三角形と平行四辺形

三角形と平行四辺形
1. 定義・命題
• ことばの意味をはっきりさせる文を定義という。
（例）2 辺が等しい三角形を二等辺三角形という。
• 意味がある文章 (式) でそれが正しいか正しくないかを判断できるものを命題という。命題が正しい
ことを真であるといい，正しくないことを偽であるという。
（例）12 は 3 の倍数である…真である 3 + 8 < 10 …偽である
• 2 つの命題を組み合わせて，「∼ならば，…である」といった形の文にしたものを条件文という。
2. 定理・逆
• 正しいことが，すじ道をたてて説明されており，それが，ほかのことがらの説明にもよく使われるも
のを，まとまった形で述べたものを定理という。
（例）定理平行四辺形の対角線は，たがいに 2 等分しあう。
• 定理は，「A ならば，B である」という形の文 (条件文) で示される。
この文で，A を仮定，B を結論という。
（例）上の例の定理では，
定理
A ならば，B である。
逆
B ならば，A である。
仮定 (四角形が) 平行四辺形である。
結論対角線はたがいに 2 等分しあう。
• 定理の仮定と結論とを入れかえて作った命題を，もとの定理の逆という。
（例）上の定理の逆は，次のようになる。
対角線がたがいに 2 等分しあう四角形は平行四辺形である。
• 逆は，いつでも必ず成り立つとは限らない。
3. 証明
図形の基本性質や，定義，定理などをもとにして，別のことがらが成り立つことを，すじ道をたてて説明
することを，証明するという。
1
4. 二等辺三角形
• 定義 2 辺が等しい三角形を二等辺三角形という。
• 性質 2 つの底角が等しいということのほかに，次の性質があるが，いずれも，三角形の合同条件を
もとにして証明できる。
1 頂角の 2 等分線を
ひくと，
2 頂点から対辺に中
3 頂角から対辺へ垂
線をひくと，
線をひくと，
AD ⊥ BC
AM ⊥ BC
BD ＝ CD
∠ BAM ＝∠ CAM ∠ BAH ＝∠ CAH
BH ＝ CH
5. 正三角形
• 定義 3 辺が等しい三角形を正三角形という。
• 性質正三角形は二等辺三角形と見ることができるので，二等辺三角形の性質は，そのまま成り立つ。
さらに，3 つの内角がすべて等しいから，正三角形のひとつの内角は 60°である。
6. 直角三角形
• 定義ひとつの内角が直角である三角形を直角三角形という。
• 性質
1 2 つの鋭角の和は 1 直角である。
右の図で，∠ A ＋∠ B ＝∠ R
2 3 つの辺のうち，斜辺が最も長い。
7. 直角二等辺三角形
• 定義直角をはさむ 2 辺が等しい直角三角形を直角二等辺三角形という。
• 性質直角二等辺三角形では，二等辺三角形の性質と直角三角形の性質とが，その
まま成り立つ。
右の図で，∠ A ＋∠ B ＝∠ R，∠ A ＝∠ B
となることから，∠ A ＝∠ B ＝ 45°
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8. 平行四辺形の性質
平行四辺形の定義から，次の性質が導かれる。
1 向かいあう 2 組の辺は，それぞれ等しい。
2 向かいあう 2 組の角は，それぞれ等しい。
3 対角線は，たがいに 2 等分しあう。
右の図で，AB//DC，AD//BC であるとき，
(1) AB ＝ DC，AD ＝ BC
(2) ∠ A ＝∠ C，∠ B ＝∠ D
(3) AO ＝ CO，BO ＝ DO
9. 平行四辺形になる条件
次のどれかひとつが成り立てば，その四角形は平行四辺形である。
1 2 組の対辺が，それぞれ平行である。
2 2 組の対辺が，それぞれ等しい。
3 2 組の対角が，それぞれ等しい。
4 1 組の対辺が，平行で，かつ，等しい。
5 対角線がたがいに 2 等分しあう。
2 ∼
5 の条件は，平行四辺形の性質を述べた命題 (定理) の逆である。
以上のうち，
10. 長方形・ひし形・正方形
• これらの形は，特別な形の平行四辺形 (平行四辺形の集合の真部分集合) と見られるので，平行四辺
形の性質はそのまま成り立つ。
• いろいろな四角形の相互関係
• 2 つの対角線の関係
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11. 三角形の内心
• 三角形の 3 つの内角の 2 等分線は同じ点で交わる。この点を三角形の内
心という。(右図の点 I)
• 三角形の内心から 3 つの辺までの距離は等しい。それで，三角形の内心
を中心として 3 辺に接する円をかくことができる。この円を三角形の内
接円という。
12. 三角形の外心
• 三角形の 3 つの辺の垂直 2 等分線は同じ点で交わる。この点を三角形
の外心という。(右図の点 O)
• 三角形の外心から 3 つの頂点までの距離は等しい。それで，三角形の外
心を中心として，3 つの頂点を通る円をかくことができる。この円を三
角形の外接円という。
13. 三角形の重心
• 三角形の 3 つの中線 (頂点とその対辺の中点とをむすぶ直線) は同じ点で交
わる。この点を三角形の重心という。(右図の点 G)
• 三角形の重心は，各中線を 2：1 の比に内分する。
右の図で，AG：GD ＝ BG：GE ＝ CG：GF ＝ 2：1
14. 内心・外心・重心の位置関係
• 二等辺三角形の内心，外心，重心は一直線上にならぶ。正三角形の内心，
外心，重心は一致する。(同じ点になる)
• 三角形がどのような形になっても，内心と重心とはその三角形の内部に
あるが，外心は三角形の形によって，内部にある場合，辺上 (周上) にあ
る場合，外部にある場合がある。
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