高認数学第 26 講---三角比(6)---正弦定理

高認数学
第 26 講---三角比(6)---正弦定理
今回の授業の目標
正弦定理を使いこなせるようになろう．
＜重要＞
正弦定理―――証明は理解できなくても高認には受かります．
△ABC の外接円の半径を R とすると，次の正弦定理が成り立つ．
a = b = c = 2R
sin A sin B
sin C
（証明）
まずは中学校の復習を 2 点。
① 同一の弧に対する円周角の大きさは一定で，中心角の大きさの半分である．
② 円に内接する四角形において，対角の和は 180° である．
では，正弦定理を証明します． A の大きさによって 3 通りに場合分けします．
外心を O とし，直線 OC と外接円の交点のうち C ではない点を D とする．
(1) A< 90° のとき
C
A
(2) A= 90° のとき
B＝D
・
O
D
(3) A> 90° のとき
C
・
O
・
O
C
B
D
A
A
B
円周角の性質より
sin A= sin 90°=1 より
A + D =180° より
A = D ……①
a = 2R = 2R sin A
sin D = sin(180°− A)
△DBC に着目して
sin D = BC = a …②
2R
CD
①②より
∴ a = 2R
sin A
(1)(2)(3)いずれの場合も
が示せるので，
∴
a = 2R
sin A
= sin A
……①
△DBC に着目して
sin D = BC = a …②
CD
2R
①②より
∴ a = 2R
sin A
a = 2R を得る．同様にして b = 2R ， c = 2R
sin A
sin B
sin C
a = b = c = 2R が証明された．
sin A sin B
sin C
問 1 ＜高認に出た！平成 18 年度第 2 回第 6 問 4＞
右の図の三角形 ABC において，
∠A = 45° ， ∠B = 60° ，BC＝ 2 3 cm である．
このとき，AC の長さはカキ cm である．
問 2 ＜高認に出た！平成 20 年度第 1 回第 6 問 4＞
右の図の三角形 ABC において，
∠A = 45° ， ∠B = 30° ，BC＝6cm である．
このとき，AC の長さはキク cm である．
問 3 ＜高認に出た！平成 19 年度第 1 回第 6 問 4＞
右の図の三角形 ABC において，
∠A = 45° ， ∠B =120° ，BC＝ 3 cm である．
このとき，AC の長さは
カキ
cm である．
ク
問 4 ＜高認に出た！平成 17 年度第 2 回第 6 問 4＞
下の図のように，川岸に 100m 離れた 2 地点 A，B があり，対岸に地点 C がある．
測量によって ∠ABC = 45° ， ∠BAC =105° であることが計測された．このとき，2
地点 A，C 間の距離を求めると，クケコサ m である．

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