§6.8
余弦定理
定 理（ 余 弦 定 理 ）
平面上の相異なる 3 点
C
A , B , C を頂点とする三角形 ABC において，
AB = c ,
b
BC = a ,
CA = b ,
A
A=A ,
6
A
a
とおくと，
c
2
2
2
a = b + c − 2bc cosA .
B
xy 座 標 平 面 に お い て 点 O , B′ , C′ を 次 の よ う に 定 め る： O = (0 , 0) ；
証明
B′ = (c , 0) ； 始線 Ox に対する線分 OC′ の角度は A で， OC′ = b ． このとき，
C′
y
OB′ = c = AB ,
OC′ = b = AC ,
C′ OB′ = A = 6 A .
6
b
従って三角形 OB′ C′ と三角形 ABC とは合
角度 A
同である． よって
O
a = BC = B′ C′ .
B′
c x
c
OC′ = b で，始線 Ox に対する線分 OC′ の角度は A なので，定理 6.4.4 より
C′ = (b cosA , b sin A) .
更に B′ = (c , 0) なので，定理 6.0 より，
2
B′ C′ = (b cosA − c)2 + (b sinA)2 = b2 (cos A)2 − 2bc cosA + c2 + b2 (sin A)2
= b2 {(sin A)2 + (cosA)2 } + c2 − 2bc cosA .
定理 6.4.2 より (sin A)2 + (cosA)2 = 1 なので，
b2 {(sin A)2 + (cosA)2 } + c2 − 2bc cosA = b2 + c2 − 2bc cosA .
よって
2
B′ C′ = b2 + c2 − 2bc cosA .
B′ C′ = BC = a なので， a2 = b2 + c2 − 2bc cosA ．
（証明終り）
相異なる 3 点 A , B , C を頂点とする三角形 ABC において，余弦定理より，
2
2
2
B
BC = AB + AC − 2 AB AC cos 6 A .
こ こ で ， 内 角 BAC が 直 角 で あ る と す る と ，
6
A = 90◦ より cos 6 A = cos90◦ = 0 なので，
2
2
2
C
BC = AB + AC .
A
これはピタゴラスの定理（三平方の定理）です． このように，ピタゴラスの定理は余
弦定理の特殊な場合です．
平面上の相異なる 3 点 A , B , C を頂点とする三角形 ABC において，余弦定理よ
2
2
2
り，例えば BC = AB + AC − 2 AB AC sin 6 A ． このように，余弦定理は三角形の
3 辺の長さと 1 つの内角の大きさとの間の関係を述べます． ですから，余弦定理に
よって次のような計算ができます．
・三角形の 2 辺の長さと 1 つの内角の大きさとから他の辺の長さを求める．
・三角形の 3 辺の長さから内角の大きさを求める．
例題
平面上の相異なる 3 点 A , B , C を頂点とする三角形 ABC において， AB = 3 ,
BC = 5 ,
B = 60◦ とする． 辺 AC の長さを求める．
6
余弦定理より
2
2
A
2
AC = AB + BC − 2 AB BC
2
2
= 3 + 5 − 2 · 3 · 5 · cos60
= 9 + 25 − 30 ·
cos 6
B
3
◦
60◦
B
1
2
5
= 19 .
√
AC ≥ 0 なので AC =
C
19 ．
終
問題 6.8.1
平面上の相異なる 3 点 A , B , C を頂点とする三角形 ABC において，
√
AC = 4 , AC = 3 , 6 A = 30◦ とします． 辺 BC の長さを求めなさい．
問題 6.8.2
平面上の相異なる 3 点 A , B , C を頂点とする三角形 ABC において，
AC = 3 , BC = 4 ,
例題
6
C = 120◦ とします． 辺 AB の長さを求めなさい．
平面上の相異なる 3 点 A , B , C を頂点とする三角形 ABC において， AB = 8 ,
AC = 7 ,
6
B = 60◦ とする． BC を求める．
A
〔解説〕 余弦定理より
2
2
2
AC = AB + BC − 2 ABBC cos 6 B .
a = BC とおくと，
8
49 = a2 + 64 − 2 · 8 · a · cos 60◦ ,
a2 − 8a + 15 = 0 ， (a − 3)(a − 5) = 0 ， a = 3
7
7
C1
C2
60◦
ま た は a = 5 ． つ ま り BC = 3 ま た は
B
BC = 5 ． どちらの場合もあり得る．
終
問題 6.8.3
平面上の相異なる 3 点 A , B , C を頂点とする三角形 ABC において，
√
AB = 5 , BC = 13 , 6 BAC = 45◦ とします． AC を求めなさい．
例題
平面上の相異なる 3 点 A , B , C を頂点とす
る三角形 ABC において，
√
AB = 2 ,
BC = 2 ,
√
3
A,
6
CA = 1 +
とする． この三角形 ABC の内角
C,
6
6
C
1+
B
A
の各々の大きさをこの順序で求める．
2
2
√
3
2
√
2
B
2
余弦定理より AB = AC + BC − 2 ACBC cos 6 C なので，
√ √
√ 2 √
22 = 1 + 3 + 2 2 − 2 1 + 3 2 cos 6 C ,
√
√ √ √
2 1 + 3 2 cos 6 C = 1 + 2 3 + 3 + 2 − 2 = 2 1 + 3 ,
1
cos 6 C = √ ,
2
これより
6
2
2
2
C = 45◦ ． 余弦定理より BC = AB + AC − 2 ACBC cos 6 A なので，
√ √ 2
√ 2
2 = 22 + 1 + 3 − 2 · 2 · 1 + 3 cos 6 A ,
√ √
√
4 1 + 3 cos 6 A = 4 + 1 + 2 3 + 3 − 2 = 6 + 2 3 ,
√ √
2 1 + 3 cos 6 A = 3 + 3 ,
根号が現れる分数の分母を有理化によって計算する．
√ √ √
√
√
√
3+ 3 1− 3
3+ 3
3−3 3 + 3 −3
−2 3
6
√ =
√ √ =
√ =
cos A =
2 · (−2)
2 1+ 3
2 1+ 3 1− 3
2 1 − 32
√
3
=
.
2
これより 6 A = 30◦ ． 更に，
6
問題 6.8.4
B = 180◦ − 6 A − 6 C = 180◦ − 30◦ − 45◦ = 115◦ .
終
平面上の相異なる 3 点 A , B , C を頂点とする三角形 ABC において，
√
√
AB = 1 + 3 ,
BC = 6 ,
AC = 2
とします． この三角形 ABC の内角
6
A,
6
B,
6
C の各々の大きさをこの順序で求め
なさい．
例題
平面上の相異なる 3 点 A , B , C を頂点とする三角形 ABC において，
AB = 4 ,
とする． 内角 BAC の大きさ
6
AC = 5 ,
BC = 7
A の余弦 cos 6 A を求め，内角 BAC の大きさ
6
A
の正弦 sin 6 A を求め，三角形 ABC の面積を求める．
2
2
2
〔解説〕 余弦定理より BC = AB + AC − 2 ABAC cos 6 A なので，
72 = 42 + 52 − 2 · 4 · 5 cos 6 A ,
40 cos 6 A = 8 ,
1
cos 6 A = .
5
(sin 6 A)2 + (cos 6 A)2 = 1 なので，
(sin 6 A)2 = 1 − (cos 6 A)2 = 1 −
2
1
24
=
.
5
25
0◦ ≤ 6 A ≤ 180◦ なので sin 6 A ≥ 0 ，よって
√
r
2 6
24
sin 6 A =
=
.
25
5
三角形 ABC の面積は
問題 6.8.5
√
√
2 6
1
1
=4 6 .
AB AC sin 6 A = · 4 · 5 ·
2
2
5
終
平面上の相異なる 3 点 A , B , C を頂点とする三角形 ABC において，
AB = 4 ,
AC = 7 ,
BC = 9
とします．
(1) 内角 BAC の大きさ
(2) 内角 BAC の大きさ
A の余弦 cos 6 A を求めなさい．
6
6
A の正弦 sin 6 A を求めなさい．
(3) 三角形 ABC の面積を求めなさい．
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