制御システム設計第5回

制御システム設計第５回
～フィードバックとＰＩＤ制御系(1)～
東京都市大学工学部
機械システム工学科
野中謙一郎
http://www.cl.mse.tcu.ac.jp/lab/edu/dcs/
1.2
1.2
Reference
KP=1.00
KP=10.00
オーバーシュート
1
P制御
0.8
10.0
0.6
1.0
0.8
定常偏差
0.4
0.2
0.2
0
0
1
2
PI制御
0.6
0.4
0
PID制御
1
3
4
5
0
1
2
3
4
5
図8.7 P・PI・PID制御の応答
P制御の結果の応答のグラフ
P制御は定常偏差とオーバーシュートがトレードオフ（左），PIDは積分要素で定常偏差を抑制可能（右）
第5回
制御システム設計
1
フィードバック制御系
フィードバック制御系
目標値と制御量の誤差を用いて
計算した操作量で誤差を抑制
→
の伝達関数
1
⋅
1の場合
1
第5回
制御システム設計
2
フィードバック制御系の特性
フィードバック系の伝達関数
→
の伝達関数
:
:
1
安定性
伝達関数
の分母多項式
の根（特性方程式
0の解）の実部が全て負
定常偏差
誤差
1
最終値定理により，
の収束値 ∞ を計算
∞
lim
lim
→
→
オーバーシュート・振動性
伝達関数
の分母多項式（特性方程式）
の根の虚部が大きいと振動が発生
特に
が2次系の場合は，減衰係数が1以上で振動無
第5回
制御システム設計
3
フィードバック制御系のシミュレーション課題（前回課題）
下図のフィードバック制御系で制御ゲインを調整して，目標値と制御量の誤差
の定常偏差を可能な限り小さくする．ただし，オーバーシュートは生じさせない．
下記手順でゲインの範囲を求め，シミュレーションで確認せよ．
1. 目標値から制御量までの伝達関数
を求めよ．（表2.2の変形を用いる）
2. 伝達関数
の極から安定なの範囲を求めよ．
3. 定常偏差を最終値定理から計算せよ．
の分母多項式から，オーバーシュートを生じないの範囲を求めよ．
4. 伝達関数
5. 様々なK に対して，目標値をステップ入力としたフィードバック系のシミュレーションを
行い，2～4の結果に一致することを確認せよ．
Wordのレポートにまとめて，WebClassで提出する．
1.2
Reference
KP=1.00
KP=10.00
オーバーシュート
1
フィードバック制御系のブロック線図【例8.1】
0.8
10.0
0.6
1.0
定常偏差
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
制御量の応答のグラフ
第5回
制御システム設計
4
課題の解説（1,2）
1.目標値から制御量までの伝達関数
を求めよ．（表2.2の変形を用いる）
2.伝達関数
の極から安定なの範囲を求めよ．
1.
1
10
1
10
10
1
10
1
10
11
10
1
0 の解の実部が全て負 ⇔
2.
0かつ
∴伝達関数
（理由）
3.5.2 ラウス表による安定判別
1
の極から安定な
1
の範囲は，
3.5.３フルビッツ行列式による安定判別
0
特性方程式の根の実部が全て負
⇔ ラウス表の1列目が全て正
⇔
0 かつ
0
1
3.5.3 ラウスの安定判別法（p.57）
3.5.4 フルビッツの安定判別法（p.61）
0
となるので，小行列式は
1
と計算できる．これらが全て正になる条件より，
0 かつ
第5回
0
制御システム設計
5
課題の解説（3,4）
3.定常偏差を最終値定理から計算せよ．
の分母多項式から，オーバーシュートを生じない
4.伝達関数
の範囲を求めよ．
3.
目標値
制御量
10
11
10
伝達関数
1
1
目標値＝単位ステップ入力
1
最終値定理
∞
lim
lim
→
→
目標値u
1
4.
∞
11
1
1
1
0.8
10.0
0.6
1.0
定常偏差
0.5
計算
0.4
0.2
10
10
1
11 ⇔
11
2
係数を比較して
オーバーシュートを無 ⇔
第5回
1
1 で 0.5
10 で 1/11 ≅ 0.091
1
1
1
10
1との定常偏差
Reference
KP=1.00
KP=10.00
オーバーシュート
10
0
→
2次系の標準形
2
1.2
1/
ステップ応答の収束値
1
∞
lim
lim
→
1 計算
≅ 0.091
11
lim
→
11
1⇔ 2
2
0
0
1
2
3
4
5
制御量の応答のグラフ
10
1
⇔
11
2
1
⇔
制御システム設計
11
2
10
1
⇔
81
40
2.025
6
フィードバック制御系のシミュレーション演習（前回課題より）
下図のフィードバック制御系で制御ゲインを調整して，目標値と制御量の誤差
の定常偏差を可能な限り小さくする．ただし，オーバーシュートは生じさせない．
下記のゲインの範囲をそれぞれシミュレーションで求め，上記のを求めよ．
a. フィードバック系が安定になるの範囲を求めよ．（制御量が収束する）
b. 定常偏差（誤差の収束値）との関係をプロットせよ．（下図に0.5刻み）
c. オーバーシュートを生じないの範囲を求めよ．（プログラムで表示する極も確認）
1.2
Reference
KP=1.00
KP=10.00
オーバーシュート
1
フィードバック制御系（P制御）のブロック線図【例8.1】
定常偏差
0.8
10.0
0.6
1.0
定常偏差
0.4
2.0
0.2
0
0
1
2
3
4
5
制御量の応答のグラフ
1.0
WebClassに
確認結果を入力
1
0.5
0
0.5
第5回
1.0
1.5
2.0
2.5
制御システム設計
7
フィードバック制御系のシミュレーション演習（解説）
下図のフィードバック制御系で制御ゲインを調整して，目標値と制御量の誤差
の定常偏差を可能な限り小さくする．ただし，オーバーシュートは生じさせない．
下記のゲインの範囲をそれぞれシミュレーションで求め，上記のを求めよ．
a. フィードバック系が安定になるの範囲を求めよ．（制御量が収束する）
b. 定常偏差（誤差の収束値）との関係をプロットせよ．（下図に0.5刻み）
c. オーバーシュートを生じないの範囲を求めよ．（プログラムで表示する極も確認）
1.2
Reference
KP=1.00
KP=10.00
オーバーシュート
1
フィードバック制御系のブロック線図【例8.1】
定常偏差
1で
1
定常偏差∞
∞
0.8
10.0
0.6
1.0
0.4
0.2
2.0
振動
(b)
第5回
.
(a)
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
制御量の応答のグラフ
1.0
(c)
定常偏差
0
0.5
1.0
1.5
制御システム設計
2.0
a.
b.
2.5
c.
1
増加で定常偏差は
零に収束
2.025で振動無し
8
PID制御系（8.2節）
P制御（Proportional control）
誤差に比例した操作量
(8.4)
比例ゲイン大で誤差小（不安定化）
定常偏差が残る
PI制御（Proportional‐Integral control）
誤差に比例＋積分した操作量
(8.5)
定常偏差は零，収束が遅い，オーバーシュート
PID制御（Proportional ‐Integral‐Derivative control）
誤差に比例＋積分＋微分した操作量
(8.11)
1.2
定常偏差は零，過渡応答を改善
1
P制御
PID制御系のシミュレーション（レポート）
定常偏差は可能な限り小さく．オーバーシュートは無．
P制御，PI制御，PID制御のベストのパラメータを求める．
PI制御，PID制御で定常偏差が零になる理由を説明
（最終値定理で誤差
の収束値 ∞ を計算）
PID制御
0.8
PI制御
0.6
0.4
10
11
0.2
0
0
1
2
3
10
4
5
図8.7 P・PI・PID制御の応答
2014年前期
制御システム設計
10

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