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工業力学補足スライド
Industrial Mechanics
第7回：慣性モーメント・剛体の運動学・動力学
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わからないことを質問してください
以前のノートがない人はとりにきて下さい
配布物：解答用紙 1枚
次の次の会に中間テストを行います
知能システム工学科井上康介
日立キャンパス E2棟801号室
回転体と重心 (パップス・ギュルダンの定理)
 長さ L の曲線 AB を x 軸の
まわりに一回転させてできる
回転体の表面積を求めたい．
 図の通り，長さ dL の微小
部位をとり，一回転させる
と，幅 dL，長さ 2py の
輪っか状テープとなる．
 dA = 2py・dL
 よって全体の表面積は
S =
ò dA = ò 2py dL = 2p ò y dL = 2p y
G
L = 2pyG ×L
 (重心の周回軌道長)・(曲線の全長)
2
回転体と重心 (パップス・ギュルダンの定理)
 面積 A の平面図形を x 軸の
まわりに一回転させてできる
回転体の体積を求めたい．
 図の通り，面積 dA の微小
部位をとり，一回転させる
と，断面積 dA，長さ 2py の
リングとなる．
 dV = 2py・dA
 よって全体の体積は
V =
ò dV
=
ò 2py dA = 2p ò y dA = 2p y
G
A = 2pyG ×A
 (重心の周回軌道長)・(全面積)
3
物体のすわり
 物体のすわりがよいとか悪いとかいうとき，これは物体の
安定性を言っている．
 ある状態に置かれた物体が安定であるか否かは，物体に微
小な傾きを与えた時，物体がそのまま倒れるか，元の状態
に戻ろうとするかによって，まずは判定できる．
 微小に傾いたときに，物体が「戻ろうとする」か「もっと
倒れようとする」かは，その時発生しているモーメントが
復元モーメントか転倒モーメントかによって決まる．
 そしてそのいずれが生じるかの条件は…
重心がもとの位置より上がる  復元モーメント (安定)
重心がもとの位置より下がる  転倒モーメント (不安定)
重心高さが不変  モーメントは発生しない (中立)
4
安定なすわり (stable)
物体を少し傾けると重心が上がる場合
 重心にかかる重力 W と地面からの反力 R がつくる力の
モーメントは，傾きを回復する方向の復元モーメント
 戻ろうとする (安定)
5
不安定なすわり (unstable)
物体を少し傾けると重心が下る場合
 重心にかかる重力 W と地面からの反力 R がつくる力の
モーメントは，より傾ける方向の転倒モーメント
 もっと倒れようとする (不安定)
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中立なすわり (neutral)
物体を少し傾けても重心高さが変わらない場合
 重心にかかる重力 W と地面からの反力 R の作用線が一致
し，モーメントが生じない
 倒れようとも戻ろうともしない (中立)
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角運動方程式
 剛体の運動では，並進運動・回転運動の合成である．
その解析では，それぞれの基本式を連立させて解く．
 並進運動の基本式：Newton の運動方程式
f = ma
( 質量 m は並進運動の慣性)
 回転運動の基本式：角運動方程式，Euler の運動方程式
N = I w&( 慣性モーメント I は回転運動の慣性)
 慣性モーメント I は回転運動の慣性であり，物体が現在
の角速度を維持したがる傾向 (物体の回しにくさ) を表
している．
 慣性モーメントは，物体の質量が大きいほど，また，
質量と回転軸との距離が遠いほど，大きくなる．
8
慣性モーメント
 物体上の回転軸にトルク N を加えて，
物体の回転を角加速度 w&で加速する
r
N
dm
とする．
 物体上の微小部位 (質量 dm) と回転
w&
軸との距離を r とすると，この部位
の軸周りの回転を角加速度 w&で加速
するのに必要なトルクは dN = dm r 2 w&.
 剛体全体の回転を加速するのに必要なトルクは，各微小
部位に対するトルクの合計なので，
N =
ò dN =
 つまり，
I =
2
2
&
&
r
w
dm
=
w
r
ò
ò dm = I w&.
ò r dm .
2
9
慣性モーメントの計算例
例) 下記の細い (太さの無視できる) 長さ l，質量 m の棒を軸 L
まわりで回転させるときの慣性モーメントを求める．ただ
し，線密度 (長さあたりの質量) を r とする (m = rl )．
l
L
dx
x
 軸 L から距離 x の位置に微小部分 (長さ dx ) をとると，そ
の質量は dm = r dx である．先ほどの式に代入すれば，
l
3
2
é
1
ù
r
l
ml
I = ò
r 2 dm = ò x 2 ×r dx = r ê x 3 ú =
=
物体全体
0
êë3 ú
3
3
û0
l
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パーツに分かれた物体の慣性モーメント
 部分 i の慣性モーメントが Ii である結合体の全体の慣性
モーメントは，部分ごとの慣性モーメントの総和である．
I =
å
Ii
 慣性モーメント IB の物体から慣性モーメント IP の部分を
抜いた後の慣性モーメントは，抜く前の慣性モーメントか
ら抜いた部分の慣性モーメントを引いた値となる．
I = IB - IP
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有用な定理 1：平行軸の定理
平行軸の定理 (parallel axis theorem)
2
I = IG + d m
質量 m の物体の重心 G を通る軸周りの物体の慣性モー
メントを IG とするとき，その軸から距離 d だけ離れた
平行軸周りの慣性モーメントは，IG に d 2m を足した量
となる．
 物体の慣性モーメントは重心を通る軸周りが一番小さく，
そこから離れるにしたがって d 2m だけ増加する．
 重心を通るある軸周りの慣性モーメントが分かっていれ
ば，この定理を使って，その軸に平行な任意の軸周りの慣
性モーメントを簡単に求められる．
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有用な定理 2：直交軸の定理
直交軸の定理 (perpendicular axis theorem)
Iz = Ix + Iy
平面板上の任意の点 O を通り，板に垂直な軸周りの慣
性モーメントは，平面内の O を通り直交する2軸周り
z
の慣性モーメントの和に等しい．
O
y
r
x
y
dm
x
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特定物体の慣性モーメントを求める
 以上の考え方を使って特定物体の慣性
モーメントを求められる．
例) 右図の物体の軸 L 周りの慣性モーメ
ントを求める．
 円柱や直方体の重心周りの慣性モー
メントは，積分の計算により求まる．
この計算の中で直交軸の定理を活用．
L
( 結果が教科書の表 6・1 に出ている)
 平行軸の定理を使えば，右図の軸 L 周り
の部分ごとの慣性モーメントが分かる．
 さらに，「全体の慣性モーメント＝部分の慣性モーメント
の和」であるから，求まった部分ごとの慣性モーメントの
合算により全体の慣性モーメントが求まる．
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断面二次モーメント (本講義の範囲外)
 図のように片持ち梁に力を
加え，前モーメントを発生
させると，梁は変形する．
 この変形に耐える材料の硬さ
は，材料の材質と断面形状
に依存する．
 断面形状に依存する材料強度のパラメータに，断面二次
モーメント (second moment of area) がある．
 断面上の微小部位 (面積 dA) をとり，その軸との距離を
r とするとき，断面二次モーメントは以下のように計算
される (詳細は講義「材料力学」で学ぶ)．
I ¢=
2
r
ò dA
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