2015年度 春学期 金曜4限 例題1-6：幾何平均と平均変化率 個のデータ の幾何平均： ⁄ ・・・・ 1に近い対数の近似値 応用計量経済分析 A ≒ ⇔ ≒ 1 とおけば、 ここで、 第4回 2015.5.1 担 当： 石 川 達 哉 （[email protected]） 変化率 ≒ 1 よって、 の関係にあれば、即ち、 が当期の値の前 期の値に対する倍率を示しているならば、 の幾何平均は変 の平均値に近似的に等しい 化率 教育用ホームページはhttp://www1.meijigakuin.ac.jp/~ishikawa 明治学院大学 2015年度 春学期 ［1に近い対数の近似値］ 無限回微分可能な関数 例題1-6のヒント のテーラー展開： ! ! さらに、それに１を加えた値を対象に、幾何平均を求める ! ! 例題1-7のヒント 0 ならば、マクローリン展開： 0 log 1 各データを％表示から小数表示に改め、 ⇒ 期間中の平均変化率 ・・・ ここで、 2 log 1 0＋ － ! ! ・・・ ! ! ex. 「期末の実質GDPが500兆円、期首の実質GDPが400兆円、 期間が5年間」ならば、年率換算平均成長率は「500/400＝ 1.25（倍）」の「1/5乗」を「％表示に変換」 （1を控除した後に 100倍）すればよい の場合、 ＋ よって、 が十分に小さければ、 － ・・・ 明治学院大学 2015年度 春学期 「期末は期首の何倍？」と「期間に応じた累乗根」 ⇒ ｛（500／400）1/5－1 ｝ × 100 ≒ 3 明治学院大学 2015年度 春学期 4 ［数年間にわたる平均成長率：べき乗概念の利用] 例題1-7：べき乗（累乗）、累乗根と平均変化率 「基準年」に対する「比較年」の倍率を求め、 1 次に、「基準年」から「比較年」までの経過年数nに基づいて、 その倍率に対するn乗根を求めた後、1を控除した値がn年間 の平均変化率を表す よって、この関係式を変形すれば、平均成長率が求められる 1 なお、n乗根は1/n乗 が0期から 期まで同一成長率 で推移したとすれば、 1 1 5 明治学院大学 2015年度 春学期 原数値X X1 X2 X3 X4 X5 X6 前期比（倍）Y ― X2/X1 X3/X2 X4/X3 X5/X4 X6/X5 対前期変化率(％) Z ― （ X2/X1－1）×100 （ X3/X2－1）×100 （ X4/X3－1）×100 （ X5/X4－1）×100 （ X6/X5－1）×100 X6 5期前比（倍） X6/X1 対5年前変化率の年率換算(％) ｛（ X6/X1 ） 1/5－1 ｝× 100 Y2～Y6の幾何平均＝｛（ Y2 × Y3 × Y4 × Y5 × Y6 ） ＝ ｛（ X6/X1 ） 1/5－1 ｝ × 100 1/5－1 1 6 ［戦後日本の経済成長史：5年間の変化率の推移］ 終戦後～1950年代前半：戦前の経済活動水準の回復、その後の経済発展の基礎 1950年代後半、1960年代：高度経済成長期 1970年代：２度の石油ショック、構造調整・構造転換 1980年代：安定成長、国際社会での地位 1980年代末、1990年代：バブルの生成と崩壊、景気の長期低迷 5年間の実質GDP成長率 1955～60年度 60～65年度 65～70年度 70～75年度 75～80年度 80～85年度 85～90年度 90～95年度 95～2000年度 2000～05年度 2005～10年度 2010～12年度 ｝× 100 （％表示に換算） 明治学院大学 2015年度 春学期 明治学院大学 2015年度 春学期 ［期間中の年率換算変化率と幾何平均］ 期 1 2 3 4 5 6 68SNAベース 8.9% 9.1% 10.9% 4.5% 4.3% 3.4% 4.8% 1.5% － － － － 93SNAベース － － － － － 4.3% 5.0% 1.4% 0.8% 1.2% 0.2% 1.1% ５年間の平均成長率(%) ＝ ｛（Xt/Xt-5）1/5－１｝×100 (資料)経済企画庁、内閣府「国民経済計算年報」 7 明治学院大学 2015年度 春学期 8 移動平均について ［３項移動平均について］ 3項移動平均：XMA＝（Ｘt-1＋ Ｘt ＋Ｘt+1 ）/ 3 5項移動平均：XMA＝（Ｘt-2＋ Ｘt-1 ＋ Ｘt ＋ Ｘt+1 ＋ Ｘt+2 ）/ 5 移動平均の意義：循環変動、季節変動、不規則変動など不必要な変動を単純な方法 で平滑化し、長期変動の方向を平易に見極めることができる 周期的な変動パターンが事前にわかっていれば、その周期に項数を合わせるとよい 単純かつ機械的な平滑化の方法であることには留意を要する（特に、移動平均するこ との合理的な根拠や経済的な意味が定かではない場合） 中心化4項移動平均 周期的変動 山 山 山 期 原数値 X 1 X1 Y1 は定義されない 2 X2 Ｙ2 ＝ （X1＋X2＋X3）/ 3 3 X3 Ｙ3 ＝ （X2＋X3＋X4）/ 3 4 X4 Ｙ4 ＝ （X3＋X4＋X5）/ 3 5 X5 Y5 ＝ （X4＋X5＋X6）/ 3 6 X6 Y6 は定義されない Excelのワークシート上で計算する場合には、各セルに AVERAGE関数を適用する ただし、定義されない期に対応するセルには、計算式 を入力しない、コピー＆ペーストもしないように注意 谷 谷 谷 １周期 （教科書） 9 明治学院大学 2015年度 春学期 明治学院大学 ［景気循環に関する基礎知識］ 景気循環：拡張期間と後退期間を合わせて１「循環」（谷～谷） 景気拡張期間：景気の谷～山 第１循環 景気後退期間：景気の山～谷 第２循環 第３循環 谷 c.f 趨勢と循環 循環変動のイメージ図 景気拡張期 山 山 山 谷 山 谷 谷 山 期 間 後退 全循環 山 谷 1951年6月 1951年10月 1951年10月 1954年1月 1954年11月 27ヵ月 10ヵ月 37ヵ月 1954年11月 1957年6月 1958年6月 31ヵ月 12ヵ月 43ヵ月 拡張 ４ヵ月 第４循環 1958年6月 1961年12月 1962年10月 42ヵ月 10ヵ月 52ヵ月 第５循環 1962年10月 1964年10月 1965年10月 24ヵ月 12ヵ月 36ヵ月 第６循環 1965年10月 1970年7月 1971年12月 57ヵ月 17ヵ月 74ヵ月 第７循環 1971年12月 1973年11月 1975年3月 23ヵ月 16ヵ月 39ヵ月 第８循環 1975年3月 1977年1月 1977年10月 22ヵ月 ９ヵ月 31ヵ月 第９循環 1977年10月 1980年2月 1983年2月 28ヵ月 36ヵ月 64ヵ月 山 １循環 景気拡張期 10 2015年度 春学期 ［戦後の景気循環］ 趨勢的成長と循環変動 ３項移動平均 Y 谷 景気後退期 景気後退期 谷 1983年2月 1985年6月 1986年11月 28ヵ月 17ヵ月 45ヵ月 1986年11月 1991年2月 1993年10月 51ヵ月 32ヵ月 83ヵ月 第12循環 1993年10月 1997年5月 1999年1月 43ヵ月 20ヵ月 63ヵ月 第13循環 1999年1月 2000年11月 2002年1月 22ヵ月 14ヵ月 36ヵ月 第14循環 2002年1月 2008年2月 2009年3月 73ヵ月 13ヵ月 86ヵ月 2009年3月 2012年4月 2012年11月 (暫定) (暫定) 37ヵ月 7ヵ月 44ヵ月 第15循環 １循環 谷 第10循環 第11循環 (参考)四半期基準日付 山 1951年4 ～6月 1954年1 ～3月 1957年4 ～6月 1961年10 ～12月 1964年10 ～12月 1970年7 ～9月 1973年10 ～12月 1977年1 ～3月 1980年1 ～3月 1985年4 ～6月 1991年1 ～3月 1997年4 ～6月 2000年10 ～12月 2008年1 ～3月 2009年4 ～6月 谷 1951年10 ～12月 1954年10 ～12月 1958年4 ～6月 1962年10 ～12月 1965年10 ～12月 1971年10 ～12月 1975年1 ～3月 1977年10 ～12月 1983年1 ～3月 1986年10 ～12月 1993年10 ～12月 1999年1 ～3月 2002年1 ～3月 2009年1 ～3月 2012年10 ～12月 (暫定) (暫定) (資料) 内閣府 明治学院大学 2015年度 春学期 11 明治学院大学 2015年度 春学期 12
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