第10回 - Keio University

現価，年価，終価の関係と時間換算係数
経済性工学第10回
「金利計算に関する復習と応用」
 M  P n
i
 P  S in
: 終価係数
 S  P in
: 現価係数
 P  M in
 S  M n
資本回収係数
減債基金係数
i
 M  S n
i
年金終価係数
年金現価係数

慶應大学稲田周平 2016年度H
時間換算係数の計算式
i%
資本の利率：
期間：
 P  S n  1  i 
i
複雑な時間換算
n
 S  P n 
i
n
1  i   1
i
 M  P n 
n
i 1  i 
n
 M  S n 
i
2
 P  M n 
 S  M n 
職金には1,000万円が支給されることになっている。毎年末に均等額の
積立預金をして，この目標を達成するためには，いくらずつ預金をしてい
n
n
1  i   1
けばよいだろうか。預け入れ先の年利率は7％とする。
i
i
i
になるが，そのときに5,000万円の現金資産をもちたいと思っている。退
i 1  i 
i
n
1  i   1
例題ある人が現在40歳で500万円の預金をもっている。60歳で定年
1
n
1  i 
n
1  i   1
互いに逆数の関係が成り立っている。
3
4
前回の演習：複雑な時間換算
期と時点（期首，期末）の考え方を明確にする
1,000万円
500万円
M万円/年
40 41
60

5,000万円
500   P  S 20  M   M  S 20  1,000  5,000
7%
7%
M  50.4万円
問1 Ｓさんが子供の誕生日を記念してＸ万円信託銀行に預けておいて，10
回目から20回目までの誕生日に100万円ずつ引き出せるようにしたいと考え
ている。Ｘを求めよ。銀行の年利は10％とする。
問2 Ｋ道路公団では，ある地区を有料道路を作ることを計画している。必要
な投資は現時点で100億円，1,2,3年後に建設費用として，それぞれ50億
円ずつかかる。そして，それ以降は5年間隔でメンテナンス費用が5億円ずつ
かかる。資本の利率は8％とする。
イ）この道路を建設し，43年後までの40年間維持するのに必要な総投資
額の現価を求めよ（43年後にもメンテナンス費用の支払いがある）。
ロ）この道路を永続的に維持するとすれば，4年後からの毎年末の料金
純収益がいくら以上ならペイするか？
6
2016, Inada Laboratory, Keio University
1
問1 Ｓさんが子供の誕生日を記念してＸ万円信託銀行に預けておいて，10回目から
20回目までの誕生日に100万円ずつ引き出せるようにしたいと考えている。Ｘを求めよ。
銀行の年利は10％とする。
問2 Ｋ道路公団では，ある地区を有料道路を作ることを計画している。必要な投資は現
時点で100億円，1,2,3年後に建設費用として，それぞれ50億円ずつかかる。そして，
それ以降は5年間隔でメンテナンス費用が5億円ずつかかる。資本の利率は8％とする。
イ）この道路を建設し，43年後までの40年間維持するのに必要な総投資額の現価を求
めよ（ 43年後にもメンテナンス費用の支払いがある）。
100万円/年
0
10
1 2 3
20
5億
50億
現価にしていくらか？
X  100   S  P 10  100   S  P 11    100   S  P 20
10%
10%
10%
 275.5万円


8
38
43
5億
5億
100億
P  100  50   M  P 3
8%
X  100   M  P 11   S  P 9
10%
10%
5   S  M 5   M  P 40   S  P 3
 275.5万円
8%
8%
8%
 236.9億円
ロ）この道路を永続的に維持するとすれば，4年後からの毎年末の料金
純収益がいくら以上ならペイするか？
例題1：単位期間の異なる資本利率の取り扱い
Aさんは，3,000万円の住宅ローンを組んで，20年間に渡って月額
返済（月末払い）をする予定である。借入金利が年利率3％のとき，月
額の返済額はいくらになるか？
Ｘ?

1 2 3
5億
5億
50億

5億
100億
但し，期間あたりの利率がi, 期間がnのもとでの資本回収係数は，次
式で与えられる。
0.08

X  100   P  S 3  50   M  S 3
8%
8%
 P  M n 
P  M 
i
8%

i 1  i 
1  i 
n
n
1
5   S  M 5
8%
 23.9億円/年
11
演習１：単位期間の異なる資本コストの取り扱い
まず，年利6％は月利として何％かを計算する。
1  j 
12
ｊ：月利
 1  0.03
問1 Bさんは，年利15％のクレジットカード会社から，当座の資金と
して5万円を借り入れた。1ヶ月後の元利合計の返済額はいくらになる
か。
1
j  1  0.0312  1
 0.002466  0.2466%
M  3,000万円  P  M 240
0.2466%
問2 ある投資案件に1,000万円投資をすると，2年ごとに450万円
ずつの報収を10年間（5回）にわたってあげることができる。この投資
案件の現価としての価値はいくらか。資本の利率は年8％とする。
 16.57万円
問3 上記の問2において，報収が永続的に受けられる場合の投資案
件の現価としての価値はいくらになるか。
簡便法として，
年利3％は，月利0.25％（=3％÷12）と計算することもある。
 P  M n 
i
M   3,000万円  P  M 240  16.64万円
0.25%
※この授業の中では，この計算法をダメです。
2016, Inada Laboratory, Keio University
12
i 1  i 
1  i 
n
n
1
 M  P n 
i
1  i   1
n
i 1  i 
n
13
2
演習２：複雑な時間換算
補足：連続時間系における金利計算
問下記の既出の問題について，5年間を1期間を見てイ）とロ）の問題を
定式化しなさい。
Ｋ道路公団では，ある地区を有料道路を作ることを計画している。必要な
投資は現時点で100億円，1,2,3年後に建設費用として，それぞれ50
億円ずつかかる。そして，それ以降は5年間隔でメンテナンス費用が5億
円ずつかかる。資本の利率は8％とする。
イ）この道路を建設し，43年後までの40年間維持するのに必要な総投資
額の現価を求めよ（43年後にもメンテナンス費用の支払いがある）。
瞬間利率：i ← 微小単位時間あたりの利率
時刻t+Δtにおける元利合計（終価）は，
P t 
P  t  t   P  t   P  t   it  O  t 
P0
t
t  t
式変形すると，
ロ）この道路を永続的に維持するとすれば，4年後からの毎年末の料金
純収益がいくら以上ならペイするか？
P  t  t   P  t 
 P t   i 
t
O  t 
t
17
P  t  t   P  t 
t
 P t   i 
O  t 
t
上式において、Δt→0なる極限を求めると、
P  t 
P t 
P t 
i
P0
この微分方程式を解く為に、両辺を積分すると、
log P  t   it  C
t  t
離散時間系における
終価係数[P→S]に
相当するもの
P  t   C  eit
ここで、 P
t
 t  0   P0 より、
20
換算係数名
離散時間系の換算式
連続時間系の換算式
終価係数
[P→S]
1  i 
eit
1
現価係数
[S→P]
1  i n
1
 e it
eit
資本回収係数
[P→M]
i 1  i 
n
1  i   1
i  eit
i

eit  1 1  e  it
年金現価係数
[M→P]
1  i   1
n
i 1  i 
eit  1 1  e  it

i  eit
i
減債基金係数
[S→M]
1  i n  1
年金終価係数
[M→S]
P  t   P0  eit
n
n
n
i
i
eit  1
eit  1
i
1  i n  1
i
21
22
投資案の経済性指標
◆投資案の有利さを計るための３種類の指標
経済性工学第11回
1) 正味利益：「利益の額」を用いた評価
2) 回収期間：「元手をとるまでの期間」を用いた評価
3) 投資利益率（利回り）：「率」を用いた評価
「投資案の経済性指標」
投資案A：
R

初期投資額：C
計算期間： n
n
各期末の報収：R
資本の利率: i
C
慶應大学稲田周平 2016年度Ｌ
2016, Inada Laboratory, Keio University
24
3
“正味利益”指標による案の採否の判断
投資案の正味利益
①正味現価（NPV）：現時点に換算した案の利益
正味利益＞0 ⇒ その投資案はペイする。
PA  C A  RA   M  P n
（経済的にみて，その案を採択してよい）
i
正味利益≦0 ⇒ その投資案はペイしない。
②正味終価：案の最終時点に換算した案の利益
（経済的にみて，その案は採択すべきでない）
S A  RA   M  S n  C A   P  S n
i
i
R
③正味年価：案の価値を年平均に換算した案の利益

M A  C A   P  M n  RA
n
i
注）現価，終価，年価による正味利益のうち，１つが正の値であれば
他の正味利益も必ず正になる（負の場合も同じ）。
i%
C
25
演習３：“正味利益”指標による案の経済性評価
26
案の投資利益率（利回り）
問1 ある自動化設備に初期投資として3,000万円投資すると，操業費用
が期末換算値で年々850万円削減できる見込みである。この設備の使用
期間は10年で，資本の利率は10％である。この設備投資案の正味利益
を，現価，年価，終価の形で求めなさい。
問2 あるビルに400万円投資すると，各年末に300万円ずつの収益（報
収）を永続的にあげることができる。この投資から得られる正味現価はど
れだけだろうか。資本の利率は8％とする。
R
投資案の正味利益：

n
正味年価  R  C   P  M n
i
C
投資利益率 r は，投資案の正味利益（現価，終価，年価）をゼロにする
利率である。
R  C   P  M n  0
r
問3 初期投資額は1,000万円の設備投資案がある。1年末から5年末ま
での報収がそれぞれ500，400，300，300，250万円であるとき，正味現
価はいくらくか。資本の利率は10％である。
今，C円を投資して，R円をn年間に渡って引き出すことが
可能になるための金利。
27
30
“投資利益率”指標による案の採否の判断
◆投資利益率の求め方
R  C   P  M n  0
r
より，
P  2000  600   M  P 5
i
 P  M rn  R C
投資利益率は，R/Cを計算して，次式を満足する
ｒ
を係数表から探すことに
よって求めることができる（※計画期間ｎは与えられていることに注意）。
1
1 
 1
 2000  600  

 

2
1  i 5 
1  i 1  i 
P (i )
1000
6%
7%
1
1.060
1.070
2
0.545
0.553
3

600万円/年
10%
5
投資利益率＝ 15.2%
0
0.163
R
0.10
0.20
i
2,000万円
C

32
2016, Inada Laboratory, Keio University
4
案の投資利益率ｒ＞資本の利率 i
⇒ その投資案はペイする。
（経済的にみて，その案を採択してよい）
補足：投資利益率指標を利用する際の注意
投資案の投資利益率 r は，多次方程式の根（解）として求められる。
案の投資利益率ｒ ≦資本の利率 i
⇒ その投資案はペイしない。
（経済的にみて，その案は採択すべきでない）
P  2000  600   M  P 5
r
1
1 
 1
 2000  600  

 
0
2
1  r 5 
1  r 1  r 
P (i )
1000
従って，
数理的解析的に（数式を解いて），根（解）を求めることはできない。
投資利益率＝ 15.2%
コンピュータを使って，数値計算的に根（解）を求めるしかない。
0
0.10
i
0.20
複数の根（解）が存在する可能性がある（利回り法の限界の１つ）
34
投資案の回収期間
演習４：“投資利益率”指標による案の経済性評価
R
問1 ある省力機械に4,500万円投資すると，毎年800万円ずつ10年間
節減効果がある。この投資案の投資利益率（利回り）はいくらか。また，資
本コスト（資本の利率）が10％と予想されるとき，この投資は行うべきだろ
うか？
問2 今後毎期末に9年間70万円ずつを積み立てると，9年末に800万円
を受け取ることができる，この投資案の投資利益率を求めよ。
投資案の正味利益：

n
正味年価  R  C   P  M n
i
C
回収期間 N は，投資案の正味利益（現価，終価，年価）をゼロにする計
算期間である。
問3 あるゴルフクラブの会員券が2,000万円で売りに出ている。これを買
えば10年後に6,000万円になることが予想されるとき，この投資案の投資
利益率は何%か。
R  C   P  M N  0
i
（初期投資額を回収し終える期間Nのこと）
35
◆回収期間の求め方
（補足）
R  C   P  M N  0
i
 P  M N
i
38
より，
R
等報収型の投資案の回収期間 N は，次式から直接に求めることができる。
C
回収期間は，R/Cを計算して，次式を満足する N を係数表から探すことに
よって求めることができる（※資本の利率 i は与えられていることに注意）。
6%
7%
1
1.060
1.070
2
0.545
0.553
3

R 
log 

 R iC 
N
log 1  i 
R

10%
n
0.163
R
C
C

2016, Inada Laboratory, Keio University
5
各期末の資金残高（プロジェクト・バランス）
“回収期間”指標による案の採否の判断
600万円/年
5
案の計画期間n ＞回収期間N
⇒ その投資案はペイする。
（経済的にみて，その案を採択してよい）
i=10%
2,000万円
案の計画期間n ≦ 回収期間N
⇒ その投資案はペイしない。
（経済的にみて，その案は採択すべきでない）
S0  2000
S1  S0  1  0.1  600  1600
S 2  S1  1  0.1  600  1160
S3  S2  1  0.1  600  676
S 4  S3  1  0.1  600  143.6
Sn
S5  S4  1  0.1  600  442
R

n
n
C
41
単純回収期間と割引回収期間
演習５：“回収期間”指標による案の経済性評価
◆2種類の回収期間
問1 初期投資額が1,000万円，毎期末の報収250万円が10年間続く設
備投資案がある。この投資案の回収期間を求めよ。資本の利率は10％と
する。
1)単純回収期間
→金利（資本コスト）を考慮せずに計算した回収期間。
→初期投資額を年々の回収額で除して求められる。
→正味利益指標や投資利益率指標との理論的な整合性は取れない。
2)割引回収期間
→金利（資本コスト）を考慮して計算した回収期間
→本授業での回収期間は，こちらに該当する。
→ 正味利益指標や投資利益率指標との理論的な整合性が取れている。
問2 今，2,400万円の自動機械を購入すると，毎年の人件費が650万円
ずつ節減される。この自動機械の寿命が何年以上ならば，この投資はペイ
するか？資本の利率は８％とする。
問3 初期投資額が2,000万円，毎期末の報収が1,200万円で5年間続く
設備投資案がある。この投資案の毎期末の回収残高（プロジェクト・バラン
ス）と回収期間を求めよ。資本の利率は10％とする。
世の中一般で，回収期間というと単純期間を指していることがある。
43
本日のまとめ
44
お知らせ
◆投資案の経済性指標
講義時間中に配布した資料および演習問題の解答を，以下にアップ
しておきました。適宜，利用してください。
１）正味利益
→額の指標
→正味現価，正味年価，正味終価
２）投資利益率（利回り）
→率の指標
http://www.ae.keio.ac.jp/lab/ie/inada/EE_Keio.htm
３）回収期間
→期間の指標
 基本の指標は，“正味利益”である（正味利益>0ならば採用）。
 “投資利益率>資本の利率”ならば“正味利益>0”を保証する。
 “回収期間<計算期間”ならば“正味利益>0”を保証する。
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2016, Inada Laboratory, Keio University
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