第 4章三角関数

赤阪正純 (http://inupri.web.fc2.com)
4STEP の考え方 (数学 b)
第 4 章三角関数
4 三角関数のグラフ
264
y = 2 sin #2µ +
いずれも基本形のグラフです．基本形のグラ
つまり，y = 2 sin 2µ のグラフを，µ 軸方向
フは，周期，振幅，y 軸との交点，µ 軸との
に¡
ん．それがれきれば，まあ，何となく分かる
でしょう．
¼
，y 軸方向に 1 だけ平行移動したグ
6
ラフです．
交点，など完璧に暗記しておかねばなりませ
265
¼
¼
;+1 = 2 sin 2 #µ + ;+1
3
6
268
偶関数とは左右対称なグラフ，奇関数とは原
点対称なグラフです．しかし実際は見た目で
三角関数のグラフは
判断するのではなく，計算で判断します．
1 上下伸び縮み ¡! y = a sin µ
つまり，
2 左右伸び縮み ¡! y = sin kµ
f(x) のグラフが左右対称
3 平行移動 ¡! y ¡ q = sin (µ ¡ p)
()x のときと ¡ x のときの値が等しいが基本です．それぞれの場合に，周期や振幅
()f(x) = f(¡x)
がどのように変化するのかしっかりとグラフ
f(x) のグラフが原点対称
をイメージして考えてください．
()x のときと ¡ x のときの値が符号違い今回の場合，
()f(¡x) = ¡f(x)
1 上下伸び縮み ¡! (1)(2)
2 左右伸び縮み ¡! (7)(8)(9)
となります．
となっています．
形がそのまんまやったら偶関数 (左右対称)，
要するに x の代わりに ¡x を代入して，式の
3 平行移動 ¡! (3)(4)(5)(6)
符号が変化するだけなら奇関数 (原点対称)
266 265 では，上下伸び縮み，左右伸び縮み，平
になるのです．
行移動，が単独で関わっていましたが今回は
2 つミックスされています．
267
269
今はグラフを学習しているので，グラフを
(1) は上下の伸び縮みと平行移動
利用して最大最小を考えよ，ということ
(2) は左右の伸び縮みと平行移動
なのでしょうが，単位円ルーレットで十
(3) は上下の伸び縮みと左右伸び縮み
分です．(1)(2) は 0 5 µ < 2¼ のとき，
です．
¡1 5 sin µ 5 1，¡1 5 cos µ 5 1 であるこ
とから簡単にわかります．
いずれも，上下伸び縮み，左右伸び縮み，平
行移動が混在しています．特に今回は µ 軸
方向の平行移動が入っています．
(1) は
¼
¼
y = cos #3µ ¡ ; = cos 3 #µ ¡ ;
2
6
とします．すると，y = cos 3µ の µ の代わ
¼
を代入した形になっているので，
6
このグラフは y = cos 3µ のグラフを，µ 軸
¼
だけ平行移動したグラフです．
方向に
6
(2)(3) も同様に
りに µ ¡
µ
¼
1
2¼
;
y = tan # ¡ ; = tan #µ ¡
2
3
2
3
µ
つまり，y = tan
のグラフを，µ 軸方向
2
2¼
に
だけ平行移動したグラフです．
3
(2) も単位円ルーレットをイメージして，
4
0 5 µ 5 ¼ のとき，sin µ の範囲がどうな
3
のかを考えよう．
(3) は tan µ のグラフをイメージしたほうが
分かりやすいかもしれません．tan µ のぐグ
ラフは単調増加だからです．なお，範囲の中
にヤバイ値 (
¼
がらみ) が含まれていない
2
ことを確認しよう．
270 y = 2 sin (aµ ¡ b) = 2 sin a #µ ¡ ab ; と
変形すると，このグラフは y = 2 sin aµ の
b
平行移動したもので
a
あることがわかります．y = 2 sin aµ のグ
グラフを µ 軸方向に
ラフの周期や振幅はわかりますよね．

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