プラトンの正多面体

【正多面体が５つしかないことの証明】（高１レベル以上）
正多面体（プラトンの立体）とは
・すべての面が同一の正多角形である
・すべての頂点において接する面の数が等しい
以上の条件をともに満たす多面体である。
実際にそのような多面体を考えると，以下の５つしか存在しない。
和名
英語名
構成面
頂点の数
辺の数
正四面体
The tetrahedron
正三角形
4
6
正六面体（立方体）
The hexahedron
正方形
8
12
正八面体
The octahedron
正三角形
6
12
正十二面体
The dodecahedron
正五角形
20
30
正二十面体
The icosahedron
正三角形
12
30
この５つ以外には存在しないことを証明しよう。
多面体では一般的に次のことがいえる。
(1) 1 つの頂点に集まる面の数は 3 以上である
(2) 1 つの頂点のまわりの角の大きさの和は 360◦ より小さい
また，正 n 角形において，内角の和が (n − 2) × 180◦ であることから，
1 つの内角は
n−2
× 180◦
n
これらを利用すると，次の証明ができる。
証明１）正 n 角形が 1 つの頂点に k 個集まっているとすると，n, k はともに 3 以上の整数である。
µ
また,
¶
n−2
× 180 × k < 360 が成り立つから，
n
k(n − 2) < 2n
k(n − 2) − 2n < 0
k(n − 2) − 2(n − 2) < 4
(n − 2)(k − 2) < 4
ここで, n ≧ 3 かつ k ≧ 3 より,
n − 2 ≧ 1 かつ k − 2 ≧ 1
n, k はともに整数だから, (n − 2, k − 2) = (1, 1), (2, 1), (1, 2), (3, 1), (1, 3) となり，
2 数 n, k の組は, (n, k) = (3, 3), (4, 3), (3, 4), (5, 3), (3, 5) の 5 組である。¥
これらは，それぞれ正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正二十面体を表している。
1
また，次の定理を利用した証明も可能である。
【オイラーの多面体定理】
多面体において，頂点の数を v ，辺の数を e，面の数を f とすると，
v−e+f =2
が成り立つ。ただし，穴の開いていない多面体に限る。
さらに，正 n 角形が 1 つの頂点に k 個集まっているとすると，
・各面に n 個の頂点があり，面の数が f であるから，合計で nf 個の頂点が考えられるが，
nf
となる。
k
・各面に n 個の辺があり，面の数が f であるから，合計で nf 個の辺が考えられるが，
1 つの頂点を k 個の面で共有するから，頂点の数は v =
1 つの辺を 2 つの面で共有するから，辺の数は e =
nf
となる。
2
これらを用いて証明を行う。
証明２）
多面体の頂点の数を v ，辺の数を e，面の数を f とし，1 つの頂点に正 n 角形が k 個
集まっているとする。
オイラーの多面体定理より
v=
v−e+f =2
nf
nf
, e=
が成り立つから，上の式に代入すると
k
2
nf
nf
−
+f =2
k
2
n
n
2
−
+1=
k
2
f
2n − nk + 2k =
ここで，−
4k
f
nk − 2k − 2n = −
4k
f
k(n − 2) − 2n = −
4k
f
4k
< 0 より
f
· · · · · · (∗)
k(n − 2) − 2n < 0
まだ証明の途中であるが，あとは証明１のように処理をすればよい。
※オイラーの多面体定理を用いたことの利点は大きい。それは，求めた (n, k) の値から v, e, f の
値を直に計算できることである。
2
(∗) より
k(n − 2) − 2(n − 2) − 4 = −
4k
f
(n − 2)(k − 2) − 4 = −
4k
f
4 − (n − 2)(k − 2) =
したがって
v=
f=
4k
f
4k
4 − (n − 2)(k − 2)
nf
nf
, e=
より
k
2
v=
4k
n
4n
×
=
4 − (n − 2)(k − 2)
k
4 − (n − 2)(k − 2)
e=
4k
n
2nk
×
=
4 − (n − 2)(k − 2)
2
4 − (n − 2)(k − 2)
これを用いると，条件を満たす多面体は
(n, k, v, e, f ) = (3, 3, 4, 6, 4),
· · · · · · 正四面体
(4, 3, 8, 12, 6),
· · · · · · 正六面体
(3, 4, 6, 12, 8),
· · · · · · 正八面体
(5, 3, 20, 30, 12),
· · · · · · 正十二面体
(3, 5, 12, 30, 20)
· · · · · · 正二十面体
確かに，この５つ以外には存在しない。（本当に存在するかどうかは示されていないが……。）
完
3

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