4. 線形空間V —実対称行列，エルミート行列，直交行列，ユニタリー行列

4. 線形空間 V —実対称行列，エルミート行列，直交行列，ユニタリー行列（Rn , Cn の内積と関係する行列）
• Rn 上の内積を (x, y)R と書く：



(x, y)R =
xk yk = (x1 , x2 , . . . , xn ) 

k=1
n
∑
y1
y2
..
.


 t
 = xy ．

yn
対応して，Rn のベクトルの長さも ||x||R と書く．
• Cn 上の内積を (z, w)C と書く：



(z, w)C =
zk wk = (z1 , z2 , . . . , zn ) 

k=1
n
∑
w1
w2
..
.


 t
 = zw．

wn
対応して，Cn のベクトルの長さも ||z||C と書く．
基本公式
(1) n 次実正方行列 A に対して，(Ax, y)R = (x, tAy)R
(2) n 次複素正方行列 A に対して，(Az, w)C = (z, A∗ w)C ．ここで A∗ = t A .
[証明]
(1) (Ax, y)R = t (Ax)y = t x tAy = t x (tAy) = (x, tAy)
(( R .) )
(
)
t
t t
t
t
t
(2) (Az, w)C = (Az)w = z Aw = z ( Aw) = z t A w = t z t Aw = (z, t Aw)C .
4.5-1 実対称行列，エルミート行列
実対称行列，エルミート行列の基本的性質
(1) A: n 次実対称行列 A（tA = A を満たす行列）=⇒ (Ax, y)R = (x, Ay)R ．
(2) A: n 次エルミート行列 A（A∗ = A を満たす行列）=⇒ (Az, w)C = (z, Aw)C ．
[証明] 基本公式より明らか．（注: 実は逆も成り立つ．
）
4.5-2 直交行列，ユニタリー行列
直交行列，ユニタリー行列の定義
(1) Q を n 次実行列とし，Q の各列をベクトルと見なして q1 , q2 , . . . , qn と表す: Q =
(q1 , q2 , . . . , qn ). これらのベクトル q1 , q2 , . . . , qn が Rn の内積 (·, ·)R に関して正
規直交系となっているとき行列 Q を直交行列という．
(2) U を n 次複素行列とし，U の各列をベクトルと見なして u1 , u2 , . . . , un と表す:
U = (u1 , u2 , . . . , un ). これらのベクトル u1 , u2 , . . . , un が Cn の内積 (·, ·)C に関
して正規直交系となっているとき行列 U をユニタリー行列という．
1
例
(
(
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
)
(
(θ は実数)，
eiα cos θ −eiβ sin θ
e−iβ sin θ e−iα cos θ
)
)
0 1
1 1
：直交行列
(α, β, θ は実数)：ユニタリー行列


√
√
√ 
√
√
√ 
1/ 6 1/ 3
1/ 2
1/ 6 1/ 3
i/ 2
√
√
√
 √



：直交行列， 2i/ 6 −i/ 3
：ユニタリー行列
0
0
 2/√6 −1/√ 3

√
√
√
√ 
1/ 6 1/ 3 −1/ 2
1/ 6 1/ 3 −i/ 2
（例題 4.5 参照）
直交行列，ユニタリー行列の基本的性質
(1) Q: 直交行列
⇐⇒
t
⇐⇒
Q−1 = t Q
⇐⇒
t
QQ = E
QQ = Q tQ = E
(2) Q: 直交行列 =⇒ (Qx, Qy)R = (x, y)R ．とくに，||Qx||R = ||x||R .
(3) U : ユニタリー行列
⇐⇒
U ∗U = E
⇐⇒
U −1 = U ∗
⇐⇒
U ∗U = U U ∗ = E
(4) U : ユニタリー行列 =⇒ (U z, U w)C = (z, w)C ．とくに，||U z||C = ||z||C .
[証明]



(1) Q = (q1 , q2 , . . . , qn ) とすると， Q = 

t
t
q1
t
q2
..
.
t

t


QQ=

t
q1
t
q2
..
.
t



=





 であるから，

qn





 (q1 , q2 , . . . , qn ) = 


t
q1 q1
t
q2 q1
..
.
q1 q2 · · ·
t
q2 q2 · · ·
..
.
t
t
q1 qn
t
q2 qn
..
.
qn q1 t qn q2 · · · t qn qn
 
1 0 ··· 0
(q1 , qn )


(q2 , qn )   0 1 · · · 0
 =  .. ..
..
..
  . .
.
.





t
qn
(q1 , q1 ) (q1 , q2 ) · · ·
(q2 , q1 ) (q2 , q2 ) · · ·
..
..
.
.
(qn , q1 ) (qn , q2 ) · · ·
(qn , qn )
0 0 ···
残りの同値関係は，逆行列の性質より明らか．
(2) 基本公式と (1) を用いると
(Qx, Qy)R = (x, t Q Qy)R = (x, Ey)R = (x, y)R .
(3), (4) も同様に証明できる．
2
1






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