向陵中　2学期期末　過去問解説個別ゼミＷｉｌｌ宮の森校　作成【問題】平成26年度　向陵中2年　2学期期末より右の図で、点Ａの座標は（4、8）、点Ａからｘ軸に引いた垂線とｘ軸との交点をＢ、ｙ軸を線対象の軸として、点Ａと対応する点をＣとする。点Ａを通り、台形ＯＢＡＣの面積を二等分する直線の式を求めなさい。ｙＣＡ ● ● ● ＯｘＢ【考え方】台形の面積２等分は、実際の面積を求めて、それが半分になるような直線を考えていきます。平行四辺形や長方形は、対角線の交点を通せば、面積二等分の直線になります。Ａを通って面積二等分なので、直線は線分ＯＣ上か、ＯＢ上を通ります。それぞれを通る場合で考えてみましょう。どちらか一方の線分上を通るときが答えとなります。どうやって判断するか、そこがポイントです。【解法】【解法のポイント】四角形ＯＢＡＣ＝（ＯＢ＋ＡＣ）×ＡＢ÷２＝（４＋８）×８÷２　＝48 48の二等分で24を使っていく。問題より、Ａ（4,8）から ①ＯＣ上を通る直線のとき線分ＯＣとの交点をＰとする。点Ｐのｘ座標をｔとおく。点Ｐは線分ＯＣ上の点なので、ｔは、-4≦ｔ≦0となる。ＡＢ＝8　ＯＢ＝4　ＡＣ＝8 ｙＣ ● よって、Ｐ ● Ｂ台形の面積＝（上底＋下底）×高さ÷２直線ＯＣの式Ａ ● ＯＢ（4、0）　Ｃ（-4、8）直線ＯＣの式より、Ｐのｘ座標をｔとすると、Ｐ（ｔ、-2ｔ）となる。このとき、△ＡＣＰの面積が24となるので、ｘ 1 ACP  8  8  (2t )  24 2 48  2t   24 2t  8  6 t  1 ｔ＝-1　-4≦ｔ≦0の範囲にあるので、答として適切である。ｔ＝-1より、Ｐ（-1、2）である。Ｐ（-1、2）　Ａ（4、8）の二点を通る直線の式を求める。 y 6 16 x 5 5 y  2 x △ＡＣＰで辺ＡＣを底辺と考えると、高さはｙ座標の差なので、Ｃ（-4、8）　Ｐ（ｔ、-2ｔ）　より、 8－（－2ｔ）＝8+2ｔとなる。 ②ＯＢ上を通る直線のときｙＣＡ ● ● Ｐ点Ｐのｘ座標をｔとおく。点Ｐが線分ＯＣ上の点なので、ｔは、0≦ｔ≦4　となるＰ（ｔ、0）となり、△ＡＰＢの面積が24となるので、ＰＯ【解法のポイント】 ● Ｂ面積は三角形を優先して考えると楽。この場合、△ＡＰＢ △ＡＰＢで辺ＡＢを底辺とすると、ｘ座標の差が高さとなるので、Ｂ（4、0）　Ｐ（ｔ、0）より、高さ＝4-ｔ 1  24 2 4(4  t )  24 APB  8  (4  t )  4t  6 t  2 ｔ＝-2となり、0≦ｔ≦4に矛盾する。よって、ｔ＝-2は答えとして不適。 ①②より、台形ＯＢＡCの面積を二等分する直線は、分線ＯＣ上を通る直線のみとなる。 y 6 16 x 5 5 面積を二等分する直線を求める多くの問題が、底辺を決めてから必要な高さを求めて、それを満たす座標を考える解き方で解説してあります。ですが、他のいろいろな問題に対応したり、高校に進学した後のことを考慮すると、座標を文字でおいて、辺の長さを文字で表せるようになる解き方を身につけなければなりません。その場しのぎではなく、大学受験を見据えた解き方を身につけていきましょう。