経済性工学第10回 - Keio University

経済性工学第10回
前回の復習
「金利計算に関する応用と補足」
慶應大学稲田周平 2015年度H
現価，年価，終価の関係と時間換算係数
2
時間換算係数の計算式
i%
資本の利率：
 P  S in
 S  P in
: 終価係数
: 現価係数
 M  P n 
i
 M  P n
i
期間：
 P  S n  1  i 
i
 P  M in
 S  M n
資本回収係数
減債基金係数
i
 M  S n
i
 M  S n 
i
年金終価係数
年金現価係数

1
i
1  i   1
n
i 1  i 
n
n
1  i   1
i
n
 S  P n 
n
1  i 
 P  M n 
i
 S  M n 
n
i 1  i 
n
1  i   1
n
i
i
n
1  i   1
互いに逆数の関係が成り立っている。
3
演習１：投資案の現価，年価，終価
4
複雑な時間換算
問ある設備に投資をすると，初期投資額が3,000万円で，年々の
操業費用が期末換算すると400万円ずつかかる。この設備の使用
期間は10年で，資本の利率は10％である。
例題ある人が現在40歳で500万円の預金をもっている。60歳で定年
この設備投資から生じる総費用を，現価，年価，終価の形で求めな
さい。
積立預金をして，この目標を達成するためには，いくらずつ預金をしてい
になるが，そのときに5,000万円の現金資産をもちたいと思っている。退
職金には1,000万円が支給されることになっている。毎年末に均等額の
けばよいだろうか。預け入れ先の年利率は7％とする。
5
2015, Inada Laboratory, Keio University
7
1
演習問題４：複雑な時間換算
期と時点（期首，期末）の考え方を明確にする
1,000万円
500万円
問1 Ｓさんが子供の誕生日を記念してＸ万円信託銀行に預けておいて，10
回目から20回目までの誕生日に100万円ずつ引き出せるようにしたいと考え
ている。Ｘを求めよ。銀行の年利は10％とする。
M万円/年
40 41
60

5,000万円
イ）この道路を建設し，43年後までの40年間維持するのに必要な総投資
額の現価を求めよ（43年後にもメンテナンス費用の支払いがある）。
500   P  S 20  M   M  S 20  1,000  5,000
7%
問2 Ｋ道路公団では，ある地区を有料道路を作ることを計画している。必要
な投資は現時点で100億円，1,2,3年後に建設費用として，それぞれ50億
円ずつかかる。そして，それ以降は5年間隔でメンテナンス費用が5億円ずつ
かかる。資本の利率は8％とする。
7%
ロ）この道路を永続的に維持するとすれば，4年後からの毎年末の料金
純収益がいくら以上ならペイするか？
M  50.4万円
9
例題1：単位期間の異なる資本利率の取り扱い
Aさんは，3,000万円の住宅ローンを組んで，20年間に渡って月額
返済（月末払い）をする予定である。借入金利が年利率3％のとき，月
額の返済額はいくらになるか？
単位期間の異なる資本の利率の取り扱い
但し，期間あたりの利率がi, 期間がnのもとでの資本回収係数は，次
式で与えられる。
 P  M n 
i
i 1  i 
1  i 
n
n
1
13
演習2：単位期間の異なる資本コストの取り扱い
まず，年利6％は月利として何％かを計算する。
1  j 
12
ｊ：月利
 1  0.03
問1 Bさんは，年利15％のクレジットカード会社から，当座の資金と
して5万円を借り入れた。1ヶ月後の元利合計の返済額はいくらになる
か。
1
j  1  0.0312  1
 0.002466  0.2466%
M  3,000万円  P  M 240
0.2466%
14
問2 ある投資案件に1,000万円投資をすると，2年ごとに450万円
ずつの報収を10年間（5回）にわたってあげることができる。この投資
案件の現価としての価値はいくらか。資本の利率は年8％とする。
 16.57万円
問3 上記の問2において，報収が永続的に受けられる場合の投資案
件の現価としての価値はいくらになるか。
簡便法として，
年利3％は，月利0.25％（=3％÷12）と計算することもある。
 P  M n 
i
M   3,000万円  P  M 240  16.64万円
0.25%
※この授業の中では，この計算法をダメです。
2015, Inada Laboratory, Keio University
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i 1  i 
1  i 
n
n
1
 M  P n 
i
1  i   1
n
i 1  i 
n
16
2
P  t  t   P  t 
補足：連続時間系における金利計算
t
瞬間利率：i ← 微小単位時間あたりの利率
t
P  t 
P t 
P  t  t   P  t   P  t   it  O  t 
P0
O  t 
t
上式において、Δt→0なる極限を求めると、
時刻t+Δtにおける元利合計（終価）は，
P t 
 P t   i 
log P  t   it  C
t  t
P  t   C  eit
 P t   i 
t
O  t 
ここで、 P
t
P0
この微分方程式を解く為に、両辺を積分すると、
式変形すると，
P  t  t   P  t 
P t 
i
t
t  t
離散時間系における
終価係数[P→S]に
相当するもの
 t  0   P0 より、
P  t   P0  eit
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換算係数名
離散時間系の換算式
連続時間系の換算式
終価係数
[P→S]
1  i 
eit
n
1
現価係数
[S→P]
1  i n
1
 e it
eit
資本回収係数
[P→M]
i 1  i 
n
1  i   1
i  eit
i

eit  1 1  e  it
年金現価係数
[M→P]
1  i   1
n
i 1  i 
eit  1 1  e  it

i  eit
i
減債基金係数
[S→M]
1  i n  1
年金終価係数
[M→S]
n
n
i
21
物価変動を考慮したもとでの時間換算
i
eit  1
eit  1
i
1  i n  1
i
22
23
例題2：人件費の上昇が見込まれる問題
「名目価値、名目利率」と「実質価値、実質利率」
甲社の営業部門では，物流倉庫の自動化によって，3人の作業員の削
減を図ることを計画している。この物流倉庫の初期投資額は5,000万円
である。投資の計画期間は7年，資本の利率は10%とする。ここで，作
業員の人件費は，現在の給与ベースでは1人当たり300万円/年だが，
年々7%の割合で上昇していくことが予想されている。経済的にみて，こ
の物流倉庫の導入はペイするだろうか。
◆名目価値と実質価値
問この投資案の現価の形での正味利益（正味現価）を計算し，案の採
否を判断しなさい。
 名目価値：
→資源（例．物財、人）の実質価値を、物価変動率を考慮して、各
時点での価値に調整したもの。
◆名目利率と実質利率
 名目利率
→物価変動を考慮していない資本の利率。
P  5000万円  900万円  M  P 7
10%
 618万円
 実質利率：
→名目利率を，物価の変動率を考慮して調整した資本の利率。
物流倉庫の導入はペイしない???
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2015, Inada Laboratory, Keio University
 実質価値:
→物価変動を考慮していない資源（例．物財、人）の実質的な価値。
一般的に現時点での価値として評価する。
25
3
投資案の経済性を正しく評価する為の２つの考え方
900  1  0.07 
t
1)名目法による評価
 キャッシュ・フローを名目価値（各時点での実際の収入額，支出額）
で捉える。
5,000
 資本の利率は，名目利率i（物価変動を考慮していない金利）を使う。
900  1  0.07 
P  5000万円
t
7
1  0.07 1  0.07 2
1  0.07  
900万円 

 
2
7 
1  0.1
1  0.1 
 1  0.1
 650万円

i  10%
人件費の上昇（年7%）が見込まれる時には，
物流倉庫の導入はペイする。
5,000
26
27
900  1  0.07 
2)実質法による評価
t

 キャッシュ・フローを実質価値のもとで評価する。
この部分を，１つの利率（実質利率k）
として取り扱う。
 資本の利率は，実質利率k（物価変動を考慮した金利）を使う。
5,000
900

5,000
P  5000万円
i:資本の利率
（名目利子率）
1 i
k
1
1 h
1  0.1

 1  2.8%
1  0.07
1
1 k
7
1  0.07 1  0.07 2
1  0.07  
900万円 


2
7 
1  0.1
1  0.1 
 1  0.1
ｋ：実質利率
ｈ：物価上昇率
 5000万円  900万円 M  P 7
2.8%
 650万円
ｋ：実質利率
P  5000万円  900万円  M  P 7
2.8%
 650万円
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物価変動が含まれる投資を分析する際の留意点
1 i
1
より， k 
1 h
ｈ：物価上昇率
29
丙工場では，現在，生産工程の自動化に取り組んでいる。この自動化
案では，2,000万円の設備投資をすると，人件費を，現在の給与水準
で毎年600万円ほど節減することができる。人件費は年々12%ずつ上
昇することが予想されている。
一方で，設備投資を行うと，年々の維持・修理費が，現在の物価水準
で毎年100万円ほど，自動化の実施前に比べて増加する。この維持・
修理費は，修理部品等の物価上昇に伴って，年々3.7%ずつ上昇する
ことが予想されている。
資本の利率（名目利率）は12％，設備の寿命は6年とする。
10%
名目利率
実質価値
名目値と実質値を混ぜて使ってはいけない!
（問1）名目法を使って，この自動化案の正味現価を計算し，案の採否
を決定しなさい。
（問2）実質法を使って，この自動化案の正味現価を計算し，案の採否
を決定しなさい。
正しく経済性評価を行うためには、名目値か実質値か、いずれか
一方に基準に揃えて、評価を行う必要がある。
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2015, Inada Laboratory, Keio University
1 h
1

1 i 1 k
演習3：正味利益による採否判断（名目法と実質法）
P  5000万円  900万円  M  P 7
実質価値
（名目価値）
i:資本の利率
（名目利子率）
31
4

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