講義ノート11

第８章剛体
8-1 剛体の弾性
固体もバネと同様，力を加えると変形する（変形量は小）．
変形が小さい時，以下の式が成り立つ．
F
L
Y
A
L
(8.1)
Y ：ヤング率
P
F ：力
L ：長さ
L：変形量
A ：断面積
F
(8.2)
A
応力：単位断面積あたりの力
1
8-2 固体の変形
剛体：変形の無視できる固体
弾性変形：固体が変形しても元に
もどる場合
塑性変形：固体を大きく変形させると，
元にもどらなくなる．このような変形
2
8-3 剛体の回転
剛体がある軸の回りに角速度ωで回転
軸から距離ｒの点の速さｖは，
v  r
(8.3)
角速度が時間変化するとき，
d d 2
 2 (8.４)
角加速度：  
dt
dt
単位時間あたりの
角速度変化
dv d
dr
d
a
 r     r
 r
dt dt
dt
dt
軸からの距離ｒが時間
変化しないとき
a  r
(8.5)
3
8-４トルク（力のモーメント）
質点の運動
剛体の回転
力（F）
トルク（τ）
加速度（a）
角加速度（τ）
質量（m）
慣性モーメント（I）
（後述）
F=ma
τ=Iα
  rF
(8.6)
  rF sin 
  r F
(8.7)
←回転を生み出す作用
１．力の大きさ
２．回転の支点からの距離
３．力の方向
 
  r F

4
8-５剛体での力学的平衡状態
剛体のつり合い ⇒ 合力＝０だけでは不十分！
１．力の合計＝０（重心が静止）
２．トルクの合計＝０（軸回りに回転しない）
全トルク  net   1   2   3     i
(8.8)
i
剛体の力学的平衡
 net   1   2   3     i  0

 Fi  0
(8.9)
i
i
5
剛体が力学的平衡にあれば，回転軸はどこにとってもよい．
  F1 x1  x0   F2 x2  x0   F3 x3  x0 
  F1 x1  F2 x2  F3 x3  F1  F2  F3 x0
  F1 x1  F2 x2  F3 x3
←x0にはよらない
6
8-6 重力によるトルク
物体を微小な粒子の集まりと考える
回転軸：x=0
xi，miに働くトルク：  i  mi xi g
(8.10)


物体全体に働くトルク：  grav   i    mi xi g     mi xi  g
i
質量中心（重心）：
m x
i i

i
i

 Mxcm
i
 grav  Mgxcm
(8.11)
質量中心に全質量Mがあるときのトルクと等しい
7
8-7，8 剛体の回転動力学
質量mの質点が原点と質量の無視できる
棒で結ばれているとき
F
回転方向の運動方程式
F  ma  mr
  F r  mr 2
(8.12)
剛体を質量miの質点の集まりと考えて，




2
2




m
r


m
r

剛体に働くトルク： net  i  i i
 i i 
i
i


i
(8.13)
2
2
2
2
慣性モーメントI： I  m1r1  m2 r2  m2 r3     mi ri
i
(8.14) (8.15)
8
剛体の回転の運動方程式
 net  I (8.16)
8-9 慣性モーメントの計算
I   ri mi  I   r 2 dm
2
i
m0
(8.17)
■ 一様な棒の慣性モーメント
dm 
M
dx
L
L
3


M
M
x
1
2
2
2
I   x dm 
x
dx


ML


L 0
L  3 0 3
L
9
■ 薄い円筒の慣性モーメント
I   r 2 dm  R 2  dm
I  MR 2
■ 円柱の慣性モーメント
dm 
M
2M
L
2

rdr

rdr
2
2
R L
R
R
4


2
M
2
M
R
1
2
3
I   r dm  2  r dr  2    MR 2
R 0
R  4 0 2
R
10
8-11 重心以外を軸とした場合の慣性モーメント
右図のように質量中心が原点ある剛体の回
転軸を（X，Y）にすると，

I   mi xi  X    yi  Y 
2
2

(8.19)
i



I   mi xi  yi  2 X  mi xi  2Y  mi yi   mi X 2  Y 2
i
2
2

i
 
i
I   mi xi  yi  M X 2  Y 2
2
2


i
(8.20)
i
質量中心まわりの
慣性モーメント
質量中心に全質量Mがあるときの
慣性モーメント
平行軸の定理
11
12
8-10 球殻と球の慣性モーメント
I z   x 2  y 2 dm
I x   y 2  z 2 dm, I y   z 2  x 2 dm
Ix  I y  Iz  I
3I  2 x 2  y 2  z 2 dm
I
2 2
2
R  dm  MR 2
3
3
x2  y 2  z 2  R2
(8.18)
13
4r 2
r2
dm  M
dr  3M 3 dr
4 3
R
R
3
2
2
r2  2
r4
2
dI  dmr   3M 3 dr r  2M 3 dr
3
3
R
R

R
2M
2
I   dI  3  r 4 dr  MR 2
R 0
5
14

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