
10
4 7
5
c
c
P (A ∩ B ) = P (A)P (B ) = · , P (C | A ∩ B) =
9 12
10
5 5
5
c
c
P (A ∩ B) = P (A )P (B) = · , P (C | A ∩ B) =
9 12
10
5 7
4
c
c
c
c
P (A ∩ B ) = P (A )P (B ) = · , P (C | A ∩ B) =
9 12
10
P (A ∩ B) = P (A)P (B) =
が成り立ち
P (C) =
4 5 6
4 7 5
5 5 5
5 7 4
35
·
·
+ ·
·
+ ·
·
+ ·
·
= .
9 12 10 9 12 10 9 12 10 9 12 10
72
2

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