微積 (I) 極座標で表された曲線

微積 (I) 極座標で表された曲線
クラス
三角関数のグラフ
1
y = sin x のグラフをもとに、次の関数のグラフをかけ。(数ナビは使わないこと。)
(1) y = 2 sin x, sin 2x, y = sin x
(2) y = − sin x, y = 1 − sin x, 2 sin x − 1
2
y
O
2
1
1
O
2π x
π
(1)
(2)
−1
−1
−2
−2
y = a sin nx + b の、a, b, n の意味について、理解できているか。
理解している
チェック
θ
0
π/6
π/3
π/2
2π/3
5π/6
π
7π/6
4π/3
3π/2
5π/3
11π/6
2π
r
0
1/2
3/2
2
3/2
1/2
0
1/2
3/2
2
3/2
1/2
0
θ
0
π/6
π/3
π/2
2π/3
5π/6
π
7π/6
4π/3
3π/2
5π/3
11π/6
2π
r
3
2.7
2
1
0
−0.7
−1
−0.7
0
1
2
2.7
3
(1)
2π x
π
よく分からない
曲線 y = f (x)
直交座標では、原点で直交する 2 本の数直線をもとに点を表す。そのとき、「曲線 y = f (x)」は x
曲線ができる。
例 1)
2
(2)
y 3
y 3
2
2
1
1
−3 −2 −1 O
を変化させると y = f (x) が変化し、したがって点 (x, y) も変化する。そのような点 (x, y) が動いて
氏名
r = f (θ) が次の表のような変化をするとき、そのグラフをかけ。ただし、r < 0 のときは、
(−r, θ + π) の点をとるものとする。
y
2
番号
1
2
3
x
−3 −2 −1 O
1
−1
−1
−2
−2
−3
−3
x
3
直交座標で y = f (x) のグラフをかけ。次に、変数 x, y を θ, r に変えて、極座標による r = f (θ)
のグラフをかけ。
曲線 y = 1 + cos 2x
x
0
π/6
π/3
y
2
3/2
1/2
y
π/2
2π/3
5π/6
π
0
1/2
3/2
2
π
この曲線は、x が 0 から
までの間では、x が増えるにつ
2
π から π の間では、x
れ y は 2 から 0 まで減少する。x が
2
の増加につれ y は 0 から 2 まで増加する。そして、x が π か
ら 2π の間では、同じ動きを繰り返す。
極座標による曲線
2
減少
(1) 直交座標 y = cos 2x
増加
y
極座標 r = cos 2θ
y 1
2
0.5
1
O
π
2
π
3π
2
2π x
π
2
O
π
−1
3π
2
2πx
−1
−0.5
O
1
x
0.5
1
x
−2
化すると r が変化し、したがって点 (r, θ) も変化して曲線ができる。
例 2) 曲線 r = 1 + cos 2θ
θ
0
π/6
π/3
π/2
2π/3
5π/6
π
r
2
3/2
1/2
0
1/2
3/2
2
π までの間では、偏角 θ が増える
2
π から π の間
につれ距離 r は 2 から 0 まで減少する。θ が
2
では、θ の増加につれ r は 0 から 2 まで増加する。そして、
θ が π から 2π の間では、同じ動きを繰り返す。
この曲線は、θ が 0 から
0.5
−0.5
r = f (θ)
極座標において、極からの距離 r が偏角 θ の関数として r = f (θ) と表されているとする。θ が変
チェック
2
y
r が減少
r が増加
−1
(2) 直交座標 y = cos x
2
y
−2
O
y 1
2
2 x
0.5
1
π
O
2π
3π
4πx
−1
−0.5
O
−1
直交座標で y = 1 + cos 2x の x の変化に対する y の変化と、極座標で r = 1 + cos 2θ の
θ の変化に対する r の変化とは同一である。このことは理解できたか。
理解できた
θ
2
極座標 r = cos
分からなかった
−0.5
−2
−1
¾
»
直交座標 (x, y) と極座標 (r, θ) との間には、次のような関係がある。
(
½
x = r cos θ
,
y = r sin θ
(
(3) (2) のグラフをもとに、r =
p
r = x2 + y 2
y
tan θ =
x
ラフをかけ。
y 3
¼
1
1
のグ (4) r =
を直交座標に直すと、
1 + cos θ
1 + cos θ
³
´
y 2 = −2 x − 1
2
2
となることを示せ。
1
3
次の方程式を、極座標で r = f (θ) の形で表せ。
(1) x = 1
(2) y = 2
(3) x + y = 1
(4) x2 + y 2 = 4
−3 −2 −1 O
4
5
3
cos θ
(3) r = 4 sin θ
(4) r = cos θ
次の問に答えよ。
(1) y = 13+ cos x のグラフをかけ。
(2) (1) のグラフを元にして、y =
y 2
1
の
1 + cos x
グラフをかけ
y 3
1
2
O
π
2π x
1
−1
O
π
−1
−2
x
−3
次の方程式を直交座標で、x, y の方程式に直せ。
(2) r =
3
−2
(6) y 2 = 4x
(1) r = 1
2
−1
6
(5) x2 + y 2 = 2x
1
2π x
¤ ¡¤
¤
¡
¡
数ナビで、 £MODE ¢の「Graph」を「3: Polar」にすると、 £ ¢£F1 ¢で極座標の関数を定義で
2
のグラフがどのようになるかを観察せよ。
きる。n の値に応じて r =
2
+
cos
nθ
¤ ¡¤
¡
ただし、 £ ¢£F1 ¢の変数は、t, x ではなく θ (π の箇所のキー) を用いること。θ の範囲は n の
値により必要に応じて変更せよ。x, y は −3.2 <
=x<
= 3.2, − 1.6 <
=y<
= 1.6 とする。
2
グラフの特徴が把握できたら、直交座標の y =
のグラフをもとに、そのようなグ
2 + cos nx
ラフになる理由を考察せよ。

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