鏡像による多面体の作成 H2904 木下侑里香研究概要  鏡像の性質を用いて多面体を作るために万華鏡のミラーシステムの一つであるテーパードミラーを利用し、出来る三角錐の各辺の長さを求め、実際に作成する研究動機去年、平面で鏡像の広がりについて研究して、今回はさらに鏡像で立体ができるのではないかと考え、実証したいと思った  テーパードミラーを見たときに立体に像が出来ていたので、それを利用して今度は逆に作りたい立体を定めてテーパードミラーを作ることに挑戦したいと考えた  テーパードミラーとは？三角錐の先端をカットしたような形  断面は正三角形  研究１  平面図形の時、鏡像を作るには鏡の置く場所を鏡像の線対称になるところであった →立体も同じようにすればできるのでは？対称面に鏡を置くと多面体ができる研究２名刺の各頂点を繋いでいくと … →１つの頂点に５本の線分が集まっているこの多面体は二十面体各面、正三角形なのではないか？ x 1 1-x 1 名刺の縦の長さを１、横の長さを x とすると 1: x 短い辺：長い辺 = 残りの長方形の辺の長さの比は短い辺：長い辺= x  x 1  0 2 ( x  1) : 1 x 1 5  1.618033989... 2  1 5  1.618033989 ... とすると左図の青い線分の長さは・・・ 2 (  0) 2  (0  1) 2  (1   ) 2 z (0, -1, φ)  2(    1)  4 (-φ, 0, 1) 2 (0, 1, φ) (1, -φ, 0) 2 (φ, 0, 1) (-1, φ, 0) y x (1, φ, 0) (φ, 0, 1) (0, 1, φ) よって、この多面体が一辺2cmの正二十面体であることがわかる研究３正二十面体の各面の重心を結んで切り取ると、正十二面体ができる z A1 A5 G5 G1 P G4 A2 G2 x A4 G3 y A3 正二十面体・頂点→１２・面→２０正十二面体・頂点→２０・面→１２研究４ P  (0,1,  ) A1  (0,  1,  ) A3  (1,  , 0 ) A4  ( 1,  , 0 ) A5  (   , 0,1) S R A1 Q M N G1 c A5 G5 P A2 2  1   G1   , 0,  3  3  2  1   G3   0, ,  3 3  A2  (  , 0,1) G4 L   1  1  1  G2   , ,  O 3 3 3   G2   1  1  1  G4    , ,  3 3 3   A4 G3 A3 2 2 2 22 12  2 2 2 2 2   2   1 G5    2,0,    5 81  52  1   252 113 8  213 8 . 16180339  2 GOM M        1 ...    ...... 15 .0902113 PG 1. 14120226 .5393446  1.1547005 ... ... ... OL 31G  ... 1.2011381 NL  0.7816424     ... .5773502 ON N OG  3 1.05115226 ... OP MP 5  5 (43)  3)3  333(3433(4333) 3 3(433  点L, M, Nの座標点Mは線分PA1 の中点なので、 M 点Nは線分 G1G5 の中点より、  ( 0, 0,  ) 2  1   N   0, 0,  3   点Lは、yz 平面上にあるため、２直線OP とNG3 の交点として求めることができる NG3 : z    1 2  1 y 2  1 3 OP : z  y  8  5 13  8 L   0, ,  3(4  3) 3(4  3)     三角錐の各辺の長さ OP  1   2  1.902113 ... OM    1.6180339...    2  1  OG5         1.5115226...  3  3  2  1 ON   1.4120226 ... 3 2 2 2 2  8  5   13  5       1.2011381... OL     3(4  3)   3(4  3)  2  1     2 PG5     1       1.1547005... 3  3  2 2 2  1     G5 M          0.5773502... 3  3  2 2 MP  1 G5 N   3  0.5393446 ... 2 2  8  5   13  8 2  1       0.7816424... NL    3   3(4  3   3(4  3) 研究５ 6.5cm C D B P 7.65cm 3.2cm M L N G5 2cm L 2cm 3.2cm P A 10cm四方のポリカーボネート板から、左図のようにけがいていく今後の発展・参考文献  三角錐の鏡の鏡像によって、正十二面体・正二十面体ができることが分かったのでこれをさらに利用して、新たな図形をつくっていきたい。・万華鏡博物館（大熊進一）  ・華麗な夢の世界～万華鏡～（照木公子）  ・プラトンの立体  http://www.dimensions-math.org/Dim_CH2_JP.htm  ・多面体の科学  http://www.h4.dion.ne.jp/~yh543/kagaku.html  ご静聴ありがとうございました！