物理学演習 IIB 問題 No.6 (量子力学 I)
2015 年 11 月 2 日
問題 1∼4 では, 1 次元のポテンシャル V (x) の中の質量 m の粒子の量子力学を考える。定常状態
のシュレーディンガー方程式は,
(
)
ℏ 2 d2
−
+ V (x) ψ(x) = Eψ(x)
2m dx2
(1)
である。それぞれの問題について, まずポテンシャルのグラフを描き, 問に答えよ。
1. 井戸型ポテンシャル
0
V (x) =
−V0
0
(x < −a : 領域 I)
(−a < x < a : 領域 II)
(x > a : 領域 III)
(2)
(V0 > 0)
の場合に, 束縛状態のエネルギー固有値 E (−V0 < E < 0) とその固有関数 ψ(x) を求めたい。
(a) 波動関数 ψ(x) が x = ±∞ で満たすべき境界条件を書け。
(b) シュレーディンガー方程式を解き, 領域 I, II, III の波動関数 ψI (x), ψII (x), ψIII (x) の関数
形をそれぞれ求めよ。ψI (x), ψIII (x) については, x = ±∞ での境界条件を満たすように
せよ。
(c) x = ±a で ψ(x) と ψ ′ (x) が連続であることから, エネルギー固有値 E を決める条件式を
求めよ。
√
(d) 束縛状態の個数は V0 の値によって変化する。 12 (N − 1)π <
1, 2, 3, · · · ) のとき, 束縛状態が N 個あることを示せ。
2mV0 a
<
ℏ
1
2Nπ
(N =
(e) この N 個の束縛状態の波動関数のパリティ（偶関数か奇関数か）は, エネルギーの小さい
順に, 偶, 奇, 偶, 奇, · · · であることを示せ。
2. 階段型ポテンシャル
{
V (x) =
0
V0
(x < 0 : 領域 I)
(x > 0 : 領域 II)
(V0 > 0)
(3)
の場合に, 領域 I の左側からエネルギー E (E > V0 ) の粒子が入射したときの波動関数は,
{
A eik1 x + Be−ik1 x (x < 0)
ψ(x) =
(4)
C eik2 x
(x > 0)
と書ける。ここで, A, B, C, k1 , k2 (k1 , k2 > 0) は定数である。x < 0 の第 1 項は入射波を, 第
2 項は反射波を, x > 0 の項は透過波を表している。
(a) k1 , k2 をエネルギー E を使って表わせ。
(b) x = 0 における ψ(x) と ψ ′ (x) の連続性から, 係数 A, B を C を使って表わせ。
(c) 確率の流れ密度は,
iℏ
j=−
2m
(
)
dψ ∗
∗ dψ
ψ
−
ψ
dx
dx
(5)
と定義される。入射波, 反射波, 透過波それぞれの確率の流れ密度 jI , jR , jT を求めよ。
1
(d) 反射率 (反射係数) R と透過率 (透過係数) T は, 確率の流れ密度の比
R=−
jR
,
jI
T =
jT
jI
(6)
によって定義される。今の場合の R, T を求めよ。また, R + T = 1 が成り立つことを確
かめよ。
3. 問題 2 で, 入射エネルギーが 0 < E < V0 のときの波動関数は,
{
A eikx + Be−ikx (x < 0)
ψ(x) =
C e−κx
(x > 0)
(7)
と書ける。ここで, A, B, C, k, κ (k, κ > 0) は定数である。
(a) k, κ をエネルギー E を使って表わせ。
(b) x = 0 における ψ(x) と ψ ′ (x) の連続性から, 係数 A, B を C を使って表わせ。
(c) 入射波, 反射波, 透過波の確率の流れ密度 jI , jR , jT を求めよ。
(d) 反射率 R と透過率 T を求めよ。また, R + T = 1 が成り立つことを確かめよ。
4. 箱型ポテンシャル
0
V (x) =
V0
0
(x < 0 : 領域 I)
(0 < x < a : 領域 II)
(x > a : 領域 III)
(V0 > 0)
(8)
の場合に, 領域 I の左側からエネルギー E (0 < E < V0 ) の粒子が入射したときの波動関数は,
ikx
−ikx
A e + Be
κx
−κx
ψ(x) =
Ce +De
F eikx
(x < 0)
(0 < x < a)
(x > a)
(9)
と書ける。ここで, A, B, C, D, F , k, κ (k, κ > 0) は定数である。
(a) k, κ をエネルギー E を使って表わせ。
(b) x = 0, a における ψ(x) と ψ ′ (x) の連続性から, 係数 A, B, C, D を F を使って表わせ。
(c) 領域 I における入射波と反射波, および, 領域 III における透過波の確率の流れ密度 jI , jR ,
jT を求めよ。
(d) 反射率 R と透過率 T を求めよ。また, R + T = 1 が成り立つことを確かめよ。
(e) κa ≫ 1 のとき, a が増加すると透過率 T は指数関数的に減少することを示せ。
2
5. 量子力学における演算子  のエルミート共役 † は, 任意の波動関数 ψ1 (r), ψ2 (r) に対する式
∫
∫
3
∗
d r (Âψ1 ) ψ2 = d3 r ψ1∗ † ψ2
(10)
によって定義される。Â, B̂ を演算子, c1 , c2 を複素数とするとき, 次の式が成り立つことを示せ。
(a) (c1  + c2 B̂)† = c∗1 † + c∗2 B̂ †
(b)
(ÂB̂)† = B̂ † †
(c)
(† )† = Â
(11)
6. 量子力学における演算子  がそのエルミート共役 † に等しいとき, つまり † =  のとき, Â
はエルミート演算子であるという。
(a) エルミート演算子の固有値は実数であることを示せ。
(b)  を任意の演算子とするとき, 演算子 †  はエルミート演算子であることを示せ。また,
その固有値はゼロ以上の実数であることを示せ。
7. 演算子
1
p̂ · p̂ + V (r̂)
(12)
2m
がエルミート演算子であることを示せ。ただし, これらの演算子の作用する波動関数 ψ(r) は,
|r| → ∞ で十分速くゼロに近づくとする。また, L̂, Ĥ については, (11) の (a), (b) を利用せよ。
r̂ = r,
p̂ = −iℏ∇,
L̂ = r̂ × p̂,
3
Ĥ =
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